If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:6:57

A trigonometrikus függvények és a hegyesszögek szögfüggvényei

Videóátirat

A jobb oldalon egy csomó kifejezés található, ezek azoknak az adatoknak a hányadosai, amik ezen a két ábrán vannak. Balra pedig itt van az MKJ szög szinusza, az MKJ szög koszinusza és az MKJ szög tangense. Ez a szög itt az MKJ szög, ugyanaz, mint a théta, tehát ez a két szög, ez a két szög ugyanakkora, itt látjuk ezt. Arra szeretnénk rájönni, hogy mely kifejezések melyekkel egyenlőek ezek közül itt. Javaslom, hogy állítsd meg a videót, és próbáld meg egyedül megoldani! Felteszem, megpróbáltad, most próbáljuk meg együtt kidolgozni! Ha megnézed ezt az ábrát, úgy néz ki, mintha a bal oldali a trigonometrikus függvények egységkörös definícióját próbálná felidézni, mert ez itt egy egységkör. Ez a fajta ábra pedig emlékeztet a szisza koma taszem definíciójára, mivel itt egy egyszerű, sima derékszögű háromszögünk van. Elevenítsük csak fel a „szisza koma taszem”-et, mert most úgy érzem, ez hasznos lehet. A szinusz a szemközti per átfogó, a koszinusz a melletti per átfogó, és a tangens a szemközti befogó per melletti befogó. Használhatjuk ezt, és feleleveníthetjük a szögfüggvények egységkörös definícióját is. A koszinusz annak a pontnak az X koordinátája, ahol ez a sugár metszi az egységkört, és a szög szinusza pedig az Y koordináta. Ebben a videóban látni fogjuk, hogy ezek az egységkörös definíciók egyszerűen a „szisza koma taszem” kiterjesztései. Először nézzük meg az X per 1-et! Van X, X az az X koordináta, itt ennek az oldalnak a hossza is X, ez a théta szöghöz viszonyítva a szög melletti befogó, tehát X megegyezik a szög melletti befogóval. Mi az 1? Nos, ez itt egy egységkör, az 1 a sugár hossza, amely ebben a derékszögű háromszögben az átfogó is. Ha a „szisza koma taszem” definíciót alkalmazzuk, akkor X per 1 a melletti befogó osztva az átfogóval, melletti per átfogó, ami a koszinusz. Tehát ez a théta koszinusza lesz, de a théta ugyanaz, mint az MKJ szög, ugyanaz a nagyságuk, tehát az MKJ szög koszinusza egyenlő a théta koszinuszával, ami egyenlő X per 1-gyel. Nézzük az Y per 1-et! Nos, az Y ennek az oldalnak a hossza itt. Y az... hadd csináljam ezt kékkel! Y ez a hosszúság lesz, a théta szöghöz viszonyítva ez a szemközti befogó, ez a szemközti oldal. Melyik szögfüggvény a szemközti per átfogó? Szemközti per átfogó, ez a théta szinusza. Tehát az MKJ szög szinusza ugyanaz, mint a théta szinusza, láthatjuk, hogy ugyanakkorák, és most láthatjuk azt is, hogy a szinusz ugyanaz, Y per 1. Mindkettőre a „szisza koma taszem” definíciót használtam, de használhattuk volna az egységkörös definíciót is. X per 1, ugyanaz, ez ugyanaz, mint az X, és az egységkörös definíció azt mondja, ennek az X koordinátája, azt hiszem, azt is mondhatnád, hogy ennek a pontnak az X koordinátája, ahol ez a sugár itt metszi az egységkört. Eszerint a definíció szerint, az egységkörös definíció szerint ennek a szögnek a koszinusza X-szel egyenlő, és az egységkörös definíció szerint az Y koordináta egyenlő ennek a szögnek a szinuszával. Ezt is írhattuk volna az X, Y helyett, írhattuk volna ezt a théta koszinuszának, ezt a théta szinuszának, de folytassuk csak tovább! Most jön az X per Y. Ez itt a melletti, melletti per szemközti befogó, tehát ez egyenlő a melletti per a szemközti befogó. A tangens a szemközti per melletti, nem a melletti per szemközti. Ez a tangens reciproka. Ez itt, ha kell, akkor ez egyenlő az 1 per tangens théta, később majd tanulunk a kotangensről, ami lényegében ez, de ez nem egyezik meg egyik választási lehetőséggel sem, tehát ezt kizárhatjuk. Van még az Y per X. Nos, ez jól fest. Az Y a szemközti, X a théta szög melletti, tehát ez a théta tangense. Ez megegyezik a théta tangensével. Az MKJ szög tangense ugyanaz, mint a théta tangense, ami X per Y-nal egyenlő. Most nézzük meg a J per K-t! Most áttérünk ebbe a háromszögbe, J per K. Ehhez a szöghöz képest, mert ez az a szög, amelyik minket érdekel, J a szög melletti befogó hossza, K pedig a szemközti befogó hossza. Tehát ez melletti per szemközti, ez megegyezik a melletti per szemköztivel. A tangens a szemközti per melletti, nem a melletti per szemközti, tehát ez ismét a reciproka a tangens szögfüggvénynek, ami nincs a választási lehetőségek között, tehát ezt kizárhatjuk. A következő a K per J. Nos, ez a szemközti per melletti. Szemközti per melletti, ez egyenlő a théta tangensével. Ez egyenlő a théta tangensével, vagy az MKJ szög tangensével, ez egyenlő a K per J-vel. Van még az M per J. Átfogó per melletti befogó. Ez természetesen megegyezik az átfogóval. Átfogó per melletti. Nos, ha melletti per átfogó lenne, akkor ez lenne a koszinusz, de ez annak a reciproka. Valójában ez 1 per a koszinusz théta, ami nincs a választási lehetőségek között, egyik sem közülük, szóval csak fogom, és áthúzom ezt itt. És akkor itt van a reciproka, a J per M, ami a melletti per átfogó. A melletti per átfogó az a koszinusz. Ez egyenlő a théta koszinuszával, vagy az MKJ szög koszinuszával, ezért ezt ide leírhatjuk, ez egyenlő a J per M-mel. Aztán itt az utolsó, K per M. Nos, ez a szemközti per átfogó, szemközti per átfogó, ez pedig a théta szinusza. Ez itt megegyezik a théta szinuszával, ami ugyanaz, mint az MKJ szög szinusza, ami ugyanaz, mint az összes kifejezés itt, ez egyenlő K per M-mel. És készen is vagyunk.