If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:6:15

Videóátirat

Tegyük fel, hogy van egy radiánban mért Θ szögünk, amely -3π/2 és -π közé esik. Nagyobb mint -3π/2 és kisebb mint -π. Azt is tudjuk, hogy sin Θ = ½. Vajon pusztán ezekből az információkból meg tudjuk-e határozni, hogy mennyi tan Θ? Javaslom, hogy most állítsd itt meg a videót és próbáld magad megoldani. Ha megakadnál, adok majd egy kis segítséget. Használd a Pitagoraszi azonosságot, miszerint sin²Θ + cos²Θ = 1 Akkor csináljuk! Ismerjük tehát a Pitagoraszi azonosságot, sin²Θ + cos²Θ = 1 Tudjuk, hogy mennyi sin²Θ sin Θ = ½, tehát ez átírható úgy, hogy (½)² + cos²Θ = 1, avagy 1/4 + cos²Θ = 1 Kivonhatunk mindkét oldalból 1/4-et, cos²Θ = ha a baloldalból kivonod az 1/4-et, az eltűnik, ezt akartuk, 1 minusz 1/4 az 3/4. Mennyi lesz cos Θ ? A négyzete plusz 3/4, vagyis lehet plusz vagy minusz √(3/4), azaz cos Θ lehet plusz vagy minusz négyzetgyök 3/4, ami nem más, mint plusz vagy minusz √3 osztva 4 négyzetgyökével, 2-vel, ± √3/2 De honnan fogjuk tudni, hogy ezek közül melyik? Itt ez az információ fog segíteni. Rajzoljunk egy egységsugarú kört! Kérdezheted, hogy miért foglalkozom én egyáltalán a Θ koszinuszával? Nos, ha ismered sin Θ-t, akkor abból tudod cos Θ-t is, a tan Θ pedig sin Θ/cos Θ, azaz ebből tudni fogod Θ tangensét. De nézzük az egységkört, hogy kitaláljuk, melyik koszinusz értéket kell használnunk. Hadd rajzoljam le az egységkört! Ez az y tengelyem, ez pedig az x tengely. Az egységkört rózsaszínnel rajzolom (ez a legjobb kísérletem egy kör rajzolására, ne haragudj, ha nem tökéletesen kerek). Ez azt mondja, hogy a Θ nagyobb mint -3π/2. Hol van a -3π/2 ? Nézzük, ez itt --π/2 Ez a szög egyik szára, (hadd használjam ezt a színt) ez az egyik szára a szögnek, a pozitív x tengely mentén, és meg akarjuk határozni a szög másik szárát. Ez itt -π/2, ez a -π, a szög -π és -3π/2 között van -3π/2 itt van, így a mi Θ szögünk valahol itt helyezkedik el. És az ok, amiért ezt csináltam, – erre az ívre úgy tekinthetsz, mint a Θ szög mértékére – az ok, amiért csináltam az, hogy megnézhessük, vajon a cos Θ pozitív vagy negatív. Világosan látjuk, hogy a második síknegyedbe esik. cos Θ az x koordinátája annak a pontnak, ahol a szögünk metszi az egységkört, vagyis ez a pont (hadd csináljam ezt narancssárgával) a cos Θ. Akkor ez most pozitív vagy negatív? Nyilván negatív. Szóval a mi példánk esetében a cos Θ nem pozitív, hanem negatív. Úgy is írhatjuk, hogy cos Θ = - √3/2 Meghatároztuk tehát a cos Θ-t, de hátra van még a tan Θ meghatározása. Emlékeztessük magunkat, hogy tan Θ nem más, mint sin Θ/cos Θ Tudjuk, hogy sin Θ = ½, vagyis ½ per cos Θ, ami - √3/2. Mennyi lesz ez? Ugyanannyi, mintha az ½-et megszoroznánk ennek a reciprokával, -2/√3-mal. Ez a kettő kiejti egymást, marad -1/√3. Vannak, akik nem szeretik a gyököt a nevezőben. nem szeretik az irracionális nevezőt. Gyöktelenítsük tehát a nevezőt úgy, hogy szorzunk √3/√3-mal, -√3/3-at kapunk, ez lesz ennek a szögnek a tangense. És ennek tényleg van értelme, mert a szög tangense ennek az egyenesnek a meredeksége, és láthatjuk, hogy a meredekség valóban negatív.