Tangens azonosságok: szimmetria

Az előző videóban azt vizsgáltuk, hogyan viszonyulnak a szögek koszinuszai és szinuszai egymáshoz. Vettük a szögeket záró sugarakat, tükröztük az x vagy y tengelyre, vagy mindkettőre. Ebben a videóban ezeknek a szögeknek a tangenseit szeretném megvizsgálni. Legyen egy kis ismétlés: tudjuk, hogy a Θ szög tangense nem más, mint a szög szinuszának és koszinuszának a hányadosa, és az egységkörös definíció szerint ez alapvetően azt jelenti, hogy mekkora ennek a sugárnak a meredeksége. A meredekség nem más, mint a függőleges tengelyen való elmozdulás osztva a vízszintes tengelyen való elmozdulással. Ha az origóból indulunk ki, mekkora a függőleges tengelyen való elmozdulás a 0-tól sin Θ-ig? Nos, ez sin Θ. És mekkora az elmozdulás a vízszintes tengelyen? cos Θ. Tehát ez az y változása per az x változása a szöget záró sugárra. A Θ szög tangense sin Θ/cos Θ, amit úgy is tekinthetsz, mint ennek a sugárnak a meredekségét. Most vizsgáljuk meg, mely további szögek tangense lesz ugyanekkora! Ez a sugár egy egyenesbe esik ezzel a sugárral, lényegében ha összekötöd őket, egy egyenest képeznek, tehát ennek a szögnek a tangense, ennek a rózsaszínű szögnek, a (π+Θ) szögnek vagy (Θ+π) szögnek a tangense – hiszen nyilván írhatunk (Θ+π)-t (π+Θ) helyett – a meredekség alapján megegyezik Θ tangensével, tan (Θ+π) = tan Θ. Nézzük meg, hogy ez valóban így van-e! Ennek a két értéknek egyenlőnek kell lennie, ha megegyezünk abban, hogy egy szög tangense egyenlő a sugár meredekségével. A szög másik szára természetesen a pozitív x tengely, a korábbi megállapodásunk szerint. Most vizsgáljuk meg, mit jelent a tan (Θ+π) szinusszal és koszinusszal kifejezve! (Hadd írjam ezt rózsaszínűvel!) tan (Θ+π) = (használjunk zárójelet az egyértelműség miatt) sin (Θ+π)/cos (Θ+π). Az előző videóban már megállapítottuk, hogy sin (Θ+π) = - sin Θ Ez tehát -sin Θ. A cos (Θ+π) pedig, ahogy már megállapítottuk, ugyanaz, mint -cos Θ. Negatív osztva negatívval, úgy is mondhatnánk, hogy a negatív előjelek kiejtik egymást és marad sin Θ/cos Θ, ami tényleg tangens Θ, szóval elégedettek lehetünk. És mi a helyzet ezekkel a pontokkal vagy sugarakkal? Nézzük ezt a pontot! Mekkora lesz a -Θ szög tangense? Azt tudjuk, hogy tan(-Θ) = sin (-Θ)/cos (-Θ) és azt már megállapítottuk, hogy sin (-Θ) = -sin Θ. Ezt látjuk itt, a minusz Θ szinusza az ellentettje a Θ szinuszának, ez szerepel itt, a -Θ koszinusza viszont megegyezik a Θ koszinuszával, tehát ezek ugyanazok. Ami marad, az minusz sin Θ/cos Θ, ami nem más, mint -tan Θ. Itt tehát azt látjuk, hogy ha vesszük egy szög ellentettjét, akkor a tangensének is az ellentettjét kapjuk, mivel a tangens definíciójában a számlálóban szereplő szinusz előjele megváltozik, míg a nevező előjele nem. Így tehát tan (-Θ) =-tan Θ. Mi a helyzet ezzel a ponttal? Ehhez a Θ-hoz képest, amikor a (π-Θ) szöget, illetve a (π-Θ) szög tangensét vizsgáljuk, tan (π-Θ) az ugye sin (π-Θ)/cos (π-Θ), és a korábbi videóban már megállapítottuk, hogy sin (π-Θ) = sin Θ, és ezt itt jól látjuk, ezeknek megegyezik a szinuszuk, azaz ez valóban sin Θ. Ugyanakkor a cos (π-Θ) az ellentettje a cos Θ-nak, = -cos Θ vagyis ez megint csak mínusz sin Θ/cos Θ, avagy -tan Θ, ami érthető, mert ennek a sugárnak ugyanaz a meredeksége, mint ennek a sugárnak, és úgy tekinthetünk erre a meredekségre, mint a Θ tangensének ellentettjére. És ha ránézünk erre a kettőre, erre a sugarak egyesítésével keletkező két, egymást metsző egyenesre, ezek meredekségei ellentettjei egymásnak, az egyenesek egymás tükörképei az x tengelyre vonatkozóan. Most láttuk be, hogy ha veszünk egy szöget, és hozzáadunk a szöghöz π-t, a tangens nem fog változni, mert ugyanazon az egyenesen maradunk. π-t, vagy ha fokokban mérjük, 180 fokot haladsz, az ellenkező irányba jutsz, de a sugár meredeksége nem változik, így tan Θ = tan (Θ+π), de ha a szög ellentettjét veszed, akkor a tangense is az ellentettje lesz az eredetinek, vagy ha itt a π-t csökkented a szögeddel, (π-Θ) megint csak mínusz tangenst kapsz. Remélem, hogy ez segít, mindez nagyon hasznos, amikor trigonometrikus feladatokat oldasz meg, vagy összefüggéseket akarsz találni, vagy akár bizonyítani akarod az azonosságokat. Amit itt alapvetően csináltunk, bebizonyítottunk néhány azonosságot, de a haszna főként az, hogy belegondoltunk az egységkörben meglévő szimmetriákba.