A szinuszoid függvények jellemzői

Szeretném, ha az itt ábrázolt periodikus függvény kapcsán elgondolkodnál arról, hogy mi a középvonala ennek a függvénynek. A középvonal egy olyan vízszintes vonal, ami alatt és felett is a függvény fele-fele helyezkedik el. És aztán azt szeretném, ha elgondolkodnál azon, hogy mi az amplitúdója. Mennyire tér el a függvény a középvonaltól, mennyivel megy fölé vagy alá? Ezeknek a mennyiségeknek ugyanakkorának kellene lennie, hiszen a középvonal a legmagasabb és a legalacsonyabb pontok közt van félúton. És végül gondolkodj el azon, hogy mi ennek a függvénynek a periódusa. Mennyit kell x-nek változnia, hogy ez a periodikus függvény a ciklusának ugyanahhoz a pontjához visszaérjen? Arra biztatlak, hogy állítsd meg a videót, és gondolkodj el ezekről a kérdésekről! Nézzük először a középvonalat! Egyik módja annak, hogy ezt kitaláljuk, hogy megnézzük, milyen magasra megy fel a függvény. Láthatjuk, hogy a legnagyobb y-érték 4. Eléggé rendszeresen eléri a 4-et, erről a rendszerességről majd a periódus kapcsán fogunk beszélni. És mi a függvény legkisebb értéke? Nos, ez az y egyenlő mínusz kettő. Tehát mi van félúton a 4 és a mínusz kettő között? Nos, ezt szemrevételezéssel is kitalálhatod, vagy szó szerint veheted az átlagát a négynek és a mínusz kettőnek. Tehát a középvonal egy vízszintes vonal, ahol y egyenlő 4 + (-2) osztva kettővel. Ez szó szerint a számtani közepe a 4-nek és a mínusz 2-nek, a 4 és mínusz 2 átlaga pedig egyenlő 1-gyel. Tehát az y egyenlő 1 egyenes a középvonal. Ez itt. Most már láthatod, hogy ez kettévágja a függvényt, a függvény fele felette van, a másik fele alatta. Tehát ez a középvonal (angolul midline). Most gondolkodjunk az amplitúdóról! Az amplitúdó azt árulja el, mennyire tér el a függvény a középvonaltól, mennyire tér el felfelé vagy lefelé a középvonaltól. A középvonal középen van, tehát ez a két érték egyezni fog, akár felfelé, akár lefelé nézzük. Egyik módszer ennek meghatározására az, hogy megnézzük azt, hogy ez a maximum milyen messze van a középvonaltól. Ahhoz, hogy 1-ből 4-be eljussunk, 3-mal kell elmozdulni a középvonal fölé. Gondolkodhatunk úgy is erről a maximumról, hogy (y egyenlő 4) mínusz (y egyenlő 1). Tehát az y érték 3-mal tud a középvonal fölé menni. Vagy úgy is mondhatod, hogy az y a középvonaltól lefelé 3-mal térhet el. Ez a pont itt, 1 mínusz 3 az mínusz 2 (angolul rosszul mondja -1-nek). Tehát az amplitúdó itt egyenlő 3-mal. A függvény 3-mal lehet a középvonal felett vagy alatt. Végül a periódus. Amikor a periódusról van szó, akkor próbálok egy viszonylag alkalmas pontot keresni a görbén. Azért hívom alkalmas pontnak – amikor x értéke mínusz 2, y értéke 1 –, mert ezek szép, egész értékek. Szeretnék ezen a görbén haladni addig, amíg visszajutok ugyanehhez az y-értékhez, de nem csak ugyanahhoz az y-hoz jutok vissza, hanem ugyanabba az irányba is haladok. Például haladjunk itt ezen a görbén. Az x alapvetően növekszik. Mondhatnád, hogy „Hé, megtettem már egy teljes ciklust, hiszen az y értéke megint 1!” Itt még nem tettem meg egy ciklust, mert nézd csak meg: az y növekszik, ahogy az x növekszik. Itt pedig az y csökken, míg az x növekszik. Itt a meredekség pozitív, itt a meredekség negatív. Tehát ez a pont nem ugyanaz a pontja a ciklusnak. Ahhoz a ponthoz kell eljutnunk, ahol az y ismét egyenlő 1-gyel, úgy is mondhatnánk ebben az esetben, hogy a középvonalnál vagyunk ismét, de a meredekség pozitív. Folytassuk! Ez elvisz minket idáig. Figyeld meg, hogy most már befejeztünk egy ciklust. Amennyit változik az x egy teljes ciklusban, az a periódus. Tehát mínusz 2-ből 0-ba jutottunk, a periódus 2. És ezt ismét meg tudod csinálni. Szóval ezen a ponton vagyunk. Lássuk, hogyan tudunk visszatérni ide, ha a középvonalnál vagyunk – itt kezdtem a középvonalnál, de bármelyik pontnál kezdhetném. Ugyanehhez a ponthoz szeretnénk jutni, de az is kell, hogy a meredekség ugyanaz legyen. Ismét a ciklus ugyanazon pontján vagyunk. Tehát ha 1-et megyek, akkor ismét a középvonalon vagyok, de itt lefelé haladok. Tehát tovább kell mennem. Most itt vagyok ugyanaz a ponton a ciklusban. Az y egyenlő 1-gyel és a meredekség pozitív. Remélem, észrevetted, megtettem egy periódust. Az x-koordináta változása a periódus. Itt ez 2.