Trigonometrikus függvények értelmezése szöveges feladatokban

Alexandra egy óriáskerékre szállt fel. A földtől számított aktuális magasságát a H(t) függvény modellezi, ahol „t" jelenti a másodpercekben mért időt. És pont ezt látjuk itt. Ebben a videóban ennek a grafikonnak néhány tulajdonságát akarom megvizsgálni. Méghozzá elsőként ezek közül a középvonalat. Állítsd le most a videót, és próbáld meg meghatározni ennek a grafikonnak vagy függvénynek a középvonalát! Ezután át fogjuk gondolni, hogy mit is jelent ez valójában. Nos, Alexandra a föld felett 5 m-ről indul, és aztán megy-megy egyre magasabbra, amíg elérkezik 25 m magasra, és aztán megy lefelé egészen 5 m föld feletti magasságig, majd megint fel 25 m-ig. A középvonal a szélsőértékek között középen van, vagy a szélsőértékek átlaga. Nos, a szélsőértékek: a legalacsonyabb pont, ahova elér, öt és a legmagasabb, 25. Mekkora az 5 és a 25 átlaga? Nos, ez 15 lesz. A középvonal tehát valami ilyesmi lesz. A vonalat a görbén túl is meghúzom, méghozzá azért, hogy segítsen végiggondolni, mit is fejez ki a középvonal. Egyrészt gondolhatunk erre úgy, hogy ez mutatja a körbeforgásunk középpontját, vagy hogy a földtől milyen magasan van az óriáskerék középpontja. Hogy ezt jobban magunk elé tudjuk képzelni, rajzolok egy óriáskereket. Rajzolok egy kört, aminek ez a középpontja. Az óráskerék valahogy így fog kinézni. És persze van neki valamilyen tartószerkezete, tehát az óráskerék valahogy így fog kinézni. És ez a föld feletti magasság 15 m, ezt jelöli a középvonal. A következő tulajdonság, amit vizsgálni szeretnék, az amplitúdó. Állítsd le a videót, és gondolkodj el azon, mi is az amplitúdója ennek a periodikus függvénynek, és aztán majd együtt megbeszéljük, mit is jelent ez a valóságban, vagy hogy mit értünk alatta. Nos, az amplitúdó az a maximális különbség, vagyis a maximális távolság ettől a középvonaltól. És ezt láthatod itt. Amikor Alexandra elindul, ez az indulás a középvonal alatt van 10 méterrel, 10 m a középponthoz képest, ekkor Alexandra itt van, 10 méterrel a középvonal alatt. Ezután – úgy tűnik – 10 másodperccel később ideér a középvonalhoz, ami azt jelenti, hogy itt van. Mondjuk az óriáskerék erre forog, legalábbis én így képzelem el, az óramutató járásával egyezően. És akkor egy újabb 10 másodperc elteltével elér 25 m-re. Vagyis ide. Láthatod is, itt van, direkt egy ekkora kört rajzoltam ide, így jól érzékelhetjük az amplitúdót. 10 méterrel a középvonal alatt és 10 méterrel felette. Így ez a maximális eltérés, vagy a maximális különbség a középvonalhoz képest. Itt ez valójában az óriáskerekünk sugarát jelenti, 10 m-t. És azután innen ismét lefele fog haladni, és itt visszaér oda, ahonnan elindult. Az utolsó jellegzetes dolog, amit meg akarok vizsgálni, az a periódus fogalma. Mekkora ennek a periodikus függvénynek a periódusa? Állítsd most le a videót és gondolkozz el ezen! Nos, a periódus azt jelenti, hogy mennyi ideig tart, amíg egy teljes kört leírunk. Alexandra itt alul indul. És nézzük csak, 10 másodperc múlva még nem ér vissza alulra, 20 másodperc múlva sem, 30 másodperc múlva sem, és aztán itt van, 40 másodperc elmúltával visszaér alulra, hogy aztán újra elinduljon felfelé. Vagyis ez az idő itt 40 másodperc, és ez a periódus. És ha belegondolsz, miről van itt szó, itt indul, öt méterre a föld fölöttről. 10 másodperc múlva ideér, és ez felel meg ennek a pontnak. Aztán újabb 10 másodperc múlva itt lesz, ez felel meg ennek a pontnak. Újabb 10 másodperc múlva itt van, ami megfelel ennek, és további 10 másodperc, azaz összesen 40 másodperc alatt visszaér a kiindulási pontra. Így tehát ebben a példában a periódus azt mutatja meg, hogy mennyi idő alatt történik meg egy teljes fordulat. Vigyáznunk kell azonban, amikor a periódust akarjuk vizsgálni, mert néha esetleg kényelmesnek tűnik mondjuk azt mondani, hogy induljunk innen, itt ugye 15 m magasan vagyunk a föld fölött, innen megyünk lefele, majd megint felfelé, és nocsak, 15 méterre vagyunk a földtől. Akkor talán ez a 20 másodperc a periódus. De ha itt nézed, akkor világos, hogy nem ez a helyzet. Ez a pont felel meg ennek a pontnak, amikor 15 m-re vagyunk a földtől, megyünk lefelé, és eljutunk ehhez a ponthoz, és aztán újabb 10 mp, amíg visszajutunk ide. Figyeld meg, hogy itt csak egy fél kört mértünk, csak a kör felét tettük meg. Ahhoz, hogy teljesen körbemenjünk, nem pusztán ugyanazt a magasságot kell elérnünk, de ugyanolyan irányban is kell mozognunk. Itt 15 m-en vagyunk és lefele mozgunk, itt 15 m-en vagyunk és fölfelé haladunk. Vagyis tovább kell még mennünk egy másik 20 mp-et, hogy 15 m magasan legyünk, és lefelé haladjunk.