A amplitúdó és a periódus meghatározása a szinuszoid függvény egyenletéből

Határozzuk meg az y = -½ cos 3x függvény amplitúdóját és periódusát! Az első dolog, amit meg kell gondolnunk, mit is jelent az amplitúdó? Nos, egy periodikus függvény amplitúdója a függvény maximum és minimum értéke közti különbség fele. Ha tehát felrajzolunk egy ilyen periodikus függvényt, amelyik így megy oda-vissza (hadd rajzoljak egy kicsit szebbet), tehát így váltakozik két érték között, e között a két érték között, akkor veszed a kettő különbségét, azt elfelezed, és az az amplitúdó. Másképp is megfogalmazhatjuk az amplitúdót: mennyivel tér el, leng ki a középső pozíciótól. Itt az szerepel, hogy y = -½ cos 3x. Mekkora ennek az amplitúdója? Egyszerűen úgy gondolkodunk, hogy megnézzük, mivel szorozzuk meg a koszinusz függvényt. Ugyanez lenne, ha itt szinusz szerepelne. Minusz ½-del szorozzuk meg, így az amplitúdó ennek a minusz ½-nek az abszolútértéke lesz, ami ½. Megkérdezheted persze, hogy miért nem törődök az előjellel, miért az abszolútértéket használom. A negatív előjel csak tükrözi a függvényt, nem vátoztat azon, mennyit ingadozik a minimum és maximum helyzet között. És a másik dolog, hogy miért egyszerűen csak vesszük az abszolútértékét ennek? Hogy ezt megértsük, gondoljunk a koszinusz függvényre (de a szinusz függvényre is igaz), amely +1 és -1 között mozog. Ez egy egyszerű függvény. Itt csak az a plusz 1 vagy mínusz 1 van megszorozva. Normális esetben ha itt nem lenne együttható, vagyis az együttható plusz vagy mínusz 1 lenne, akkor az amplitúdó egyszerűen 1 lenne. Na most, ha ezt megváltoztatod, megszorzod ezzel az értékkel, akkor az amplitúdó ½ lesz. Beszéljünk most a periódusról! Az első, amit kérdeznék, mit is jelent a periódus a ciklikus vagy periodikus függvénynél, mire utal a periodikusság egy periodikus függvény esetén? Hadd rajzoljak tengelyeket ehhez a függvényhez, legyen ez az y tengely, és legyen ez itt az x tengely. A periodikus függvény periódusa annak a legrövidebb intervallumnak a hossza, amely a periodikus függvény ismétlődő mintázatából pontosan egyet tartalmaz. Mi is van itt, mi ismétlődik? Megyünk lefelé, aztán felfelé, megint lefelé és megint felfelé. Ebben az esetben a legkisebb intervallum hossza – amely pontosan egy ismétlődő mintát tartalmaz – ez lehet itt, ez a legkisebb ismétlődő minta, ez a hossz e között a két pont között lehet egy periódus. Aztán mehetünk e kettő közé, és az egy másik periódus. Ilyenből sok van, nem az az egyetlen minta, amit kiválaszthatsz. Mondhatod például, hogy itt felmegyek, itt meg le, és ez legyen a legkisebb hossz. Láthatod azt is, hogy ha mondjuk negatív irányba megyek, a következő ismétlődő változata a mintámnak ez lesz. De mindenképp ugyanazt kapjuk az ismétlődő minta hosszára. Mi tehát akkor ennek a függvénynek a periódusa? Hogy kiszámoljuk a periódust, vegyük a 2π-t, és osszuk el ennek az együtthatónak az abszolútértékével, azaz osszuk el a 3 abszolútértékével, ami 3, tehát 2π/3-at kapunk. És most gondoljuk végig, miért ennyi. Ha egy hagyományos koszinusz függvényt vizsgálunk, vagy egy sima szinusz függvényt, azoknak 2π a periódusa. Gondolj csak az egységkörre, ha a 0-nál kezdesz, 2π radiánnal később visszajutsz a kiindulási pontra. 2π radián, megint 2π, és ott vagy, ahonnan indultál. Ha a negatív irányba indulsz, és mész -2π-t, visszaérsz a kiindulási helyre. Bármilyen szögtől kezdve, ha mész 2π-t, visszajutsz oda, ahonnan indultál. Ha minusz 2π-t mész, akkor is ugyanoda érsz vissza. Tehát a periódus mindegyik esetben 2π. És ennek azért van értelme, mert ez az együttható itt ennyivel gyorsabban visz el a 2π-hez, vagy ebben a másik esetben -2π-hez. Vagyis a periódusod egy kisebb szám lesz, a periódus rövidebb lesz. Háromszor olyan gyorsan jutunk el a 2π-hez. Kérdezheted megint, hogy miért használunk itt abszolútértéket. Azért, mert ha ez itt egy negatív szám lenne, akkor a -2π-hez vinne annyival gyorsabban. De mindenképpen egy teljes kört teszünk meg. Ábrázoljuk most ezt a két dolgot! Rajzoljuk le a (-½ cos 3x)-et! Itt vannak a tengelyek, ez az y tengelyem, ez pedig az x tengelyem. Ez itt a 0, x = 0 Berajzolom az y = ½ egyenest, y egyenlő ½-del. Nem toltuk el ezt a függvényt fölfelé vagy lefelé, ha akarnánk, itt a koszinusz függvényhez még hozzáadhatnánk egy konstanst. De ez itt plusz ½, vagy írhatjuk csak egyszerűen, hogy ½. Itt lent pedig, legyen ez a -½. Hadd rajzoljam ide a határvonalat, szaggatott vonalakat rajzolok ide, hogy majd könnyebb legyen ábrázolni a függvényt. Mi történik, ha ez itt 0? cos 0 = 1, de ezt meg fogjuk szorozni -½-del, tehát ez itt -½ lesz. Azután elindul felfelé, csak ebbe az irányba mehet, mert korlátos. Elindul felfelé, aztán jön visszafelé, és visszaér az eredeti ponthoz, itt. A kérdés, mekkora ez a távolság? Mekkora lesz ez a hossz? Tudjuk már, hogy mekkora a periódus, 2π/3. Háromszor olyan gyorsan jut el ebbe a pontba, mint egy hagyományos koszinusz függvény. Szóval ez itt 2π/3. És ha hozzáveszünk még egy 2π/3-at, megint visszaérünk ahhoz a ponthoz. Tehát ha megyünk megint 2π/3-at, akkor 4π/3-hoz érünk, és megtettünk egy újabb ciklust. Tehát ez a hossz a periódus. És persze ugyanezt megteheted a negatív irányba is, ez lenne itt a -2π/3. És láthatod, hogy az amplitúdó 1/2 lesz. Kétféleképpen is tekinthetünk erre. A maximum és minimum pontok közötti különbség 1, ennek a fele ½. Vagy azt is mondhatjuk, hogy ½ az eltérés a középső helyzethez képest pozitív vagy negatív irányban.