Trigonometria szöveges feladat: a napi hőmérséklet modellezése

Johannesburgban a júniusi legalacsonyabb napi hőmérséklet általában körülbelül 3°C, míg a legmagasabb körülbelül 18°C. A hőmérséklet jellemzően a napi minimum és maximum átlagával egyenlő délelőtt 10-kor és este 10-kor is, továbbá délután van a legmagasabb hőmérséklet. Írj fel egy trigonometrikus függvényt, ami leírja a johannesburgi T hőmérsékletet t órával éjfél után! Lássuk, hogy nézhet ki a függvény képe! Ez a hőmérséklet tengely, mégpedig °C-ban. (Két különböző függvényt fogok rajzolni.) Ez a hőmérséklet tengely, ez a tengely pedig az idő, mégpedig órában. t az órában mért idő. Nézzük meg a hőmérséklet értékeket! A napi minimum hőmérséklet 3 °C, a maximum pedig 18, legyen itt a 18, itt pedig a 3. Jelöljük be az átlagukat is, amit délelőtt 10-kor és este 10-kor vesz fel a függvény. 18 plusz 3 egyenlő 21, osztva 2-vel 10,5. Így mondhatjuk, hogy a trigonometrikus függvényünk középvonala 10,5 °C-nál lesz. Hadd rajzoljam be a középvonalat! Tulajdonképpen e körül fog a függvény ingadozni. A napi maximum 18 °C körül alakul, a minimum pedig 3 °C körül. Tehát a középvonal körül fogunk ingadozni, érintve a minimumot és a maximumot. Az egyszerűség kedvéért ‒ mivel reggel és este 10-kor lesz 10,5 °C ‒ először nem az eredeti kérdésre válaszolok (éjfél óta eltelt órák), hanem egy új függvényt értelmezek, F(t)-t, ami nem más, mint a johannesburgi hőmérséklet t órával délelőtt 10 után. Azért választom a de. 10 órát, mert tudjuk, hogy de. 10-kor a hőmérséklet rajta van a középvonalon. Tehát t órával de. 10 után. Ha az F(t) függvényt a t=0 helyen nézem, az azt jelenti, hogy de. 10 óra van, tehát a középvonalon vagyunk. És mi lesz a trigonometrikus függvény periódusa? Nos, 24 óra múlva ugyanúgy de. 10 óra lesz, így a periódus 24 óra. Ide is írom a 24-et, középen pedig a 12 lesz. Mi történik 12 óra múlva? 12 óra múlva este 10 óra lesz, így visszatérünk a középvonalra. Majd 24 óra múlva ismét de. 10 óra lesz. Ezek a tehát az F(t) függvény pontjai lesznek, de nézzük, mi lesz ezeken kívül! De. 10-kor kezdünk, és azt írják, hogy a legmagasabb hőmérséklet délután lesz. A délután pedig valahol itt lesz. Itt emelkedik a hőmérséklet. A legmagasabb pont éppen a kettő között lesz, tehát 6 órával de. 10 után, ami du. 4 órát jelent, itt lesz a maximum. Le is rajzolom a görbét, valahogy így néz ki. Itt este 10 óra van, majd 6 órával később hajnal 4 lesz. Itt lesz a minimum. Ez 18 órával de. 10 után lesz, itt érjük el a minimum hőmérsékletet, körülbelül itt leszünk. A függvénygörbe valahogy így fog kinézni. Mielőtt nekifognánk a T(t) függvénynek – a függvény nyilván így megy tovább, mehetünk órákkal délelőtt 10 óra elé is, periodikusan folytatódik a végtelenségig –, nézzük, hogy írható fel az F(t) függvény! Nyugodtan állítsd meg a videót, és gondolkozz el rajta! Nos, ez lehet egy szinusz vagy koszinusz függvény, tulajdonképpen bármelyiket használhatjuk, ugyanakkor az egyik mindig egyszerűbb. Melyik függvény van a középvonalon, amikor az argumentum nulla? Nos, a szinusz a nullában nulla, és ha nem tolnánk el felfelé vagy lefelé, akkor a szinusz függvény középvonala a nullában lenne, és utána először növekszik, és úgy váltakozik, mint ez. Úgy tűnik, hogy a szinusz a jó választás. Még egyszer mondom, bármelyikkel működik, de úgy érzem, hogy így egy fokkal könnyebb lesz. Nézzük az amplitúdót! Mennyivel térünk el a középvonaltól? Itt 7,5-del vagyunk a középvonal felett, itt pedig 7,5-del alatta, így az amplitúdó 7,5. Hadd írjam inkább egy másik színnel, hogy lássuk, miből következik ez! Ez itt 7,5, ez is 7,5, így az amplitúdó is 7,5. Na és mennyi is a periódus? Már beszéltünk róla, a periódus 24 óra. Ez a távolság 24 óra, ami ésszerű, hisz 24 óra múlva a napnak ugyanabban a pontjában leszünk. Tehát elosztjuk a 2π-t a periódussal (24-gyel), szorozva t-vel. Ha pedig elfelejtetted, hogy miért van így, csak arra kell emlékezned, milyen t értékek vezetnek el ide. Ha t = 0, akkor a függvény teljes argumentum nulla lesz, ekkor vagyunk itt. Amikor pedig t = 24, akkor a teljes argumentum 2π lesz, azaz tettünk egy fordulatot az egységkörön, ha a szinusz függvény argumentumát tekintjük. Majdnem meg is vagyunk. Ha ezt ábrázolnám, ennek a középvonala a nullában lenne, de látjuk, hogy minden fel van tolva 10,5-del, tehát mindent fel kell tolnunk 10,5-del. Ezzel sikeresen modelleztük a problémát. Persze tovább egyszerűsíthetnénk, π per 12-t írhatnánk a 2π per 24 helyett, de ez a függvény leírja a johannesburgi hőmérsékletet t órával délelőtt 10 után. Azonban nem ezt kérdezték, hanem a hőmérsékletet t órával éjfél után. Mi lenne T(t)? El kell tolnunk valamennyivel, hadd írjam le! T(t), ami t órával éjfél utánt jelent. Az amplitúdó ugyanaz marad, mert ugyanannyira távolodunk el a középvonaltól. Tehát 7,5 szorozva szinusz – inkább ugyanazt a színt használom, hogy látszódjon, mi változik –, tehát szinusz 2π/24 helyett π/12, t helyett pedig – eltolhatjuk akár jobbra, akár balra, tulajdonképpen bármelyik irányba eltolhatjuk, mert ez egy periodikus függvény, azt kell kitalálnunk, hogy mennyivel toljuk el –, tehát t plusz vagy mínusz valami, amivel eltoljuk, plusz 10,5. Nekem ilyenkor kicsit gondolkodnom kell az irányokról. Tehát itt délelőtt 10 órakor t = 0, azaz nulla órával vagyunk de. 10 után. De ennél a függvénynél hol van a délelőtt 10 óra? 10 óra annyit tesz, hogy 10 órával vagyunk éjfél után. T(10), azaz 10 órával éjfél után egyenlő kell legyen F(0)-val, hiszen itt a t a délelőtt 10 óra óta eltelt időt jelöli. Ez a kifejezés nem más, mint a hőmérséklet délelőtt 10-kor. Ez pedig, mivel T az éjfél óta eltelt órák függvénye, szintén a hőmérséklet délelőtt 10 -kor. Tehát T(10) egyenlő kell, hogy legyen F(0)-val. Másképpen, amikor F(0), ez az egész argumentum nulla, tehát azt szeretnénk, hogy ez az egész argumentum nulla legyen, ha t=10. Hogy csináljuk? Nos, ez itt t-10. Figyeld meg, hogy ha behelyettesíted ide a 10-et, ez az egész kifejezés 0 lesz. Van még a 10,5. F(0) ugyanúgy 10,5, mint a T(10). Tehát T(10) = F(0), tulajdonképpen válaszoltunk a kérdésre. Ha 10-et helyettesítünk be ide, a szinusz argumentuma nulla lesz, és a két kifejezés megegyezik. De rajzoljuk is le! Ez itt 6, ez 12, a 10 valahol itt lesz. Tehát T(10) ugyanazt jelenti, mint F(0), és tulajdonképpen mindent eltolunk jobbra, méghozzá 10-zel. És ez így logikus, hisz bármennyi idővel vagyunk délelőtt 10 után, éjfél óta mindenképpen 10-zel több óra telt el. Tehát minden el van tolva 10-zel. Lássuk csak... Valahogy így fog kinézni. És természetesen váltakozik. Tulajdonképpen mindent eltoltunk jobbra 10-zel, ehhez pedig az argumentumban 't'-t ki kellett cserélnünk 't-10'-re.