If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:6:46

Trigonometria szöveges feladat: az éves hőmérséklet modellezése

Videóátirat

Az év legmelegebb napja a chilei Santiagóban átlagosan január hetedike, amikor az átlagos maximum-hőmérséklet 29 Celsius-fok. Az év leghidegebb napjának átlagos hőmérsékleti maximuma 14 Celsius-fok. Használj trigonometrikus függvényt a chilei Santiago hőmérsékletének modellezésére, az év hosszát 365 napnak tekintve! Ne feledd, hogy január hetedike nyárnak számít Santiagóban! Január hetedike után hány nappal van a tavasz első napja, amikor a hőmérséklet eléri a 20 Celsius- fokot? Bontsuk két részre a feladatot! Először próbáljunk egy olyan trigonometrikus függvényt találni, amelyik modellezi a hőmérsékletet a chilei Santiagoban. A hőmérséklet a nap függvénye lesz, ahol a nap a január hetedike utáni napok számát jelenti. Miután megvan a trigonometrikus függvény, ami ezt modellezi, meg tudjuk válaszolni a feladat második részét, a fő kérdést, hogy „Hány nappal január hetedike után van a tavasz első napja, amikor a hőmérséklet eléri a 20 Celsius-fokot?” Ahhoz, hogy jobban át tudjuk gondolni, ábrázoljuk, és egészen nyilvánvalóvá fog válni, miért ajánlott itt trigonometrikus függvényt használni. Azért, mert az évszakok ciklikusan váltakoznak, a hőmérséklet fel- és lemegy. Ha bármely város átlaghőmérsékletét nézed az év során, tényleg úgy néz ki, mint egy trigonometrikus függvény. Ezen a tengely itt a napok múlása legyen. Legyen 'd' (day) a napok száma január hetedike után, így ez lesz itt január hetedike. A függőleges tengely ‒ emez a vízszintes tengely ‒, a függőleges tengelyen Celsius-fokban mérünk. A legmagasabb érték 29 ‒ írhatok 29 Celsius-fokot ‒, ez a legnagyobb átlagos napi maximum-hőmérséklet. És ha itt a nulla, akkor itt a 14, ami a legalacsonyabb napi átlag. 14 Celsius-fok. Így a hőmérsékletünk e két szélsőérték között fog váltakozni. A legnagyobb átlagos maximum-hőmérsékletű napot már ismerjük, az a január hetedike, 29 Celsius-fok van akkor. Az év leghidegebb napján pedig az átlagos maximum-hőmérséklet 14 Celsius-fok. Szóval így fog kinézni. Egy adott napra vonatkozó átlagos csúcshőmérsékletekről beszélünk, így a trigonometrikus függvény jó ötlet, mert ez periódikus. Ha ez január hetedike, és 365 nappal előre mész a jövőbe, újból január hetedikéhez jutsz. Ha ezen a napon az átlagos maximum-hőmérséklet 29 Celsius-fok, akkor az átlagos csúcshőmérséklet 29 Celsius-fok lesz ezen a napon is. Mivel trigonometrikus függvényt használunk, a legalacsonyabb értéket pontosan félúton érjük majd el. Szóval a legalacsonyabb értéket pontosan félúton érjük el, valami ilyesmi lesz. Tehát a függvényünk így fog kinézni, lássuk, a legalacsonyabb értéket ide rajzolom, és emez lesz a legmagasabb érték, ez itt a legmagasabb pont. Ez egész jól néz ki, ha itt van a csúcspont, akkor már csak össze kell őket kötnöm, és kész is. Lerajzoltam a trigonometrikus függvényünk egy periódusát, a periódus 365 napból áll. Ha 365 nappal későbbre megyünk, akkor a ciklusnak ugyanabban a pontjában leszünk, vagyis az év ugyanazon pontjában. Az év ugyanazon pontjában vagyunk. Szóval, amit most szeretnék, hogy megcsinálj, az az, hogy ez alapján, amit most rajzoltam, próbáld meg ezt modellezni. Legyen ez itt T, ami a d függvénye. Próbáld kifejezni T-t a d függvényében, és ne feledd, hogy ez valamilyen trigonometrikus függvény lesz. Feltételezem, hogy megpróbáltad, és talán felmerült benned, hogy „ez úgy néz ki, mint egy koszinuszgörbe, vagy lehet, hogy szinuszgörbe, melyiket használjam?” Igazából bármelyiket választhatod, de én mindig az egyszerűbbet szeretem használni. Próbálj úgy gondolkodni, hogy ha ezek itt szögek, akár fokban, akár radiánban vannak megadva, melyik szögfüggvény kezdődik a csúcspontban? A nulla koszinusza egy. A koszinusz a csúcspontban kezdődik. A nulla szinusza nulla, ezért itt a koszinuszt alkalmazom. A koszinusz függvényt fogom használni. A hőmérséklet a napok függvényében valamilyen amplitúdó szorozva a koszinusz függvényünkkel, lesz valamilyen változója a koszinusz függvényünknek, aztán még valószínűleg el kell majd tolnom. Gondoljuk végig, hogyan csináljuk ezt! Mi itt a középvonal? A középvonal pont félúton van a legmagasabb és legalacsonyabb értékünk között. Ez a felezőpont, és ha ábrázoljuk, így néz ki, ez itt a középvonalunk. És mi az értéke? Mi a 29 és a 14 átlaga? 29 meg 14 az egyenlő 43-mal, ez osztva kettővel az 21,5 Celsius-fok. Szóval ez a középvonalunk. Tulajdonképpen ezzel az értékkel feltoltuk a függvényünket. Ha csak egy normál koszinusz függvényünk lenne, akkor a középvonal a nullánál lenne. De most 21,5 Celsius-foknál van a középvonalunk. Ide is írom, hogy +21,5, ennyivel toltuk fel a függvényt. Nézzük az amplitúdót! Az amplitúdó az, amennyivel eltérünk a középvonaltól. Itt 7,5-del vagyunk a középvonal felett, így ez +7,5. Itt pedig 7,5-del vagyunk a középvonal alatt, így ez -7,5. Az amplitúdónk tehát 7,5, a legnagyobb érték, amivel eltérünk a középvonaltól, az 7,5. Ez az amplitúdónk. Most akkor gondolkodjunk a koszinusz függvényünk argumentumáról! Ez a nap (d) függvénye lesz. Mit is szeretnénk? Amikor eltelt 365 nap, szeretnénk, hogy itt a teljes értek 2π legyen. Szóval amikor d egyenlő 365-tel, szeretnénk, hogy ez az egész 2π-re jöjjön ki. Tehát ide 2π/365-öt tehetünk. Talán emlékszel is a képletre, én mindig elfelejtem, ezért próbálom inkább mindig kiokoskodni. A képlet valami ilyesmi, 2π osztva 365-tel és még valami. De én inkább úgy szeretek gondolkodni, hogy „egy periódus után, ami 365 nap, szeretném, hogy az itt lévő teljes érték 2π legyen.” „Szeretnék egyszer körbe menni az egységkörön, és így, ha ez 2π per 365, amikor megszorzod 365-tel, erre az együtthatóra 2π-t kapsz.” Meg is vagyunk a kérdés első részével. Modelleztük az átlagos maximum-hőmérsékletet a chilei Santiagóban a napok függvényében január hetedike után. A következő videóban válaszolunk a második kérdésre is. Azt ajánlom, hogy csináld meg előre, mielőtt megnéznéd a következő videót, és adok hozzá egy kis segítséget. Ügyelj arra, hogy a tavasz első napját említik!