Trigonometria szöveges feladat: a nap hossza (fáziseltolás)

Az év leghosszabb hónapja az alaszkai Juneau-ban június 21-e. Ez 1096,5 perc hosszú. Fél évvel később, amikor a napok a legrövidebbek, egy nap körülbelül 382,5 perc. Nem szökőévben egy év 365 nap, és június 21-e a 172-edik napja az évnek. Írj fel egy trigonometrikus függvényt, ami megadja az év 't'-edik napjának 'L' hosszát! Tehát lesz egy 'L(t)' függvényünk. feltételezve, hogy nem szökőévről van szó. Javaslom, hogy állítsd meg a videót, és próbáld meg saját magad megoldani, mielőtt nekikezdenék. Hadd próbáljam meg én is! Az 'L(t)' függvény helyett inkább egy 'L(u)' függvénnyel kezdek, ahol 'u' egy közbenső változó, amivel egyszerűbben felírhatjuk a függvényt. 'u' jelölje a napok számát június 21-e után. Gondoljuk csak át egy kicsit! Június 21-e. Ha 'u' változóban gondolkozunk, akkor nulla lesz, mert nulla nappal vagyunk június 21-e után. Viszont, ha 't'-ben gondolkozunk, akkor június 21-e az év 172-edik napja. 172. Mi a kapcsolat 'u' és 't' között? El vannak tolva 172 nappal egymáshoz képest. u egyenlő t minusz 172 Figyeld meg, hogy ha t = 172, akkor u = 0. Először állítsuk elő az 'L(u)' függvényt, majd behelyettesítjük, hogy u = t -172. Először is, mi történik, ha u = 0? Hadd írjam le! Mi is történik, ha u = 0? Amikor u egyenlő nulla, június 21-e van, és ez a maximum pont. Melyik trigonometrikus függvénynek van maximuma a nulla helyen? A szinusz a nullában nulla, míg a koszinusz a nullában egy, a koszinusznak van itt a maximuma! Tehát egyszerűbbnek tűnik a koszinuszt használni. Lesz egy 'A' amplitúdó szorozva koszinusz... 'C' együttható, de legyen inkább B, mivel előtte 'A'-t használtam. Egy együttható szorozva 'u'-val, plusz egy konstans, ami az egész függvényt fel-le tologatja. Ilyen alakú lesz a függvényünk. Most már csak ki kell találnunk, hogy mivel egyenlő 'A', B és C. Először vizsgáljuk, hogy mi lesz az amplitúdó és a középvonal. A középvonal tulajdonképpen megmutatja, hogy mennyivel toljuk fel a függvényt. Vegyük elő a számológépünket! A középvonal ennek a két számnak az átlagánál lesz, tehát 1096,5 plusz 382,5, osztva kettővel, ami 739,5-del egyenlő. Tehát C egyenlő 739,5. Az amplitúdó pedig azt mondja meg, hogy mennyire mozdulunk el a középvonaltól. Akár 1096,5 minusz az előbbi 'C', vagy pedig az előbbi 'C' minusz 382,5. Tegyük az előbbit! 1096,5 minusz 739,5. És 357-et kapunk, ennyit mozgunk el a középvonaltól. 'A' egyenlő 357. És mivel egyenlő a B? Ilyenkor így gondolkodom: "Hogy viselkedik a függvény? Mi a függvény periódusa?" Hadd rajzoljak ide egy táblázatot! Rakjunk be különböző 'u' értékeket! Amikor nulla nappal vagyunk június 21-e után, akkor értük el a maximum pontot, és a koszinusz függvény értékét keressük itt, azaz ebben a pontban keressük a 357-szer koszinusz nulla plusz 739,5 értékét. És mi egy teljes periódus? Egy teljes periódus egy év. Egy évvel később az év ugyanazon pontján (napján) vagyunk, ami némi józan ésszel is megmondható. Ha u = 365, akkor eltelt egy periódus, és visszaértünk a maximumhoz, ami nem más mint 357-szer koszinusz 2π ... Ha egy egyszerű trigonometrikus függvénnyel van dolgunk, és mondjuk van itt egy théta szögünk, akkor 2π lesz a periódus. Ez pedig ekvivalens azzal, amit ide kiírok, plusz 739,5. Egyrészt B szer 365 2π-vel kell, hogy megegyezzen. Írjuk is le! B szer 365, ami a koszinusz függvény argumentuma, 2π -vel kell, hogy egyenlő legyen. Vagyis B egyenlő 2π per 365. B = 2π /365 És már majdnem kész vagyunk. Meghatároztuk A-t, B-t és C-t, be kell még helyettesítenünk 'u' helyére 't-172'-t, hogy 't'-től függjön. Tegyünk is így! Ez megérdemel egy kis dobpergést! L(t) egyenlő A-szor, azaz 357-szer koszinusz B szorozva 2π per 365-ször... nem 'u'-val, hanem 't'-vel kifejezve, az év adott napjára vagyunk kíváncsiak, nem pedig a június 21. utáni napokra. ... szorozva (t - 172), végül plusz a középvonal, plusz 739,5. És végeztünk is. Ez egy bonyolult összefüggésnek tűnik, de ha részleteire bontod, és végiggondolod, megállapítod a szélsőértékeket, akár a minimumot, akár a maximumot, megvizsgálod a függvényt a nulla, vagy a 2π argumentumnál, a nulla ugye a legegyszerűbb. És végül foglalkozhatunk az eltolással. Remélem, hogy hasznosnak találtad a videót.