If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:7:54

Videóátirat

Lerajzoltuk ide az egységkört, A középponttal, míg a B pont a körvonalon van. Merőlegesen levetítettük a B-t a D-re, ahol D az x tengely pozitív felén van. Ez a három pont alkotja az ABD háromszöget, és megadták, hogy a BAD szög π per 4 radián. Ebben a videóban szeretném felhasználni az eddigi tudásunkat a trigonometriáról és a háromszögekről, hogy több dolgot is kiderítsünk. Az első dolog, amit szeretnénk megtudni, hogy mekkora az ABD szög radiánban? Először hadd csináljuk meg ezt, majd később mondom el, hogy miről kell még gondolkodnunk. Felteszem, hogy megállítottad a videót, és megpróbáltad egyedül megoldani. Gondolkodjunk el azon, hogy mi lenne az ABD. A háromszög szögei közül kettőt ismerünk, és mivel kettő szöget ismerünk, meg tudjuk határozni a harmadikat. Lehet, hogy ez kicsit furcsa lesz, mert eddig azt mondtuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180 fok, most pedig radiánban számolunk. Tehát azt mondhatjuk, hogy a szögek összege 180 fok, ami egyenlő π radiánnal. Tehát ez a szög plusz ez a szög plusz ez a szög összesen pi. Tehát ha az ABD szöget radiánban mérjük, akkor ez itt π per 4 plusz egy derékszög. Mennyi az radiánban? A derékszög 90 fok, ami radiánban π per kettő radián. Tehát ez π per kettő. Ha veszed a belső szögek összegét, akkor az π radián lesz. Ami természetesen ugyanannyi, mint 180 fok. Ezzel most már meg tudjuk mondani, hogy mennyi az ABD szög nagysága. Az ABD szög egyenlő π mínusz π per kettő mínusz π per négy Csak kivontam ezeket mindkét oldalból. Ha közös nevezőre hozzuk - ami négy -, akkor ez négy π per négy, ez mínusz két π per négy, és ez természetesen mínusz π per négy. Tehát négy mínusz kettő mínusz egy, ami egy. Tehát ez π per négy. Tehát az ABD szög valójában ugyanakkora, mint a BAD szög, ami π per négy. Tehát ez a szög itt π per négy. Miben segít ez nekünk? Most, hogy tudjuk, hogy ez itt π per négy radián, és tudjuk azt is, hogy ez egy egységkör. Tehát tudjuk az AB szakasz hosszát is, ami épp a kör sugara: vagyis egy. Mi mást tudunk még erről a háromszögről? Rá tudunk jönni, hogy mekkora az AD és a DB szakasz hossza? Igen, hiszen két egyenlő szögünk van, ami azt jelenti, hogy a megfelelő oldalak is egyenlő hosszúak lesznek. Vagyis ez az oldal ugyanolyan hosszú, mint ez az oldal. Ha elfordítanám, akkor valószínűleg egyszerűbb lenne ezt észrevenni. Megfordítom. Tehát ez lenne a háromszög, valahogy így néz ki. Szeretném, hogy úgy nézzen ki, mint egy derékszögű háromszög. Tehát ha ez D, ez B, ez A, ez pedig a derékszög. Ez itt a π per négy radián, ez szintén π per négy radián. Amikor két szög azonos, akkor tudjuk, hogy ez egy egyenlő szárú háromszög. Viszont mivel nem egyenlő minden szög, nem egyenlő oldalú. Ha minden szög egyezne, akkor lenne egyenlő oldalú. Tehát ez egy egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú háromszög. Viszont ha az alapon fekvő szögek megegyeznek, a megfelelő oldalak hossza megegyezik. Ez a két oldal azonos, mivel ez egy egyenlő szárú háromszög. Hogyan tudjuk ezt felhasználni arra, hogy rájöjjünk milyen hosszúak az oldalak? Nos, ha ez az oldal X hosszú, akkor ez az oldal is X hosszú, és használhatjuk a Pitagorasz tételt. Tehát az X négyzet plusz X négyzet egyenlő az átfogó négyzetével, ami 1 a négyzeten. Ezt pedig úgy írhatjuk, hogy 2X négyzet egyenlő eggyel, vagyis X négyzet egyenlő 1 per 2. Ha vesszük mindkét oldal négyzetgyökét, akkor megkapjuk, hogy az X az 1 per négyzetgyök kettő. Sokan nem szeretik a gyökjelet a nevezőben, ezért a nevezőt gyöktelenítjük úgy, hogy szorzunk négyzetgyök kettő per négyzetgyök kettővel, így a számláló négyzetgyök kettő lesz, a nevező pedig négyzetgyök kettő szorozva négyzetgyök kettővel, ami kettő. Számos érdekes dolgot kitaláltunk már. Tudjuk már, mekkora az ABD szög radiánban. Tudjuk, mi az AD és a BD szakasz hossza. Még szeretném kiszámolni azt is, hogy mennyi a szinusz, koszinusz és a tangens π per négy radián, felhasználva mindent, amit eddig kiszámoltunk. Először is gondoljuk át, mi a szinusz! Ezt most narancssárgával fogom csinálni. Felhasználva az eddigi munkánkat, mi lesz a szinusz π per négy radián? Ismét csak arra biztatlak, hogy állítsd meg a videót, és gondold át a szögfüggvények egységkörös definícióját, és azt, hogy ez micsoda. Nos, a szögfüggvények egységkör alapú definíciója a π per négy radiánra ezt a szöget zárja be a pozitív X tengellyel. A sugár pedig itt keresztezi az egységkört, ennek a pontnak az X és Y koordinátái határozzák meg a koszinuszt és a szinuszt. Ennek a pontnak az x koordinátája koszinusz π per négy radián, az y koordinátája pedig a szinusz π per négy radián. Mi lesz az y koordináta, ha a szög π per négy? Ennek a hossza osztva ennek a hosszával. Ez a kettő pedig ugyanakkora, mindkettő x hosszú, ami négyzetgyök kettő per kettő. És mi lesz koszinusz π per négy? Ismét arra biztatlak, hogy állítsd meg a videót és gondolkodj el rajta! Mi ez az x koordináta? Az x koordináta ez az x távolság itt, ami négyzetgyök kettő per kettő. És mi lesz a π per négy tangense? Nos, a π per négy tangense az a π per négy szinusza osztva a π per négy koszinuszával. Ez a kettő most épp megegyezik. Mindkettő négyzetgyök kettő per kettő. Tehát elosztjuk a négyzetgyök kettő per kettőt négyzetgyök kettő per kettővel, ami ugyebár egy lesz. És ez így értelmes is, hiszen ennek a szögnek a tangense a meredeksége ennek az egyenesnek. És ha megnézzük ezt a meredekséget, akkor amennyit mozgunk x irányba vízszintesen, annyit mozgunk Y irányban felfelé. Tehát az y változása x szerint y per x, ami egyenlő eggyel.