Szinusz- és koszinuszfüggvények (szinuszoidok) tarnszformációja: függőleges nyújtás és vízszintes tükrözés

Ábrázoljuk az y = 2sin(-x) függvényt a -2π és 2π közötti zárt intervallumon, azaz a két végpontot is beleértve! Ehhez először megrajzolom az y = sin(x) függvényt, aztán végiggondoljuk, hogyan változik meg, ha megszorozzuk 2-vel, illetve az x előtti mínusz jel hatására. Csináljuk akkor először a sin(x)-et! Megrajzoljuk az x tengelyt, az y tengelyt (egész egyenes lett), a -2π és 2π közötti résszel foglalkozunk, így legyen ez itt a -2π, ez a minusz π, ez természetesen a 0, a plusz π, ez pedig a 2π. Legyen itt az 1, itt a 2, itt pedig a -1 és a -2. (Lemásolom ezt, hogy majd később fel tudjam használni, amikor módosítom a grafikont.) Nézzük tehát a sin(x)-et! Mi történik, amikor a szinusz = 0, ja bocs, amikor x 0, sin(x) is 0. Rajzolok ide egy kis egységkört segítségül, mert így szeretek gondolkodni, szeretem kitalálni a szögfüggvények értékét. Ez x, ez y, megrajzoljuk az egységkört. És emlékszel? Itt az x a szögre vonatkozik. Az egységköröm sugara 1, amikor a szög 0, a szinusz az y koordináta lesz, azaz sin(0) = 0. Amikor a szinusz növekszik, felmegyünk egészen sin(π/2)-ig, ami 1, itt a sin(π/2) 1 lesz, míg a sin(π) 0-t eredményez. sin(3π/2) = minusz 1 és a sin(2π) visszavisz a 0-hoz. Tehát ha ezt ábrázolni akarjuk, valahogy így fog kinézni 0 és 2π között. A negatív irányba is el akarunk menni, ekkor a sin(-π/2) minusz 1 lesz, aztán visszaérünk a -π-nél a 0-hoz, -3π/2-höz visszajössz egészen idáig, ahol a szinusz értéke 1, majd jön a 2π, ahol a szinusz értéke megint 0. A görbe tehát valahogy így fog kinézni a negatív irányban, a 0 és -2π között. Mindez megfelel annak, amit a szinuszról tudunk. A sin(x) periódusa – amit itt látsz, az egy 1-es együttható – 2π per 1 abszolút értéke, ami nyilván 2π, vagy egyszerűen csak ránézel, és látod, hogy a periódus 2π. 2π a legkisebb ismétlődő mintánk hossza. És mekkora az amplitúdó? 1 és -1 között váltakozunk, a minimum és maximum közötti különbség 2, ennek a fele 1. Vagy másképpen, 1 egységnyivel térünk el a középértéktől. Mindez elég nyilvánvaló. Most akkor változtassunk egy kicsit, ábrázoljuk az y = 2sin(x) függvényt! Tegyük ide a tengelyeinket. Mi lesz most így, hogyan fog megváltozni az y = 2sin(x) görbénk? Mindössze annyit csináltunk, hogy megszoroztuk a függvényt 2-vel, így akármilyen értéket vett fel, most a kétszerese lesz. Így 2-szer 0 az 0, 2-szer 1 az 2, (vigyázzunk csak, még egyszer) 2-szer 1 az 2, ez a π/2 2-szer 0 az 0, 2-szer -1 az -2, 2-szer 0 az megint 0. Tehát valahogy így néz ki 0 és 2π között, és folytathatjuk a negatív irányba: 2-szer -1 az -2, 2-szer 0 az 0, 2-szer 1 az 2, 2-szer 0 az 0, azaz a negatív irányban így fog kinézni. Igyekszem egy viszonylag sima görbét rajzolni. Remélem, érted a lényeget, valami ilyesmi lesz. Mi is történt? A minimum és maximum értékek közti különbség a 2-szeresére nőtt, a teljes különbség 4, aminek a fele 2. Mekkora tehát az amplitúdó? 2. Az amplitúdót úgy tekintheted, mint a 2 abszolútértékét, ami 2. Ez logikus is, itt az amplitúdó 1 volt, de most a középponttól való eltérés kétszeres, mivel 2-vel szoroztunk. Most térjünk vissza a sin(x)-hez és változtassuk meg másképpen! Rajzoljuk meg a sin(-x)-et! Vegyük elő megint a grafikonunkat, és most a sin(-x) ábrázolása a célom. y = sin(-x), most egy időre szabaduljunk meg a 2-től, és a sin(x)-ből sin(-x)-re való váltást vizsgáljuk. Nézzük meg az értékeket! Ha az x = 0, sin (0) ugyanúgy 0 lesz. De ahogy x nő, mi történik x = π/2 esetén? Ha x= π/2, a szöget meg kell szoroznunk ezzel a minusszal, tehát ha x =π/2, valójában a sin(-π/2)-t nézzük. sin(-π/2) azonban, ahogy ezt itt láthatjuk, -1. Amikor pedig x = π, akkor sin(-π), tudjuk, hogy 0. 3π/2 esetén a sin(-3π/2) = 1 és megint csak, amikor x = 2π, sin(-2π) = 0. Megfigyelted, mi történik, ahogy 0 és 2π között rajzoltam a görbét? Folyton ezekre a pontokra utaltam, amiket a negatív irányban rajzoltam, tehát úgy is elképzelheted, hogy ezt a negatív oldalt 0 és -2π között tükrözöm ide, ez a -x ezt csinálja. És hasonló logikával, amikor itt a negatív irányba megyünk, amikor tehát x = -π/2, akkor az sin(π/2) lesz, ami 1, és akkor ezt a részt tükrözheted az y tengelyre. Tehát lényegében azt csináltuk, hogy a sin(x) függvény képét tükröztük az y tengelyre. Ez az y tengely, szóval remélem látod a tükrözést, ezt tette a -x. Most akkor gondoljuk át ezt a kombót, ahol a 2 itt van kint, itt meg a -x. Vegyük elő megint a tengelyeinket, és próbáljuk megoldani a feladatunkat! Új színt választok, legyen a kék. Rajzoljuk meg az y = 2sin(-x)-et! Azok alapján, amit eddig csináltunk, vajon hogy fog kinézni, milyen átalakítások lesznek, amikor az eredeti sin(x)-ből áttérünk az y = 2sin(-x)-re? Kétféleképpen is gondolhatunk erre. Vehetjük a 2sin(x)-et, itt megszorozzuk 2-vel, megduplázzuk az amplitúdót, és mondhatjuk, hogy ezt tükrözzük, hogy a -x-et megkapjuk. Hadd tegyem világossá, mit tükrözök. Ha veszem itt 0 és -2π között, és tükrözöm, ami itt volt, azt tükrözöm az y tengelyre, először negatív, azután vissza a 0-hoz, majd pozitív irányba megyünk, majd elérsz ide. Tehát 2sin(x)-ből úgy jutottam a 2sin(-x)-be, hogy egyszerűen tükröztem az y tengelyre. És persze ami itt a 0 és -2π között van, ahhoz emitt a 0 és 2π közöttit részt kell nézned, először felmegy, aztán le (egy kicsit csinosabbra rajzolom), le, majd megint fel, a tükörképe a 0 és a 2π közötti résznek. Ezt itt látod. De úgy is lehet, hogy sin(-x)-szel kezdünk, és aztán lépünk a 2sin(-x)-re. Nézzük meg, mi történik ekkor! Mi a különbség a két görbe között? Az amplitúdó megduplázódik, ha ezt megszorozzuk 2-vel, 2-szer akkora amplitúdót kapunk. Az utolsó gondolat vagy kérdés, amit felteszek neked: hogyan viszonyul a 2sin(-x) periódusa a sin(x) periódusához? Megint csak két módon közelíthetünk ehhez, gondolkodj rajta egy percet! Kétféleképp lehet végiggondolni, megnézheted ezt a görbét, vagy gondolhatsz a képletre, ami remélhetőleg ösztönösen eszedbe jut. Ha a klasszikus képletet akarod használni, a periódus 2π, amit elosztasz az együttható abszolútértékével, hogy meghatározd, mennyivel gyorsabban jutsz el a 2π-hez. -1 abszolútértéke 1, vagyis 2π-t kapunk. Azaz a periódus pontosan ugyanaz, mint a sin(x) esetében. És ezt láthatod is, minden 2π-n egy teljes ciklust haladsz. Mi akkor a különbség? A periódus megegyezik, de ne feledd, hogy ez a -x nem hagyható figyelmen kívül. Nem változtatja meg a periódust, de megváltoztatja a görbe kinézetét. Amikor növekszik az x értéke, akkor ahelyett, hogy a szinusz pozitív lenne, mint az egyszerű szinusz függvény esetén, itt az x növekedésével a minusz x szinuszát vesszük, egy negatív szög szinuszát, és ettől lesznek a szinusz értékek negatívak. Egy másik módszer arra, hogy ezt végiggondold, hogy ez itt a sin(x) y tengelyre vonatkozó tükörképe. Ez a kettő itt egymás tükörképe, és ez a kettő is. Ez dupla amplitúdójú ehhez képest, és ennek is kétszer akkora az amplitúdója, mint ennek.