Szinusz- és koszinuszfüggvények (szinuszoidok) tarnszformációja: függőleges és vízszintes nyújtás

Ábrázoljuk az y = -2,5 cos ⅓ x függvényt a 0 és 6π közötti zárt intervallumon, azaz a végpontokat is beleértve! Hadd próbáljam meg ábrázolni! Azzal kezdem, hogy a legegyszerűbb függvényt, az alapfüggvényt ábrázolom, ami a cos x. Hadd ábrázoljam – és ezt te is megteheted –, hadd ábrázoljam a cos x-et! Ez lesz az y tengelyem. Itt mindenesetre helyet akarok hagyni, hogy később az egészet meg tudjam rajzolni. Legyen itt a -1, ez meg a -2, itt van a +1 és a +2. És legyen mondjuk itt a 2π, ami azt jelenti, hogy itt van a π. Először is hadd másoljam ezt le, hogy később majd használni tudjam! Na kezdjük, először megrajzolom az y = cos x függvényt. Amikor x = 0 – most csak a 0 és 2π közötti intervallumban fogom vizsgálni, ez egy periodikus függvény, negatív és pozitív irányban is így folytatódik –, tehát mi történik, amikor x = 0? Mennyi lesz x koszinusza? Nos, cos 0 = 1. És mi a helyzet x = π esetén, mennyi a π koszinusza? cos π = -1. És 2π koszinusza? Ez megint csak 1. Visszaértünk, megtettünk egy periódust, vagy befejeztünk egy teljes ciklust. A cos x periódusa 2π, így ez itt egy ciklus. Folytathatnám persze, ha akarnám, de ez a lényeg, csak ezt az egy periódust akartam megrajzolni 0 és 2π között. Most akkor gondolkodjunk el azon, mi történik ezzel a görbével? Vegyünk most elő egy másik koordináta-rendszert, és az y = cos x helyett most az y = cos ⅓x függvényt fogom ábrázolni. Az egyetlen különbség a kettő között, hogy most megszorzom az x-et ⅓-dal. Mi fog most történni ezzel a görbével? Mennyire fog megváltozni, ha az x helyett ⅓x-et veszünk? Most az egész intervallumban fogom vizsgálni, 0 és 6π között, itt van a 3π, 4π, 5π és 6π. Mi fog tehát történni ezzel a görbével? Többféleképpen nézhetjük ezt a kérdést. A legegyszerűbb, ha azt mondjuk, hogy ⅓ sebességgel tesszük meg az egész ciklust, vagyis háromszor lassabban haladunk. Ha a periódussal akarjuk megfogalmazni, mekkora a cos ⅓x periódusa? A periódus nem más, mint 2π osztva ennek az együtthatónak az abszolútértékével, vagyis ⅓ abszolútértékével, ami ⅓. A periódus tehát 2π osztva ⅓, ami nem más, mint 2π・3 , azaz 6π. Ami megfelel az elképzelésünknek, háromszor annyi idő alatt fog a koszinusz függvény bármilyen x értéke mellett visszaérni a 2π-hez. Hiszen akármilyen x értékből indulunk ki, annak az ⅓-át vesszük, így ahhoz, hogy 2π-t kapjunk, nem elég az x = 2π, hanem x=6π-t kell beírni a koszinusz függvénybe. A periódus tehát 6π. x = 0-nál ⅓-szor 0 az 0, tehát cos 0 = 1. x = 6π-nél, 6π/3 az 2π, cos 2π = 1. És ha közben is meg akarod nézni, itt a közbülső részen π-t vizsgáltuk, most 3π-t kellene néznünk. x = 3π mellett 3π 1/3-ának koszinusza az ugye koszinusz π, és cos π = -1. Azaz amikor x = 3π, az 1/3-szor 3π érték koszinuszát vesszük, ami mínusz 1. Ez tehát valahogy így fog kinézni. Igyekszem szépen megrajzolni. Ilyen lesz. Láthatjuk, hogy amikor az y = cos x függvény helyett az y = cos ⅓x függvényre váltottunk, alapvetően a 3-szorosára nyújtottuk azt. Láthatod, hogy a periódusa 3-szor hosszabb, itt a periódus 2π volt. Már csak egy átalakításra van szükségünk az eredeti feladatban szereplő függvényhez. A cos ⅓x helyett ennek a mínusz 2,5-szeresét kell vennünk. Hadd rajzoljam ezt le! Itt vannak ismét a tengelyek, címkézzük fel őket! Itt van a 2π, 3π, 4π, 5π és a 6π. A célunk most, hogy felrajzoljuk az y= – és ezt most a 0 és 6π között fogjuk megtenni, bár itt ezt csak a 0 és 2π között rajzoltuk meg, de nyilvánvaló, hogy mindegyik periodikus, vagyis ismétlődnek –, az y = -2,5cos ⅓x függvényt akarjuk megrajzolni. Emiatt a változtatás miatt most mínusz 2,5-del szorzunk. Gondoljunk itt meg néhány dolgot! Mekkora volt az amplitúdó az első két görbénél? Megint kétféleképpen gondolkodhatunk erről. Mondhatjuk, hogy az amplitúdó a legkisebb és legnagyobb érték közti különbség fele. Ebben az esetben a minimum érték -1, a maximum érték 1, a különbség 2, annak fele 1. Úgy is mondhatjuk, hogy ennek az együtthatónak, ami ugye 1, az abszolútértéke, az 1 abszolútértéke pedig 1. Na és ennek mekkora lesz az amplitúdója? Az amplitúdó az abszolútértéke annak az számnak, amivel megszorozzuk a koszinusz függvényt. Esetünkben az amplitúdó a -2,5 abszolútértéke, ami 2,5. Ezt tudva, vajon a -2,5-szeres szorzó hogyan változtatja meg ezt a görbét? Gondolkodjunk! Ha plusz 2,5-del szoroznánk, az megnyújtaná. Mindegyik pontban megnőne a 2,5-szeresére. De mínusz 2,5-ről van szó, vagyis minden pontot, miután megnyújtottuk, tükröznünk kell az x tengelyre. Tegyük ezt! Amikor x = 0 volt itt, 1-et kaptunk. De most, hogy megszorozzuk -2,5-del, -2,5-et kapunk. Rajzoljuk itt be a -2,5-et! Segítségül bejelölöm itt a mínusz 3-at, itt meg a plusz 3-at. Ez lesz itt a -2,5. Ide rajzolok egy szaggatott vonalat, ez hasznos lehet. Nos, amikor cos ⅓x = 0, mindegy, hogy mennyivel szorozzuk, az 0 marad, itt 0 lesz. Amikor cos ⅓x = -1, ami ugye az x = 3π esetén volt, nos, akkor mi lesz itt? cos ⅓x = -1, mínusz 1-szer mínusz 2,5 az plusz 2,5. Itt tehát plusz 2,5-et kapunk (ide is berajzolom a szaggatott vonalat). 2,5-et kapunk, ami itt van. Azután amikor cos ⅓x = 0, nem számít, mivel szorzunk, 0-t kapunk. Majd végül, x = 6π-nél, amikor cos ⅓x = 1, mi fog történni, ha -2,5-del szorzunk? Nos, ez -2,5 lesz, vagyis visszaérünk ide. Most már készen állunk arra, hogy megrajzoljuk a görbénket, ami valami ilyesmi lesz. (Mivel ezt is lilával írtam, legyen a görbe is olyan színű.) Valahogy így fog kinézni. Láthatod, mi történt. Amikor idetettük az ⅓-ot, az megnyújtotta a görbénket, háromszorosára növelte a periódust. Amikor pedig -2,5-del szoroztunk – ha simán 2,5-del szoroznánk, akkor csak növelnénk egy kicsit –, de ez negatív, így nemcsak növeltük az amplitúdót, hanem tükröztük is. Tehát az amplitúdó itt valójában 2,5, 2,5-del térünk el a középvonaltól. Mondhatnánk úgy is, hogy a minimum és maximum közti különbség 5, és ennek a fele 2,5. De nem csupán 2,5-del szoroztuk meg a görbénket, mert ha ezt tettük volna, akkor valami ilyesmit kaptunk volna. De mivel negatív számmal szoroztunk, tükröznünk kellett az x tengelyre, és így kaptuk ezt a görbét. Az amplitúdó tehát 2,5, de ez ennek a görbének a tükörképe.