Ha ezt az üzenetet látod, az annak a jele, hogy külső anyagok nem töltődnek be hibátlanul a honlapunkra.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Fő tartalom

Szinusz és koszinusz azonosságok: periodicitás

Sal a szinuszra és a koszinuszra vonatkozó trigonometriai azonosságokat talál, miközben megfigyeli a szögek elforgatását az egységkörben. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Tegyük fel, hogy van egy théta (Θ) szögünk, amelyet az egységkörünkbe rajzolok a szokásos módon, vagyis a szög egyik szára az x tengelyen van, míg a szöget bezáró másik szár metszi az egységkört, és ez határozza meg a Θ szög szinuszát és koszinuszát. A Θ koszinusza x, (hadd váltsak itt egy új színre, amit még nem használtam korábban) cos Θ az x koordinátája annak a pontnak, ahol a szög szára metszi az egységkört. Vagy másképpen nézve, cos Θ az a hossz, amelyet itt most lilával rajzolok be, ez a hossz itt cos Θ. sin Θ pedig az y koordináta, avagy sin Θ ennek a szakasznak a hossza. Hogy milyen magasan vagyunk az x tengely fölött, ez az y koordináta, és ennek a hossza sin Θ. Ennek van értelme, ez magyarázza meg, hogy az egységkörös definíció miért kiterjesztése a szisza-koma-taszem definíciónak. Emlékezzünk csak, hadd írjam le, a szisza-koma-taszem azt mondja, hogy a szinusz a szemközti befogó per az átfogó, tehát ha sin Θ-t akarom meghatározni, mennyi is lesz? Ha úgy tekintek a sin Θ-ra, hogy a szisza-koma-taszem definíciót használom, akkor ez egyenlő a szemközti oldal hossza, azaz ez a sin Θ osztva az átfogóval. Nos, az átfogó itt – ez egy egységkör – az átfogó itt 1 lesz. Ez tehát mutatja, hogy konzisztensek vagyunk. Vagy egy másik módon is gondolhatunk erre, hogy sin Θ megegyezik a szemközti oldal per átfogóval. Esetünkben a szemközti oldal, és mi az átfogó? Egy egységkör, tehát az átfogó 1. sin Θ egyenlő a szemközti oldal hosszával. A szemközti oldal hossza egyenlő sin Θ-val. És pontosan ugyanezzel a logikával a cos Θ egyenlő a melletti befogó per átfogóval. És mivel az átfogó 1 hosszú, ez a szög melletti oldal hossza, azaz cos Θ nem más, mint a szög melletti oldal hossza. Mindez csak áttekintés volt, annak igazolása, hogy az egységkörös definíció a szisza-koma-taszem definíció kiterjesztése. De most csináljunk valami érdekeset! Ez itt a Θ szög, és most vizsgáljuk meg a Θ+π/2 szöget! A Θ+π/2 szöget, vagyis ha ehhez hozzáadunk π/2-t, egy olyan sugarat kapunk, amely merőleges az első sugárra. π/2, amikor azt mondjuk, hogy a Θ szög + π/2, akkor radiánt értünk alatta. π/2 radián az ekvivalens 90 fokkal. Vagyis valójában 90 fokot adunk itt hozzá. Ez a szög tehát itt Θ + π/2. Amit ebben a videóban meg akarok vizsgálni, – és ez lesz az érdekes – hogy valahogy kapcsolatba hozható-e sin (Θ + π/2) a Θ szög szinuszával vagy koszinuszával. Most arra buzdítalak, hogy állítsd meg a videót, és próbáld meg ezt egymagad végiggondolni, mielőtt én megmutatnám. Gondoljuk meg, mi is a sin (Θ + π/2) ? Az egységkörös definícióból tudjuk, hogy ennek a szögnek a szinusza, amely tehát a (Θ + π/2) szög, az y koordináta, ez az érték itt. Vagy másképpen megfogalmazva, ennek a lila vonalnak a hossza, ez itt tehát sin (Θ + π/2). Hogyan viszonyul ez vajon ezekhez? Ha megnézed, úgy néz ki, mintha vennénk ezt a háromszöget és elforgatnánk, elforgatnánk 90 fokkal, az óramutató járásával ellentétesen, és alapvetően ezt is csináltuk, mivel vettük ezt a szögszárat, hozzáadtunk 90 fokot vagy π/2 radiánt. És ha még egy kicsit alaposabbak akarunk lenni, ha ez a teljes fehér színű szög (Θ + π/2), és az első síknegyedbe eső rész π/2, akkor ez a szög itt Θ kell, hogy legyen. És ha meggondoljuk, és megpróbáljuk viszonyítani ezt az oldalt, a lilát ehhez a Θ szöghöz a szisza-koma-taszem definíciót alkalmazva, akkor erre a sárga színű Θ szögre nézve ez itt a szög melletti oldal. Gondolkodjunk csak! Melyik szögfüggvény foglalkozik a szög melletti befogóval és az átfogóval? Esetünkben természetesen az átfogónk 1 hosszúságú, hiszen ez egy egységkör. Nos, a koszinusz vonatkozik a szög melletti befogóra és az átfogóra. Kimondhatjuk, hogy ennek a Θ-nak a koszinusza egyenlő a szög melletti befogó hossza – amit már tudunk, ez sin (Θ + π/2) – osztva az átfogóval, ami 1, azaz nem változtatja meg az értéket. Ez elég ügyes volt. Ilyen könnyen felfedeztünk egy érdekes kapcsolatot a koszinusz és a szinusz között. cos Θ = sin (Θ + π/2), de úgyis mondhatjuk, hogy sin (Θ + π/2) = cos Θ. Most arra biztatlak, hogy e videó után igyekezz találni más eredményeket. Gondolkozz azon, hogy vajon a sin Θ mivel lesz egyenlő? Vagy hogy cos (Θ + π/2) mi mással vethető össze? Biztatlak tehát, hogy fedezd fel ezeket önállóan.