If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom
Pontos idő:0:00Teljes hossz:11:07

Kálium-argon (K-Ar) kormeghatározás: számítási példa

Videóátirat

A legutóbbi videóban rövid betekintést adtunk a kálium-argon kormeghatározásba. Most szeretnék levezetni egy konkrét példát. Ebben kicsit több matek lesz, némi algebra, meg egy kis exponenciális bomlás, csak hogy bemutassuk, hogyan számítható ki egy vulkanikus kőzet kora ezzel a módszerrel, némi matekozás árán. Tudjuk, hogy bármely radioaktív bomlás során a bomlás üteme exponenciális. Ismerünk egy általános módszert ennek a leírására. Ezt még részletesebben igyekszünk bizonyítani további Khan Academy videókban. Tudjuk, hogy az anyag mennyisége az idő függvényében... ... legyen N egy radioaktív minta mennyisége egy adott időpillanatban. Ez annyi, mint a kezdeti mennyiség (ennek a neve N-null) szorozva e-vel a mínusz k-szor t-edik hatványon, ahol a k az adott anyag felezési idejére jellemző állandó. A számítást a kálium-40 példájára alkalmazva tudjuk, hogy ha az eltelt idő 1,25 milliárd év, akkor a megmaradt mennyiség a kezdetinek a fele lesz. Írjuk fel így. A kiindulási mennyiség jele legyen N-null, ami bármennyit jelenthet, 1 grammot, 1 kilogrammot, 5 grammot, bármekkora kiindulási mennyiséget. Az e-t emeljük a „mínusz k szorozva 1,25 milliárd évvel”-edik hatványra. Ez utóbbi a kálium-40 felezési ideje, tehát 1,25 milliárd év. Tudjuk, hogy ennyi idő elteltével a minta fele marad meg. Tehát 1/2 N-null marad. Bármekkora kiindulási mennyiségnek a fele marad meg 1,25 milliárd év múlva. Osszuk el mindkét oldalt N-nullal. Az egyenletet úgy oldhatjuk meg, hogy vesszük mindkét oldal természetes logaritmusát. 1/2-nek a természetes logaritmusa – – innen már kiesett az N-null – – egyenlő ennek a kifejezésnek a természetes logaritmusával. A természetes logaritmus azt jelenti, hogy hányadik hatványra kell emelni az e-t, hogy eredményül az „e a mínusz k-szor 1,25 milliárdodik hatványon” értéket kapjuk. Tehát ennek a természetes logaritmusa, vagyis az a hatvány, amire az e-t kell emelni, hogy eredményül az „e a mínusz k-szor 1,25 milliárdodik hatványon” értéket kapjuk, nem más, mint „mínusz k-szor 1,25 milliárd”. Úgy is írhatjuk, hogy mínusz 1,25-szor tíz a 9-ediken szorozva k-val. Ez 1,25 milliárd. Itt maradt a negatív előjel és a k. Úgy határozhatjuk meg k-t, hogy mindkét oldalt elosztjuk mínusz 1,25 milliárddal. Így megkapjuk a k értékét. A két oldalt megcserélem: k egyenlő természetes logaritmus 1/2 osztva mínusz 1,25-ször 10 a kilencedikennel. Ezt a negatív előjelet felülre írhatjuk, vagy úgy is vehetjük, hogy a számláló és a nevező előjelét is az ellenkezőjére változtatjuk, így a negatív érték felül jelenik meg. Ez tehát úgy lesz, hogy „osztva 1,25-ször 10 a kilencedikennel”, azaz 1,25 milliárddal. Ezt más színnel írom. Mínusz természetes logaritmus – ezt felírhatom a következőképpen: 'a' szorozva a b szám természetes logaritmusával az ismert logaritmikus összefüggések alapján ugyanannyi, mint a „b az a-adik hatványra emelve” érték természetes logaritmusa. Vagyis 1/2 természetes logaritmusának a -1-szerese ugyanaz, mint az „1/2 a mínusz 1-ediken” érték természetes logaritmusa, tehát ez ugyanaz. Valaminek a -1-edik hatványa ugyanaz, mint a reciproka. Tehát ez nem más, mint természetes logaritmus 2. -1-szer természetes logaritmus 1/2 tehát ugyanaz, mint természetes logaritmus 2. Így már kiszámítható a k értéke. Lényegében a természetes logaritmus 2 osztva az anyag felezési idejével. Ez pedig általánosítható más radioaktív anyagokra is. Képzeljük el a következő esetet: most, hogy a k értékét kiszámítottuk, tegyük fel, hogy egy mintában 1 milligramm káliumot találtunk. A számokat csak úgy találomra mondom. Általában ezeket nem közvetlenül mérik, és igazából a relatív mennyiségek érdekelnek. De mondjuk, hogy megtudtuk, hogy 1 milligramnyi kálium van. Az argon pedig – elnézést, itt a kálium-40-ről van szó, tehát a talált argon-40 tömege legyen 0,01 milligramm. Hogyan használható fel ez az információ az iménti összefüggésben, amely a felezési időn alapul, arra, hogy kiszámoljuk a minta korát? Hogyan számoljuk ki, mennyi idős ez a minta? A következőt kell tehát kiszámolnunk: tudjuk, hogy N, a megmaradt anyag mennyisége ezzel (az 1 milligrammal) egyenlő. Tehát tudjuk, hogy 1 milligramm maradt. Ehhez úgy jutottunk, hogy a kezdeti mennyiséget – – mindkét adatot felhasználva ennek a kezdeti mennyiségnek a kiszámításához – megszorozzuk „e a mínusz k-szor t-ediken"-nel. A k-ról tudjuk, hogy micsoda, és később majd ki is számoljuk. Ez a kifejezés tehát a k értéke. Tehát ki kell számolnunk a kezdeti mennyiséget. Tudjuk, mi a k, és ezzel az egyenlet megoldható t-re. Mennyi idős ez a minta? A kezdeti mennyiség kiszámításához emlékezzünk vissza arra, hogy minden egyes argon-40 atom, olyan bomlási folyamatban keletkezett, amelyben a kálium-40 11%-a argon-40-né alakul át, a maradék 89% pedig kalcium-40-né. Ezt láttuk az előző videóban. Tehát bármennyi argonnal is számolunk, az a bomlástermékeknek a 11%-a. Ha szeretnénk tudni, hogy mekkora volt az a kálium-40 mennyiség, ami elbomlott, azóta, hogy mindez a lávacsapdába szorult – – tanultuk, hogy mindaz, ami azelőtt jelen volt, mindaz az argon-40, amely korábban jelen volt, az kijutott a folyékony lávából, mielőtt az megdermedt, illetve megszilárdult. Hogy kiszámoljuk, hogy ez mennyi kálium-40-ből keletkezett, el kell osztanunk 11%-kal. Tehát a K „i”, azaz a kálium-40 kezdeti mennyisége annyi, mint a kálium-40 jelenlegi mennyisége, azaz 1 mg, plusz még annyi kálium-40, amennyiből ekkora mennyiségű argon-40 keletkezhetett. Ennyi argon-40 van: 0,01 mg. Ez, vagyis a milligrammok száma mindössze a 11%-a annak a kálium-40-nek, amelyből keletkezett. A többi kalcium-40-né alakult át. Ezt tehát elosztjuk 11%-kal, azaz 0,11-dal. Ez a szám nem teljesen pontos, de tükrözi a lényeget. Tehát a kezdeti, vagyis az a mennyiség, amelyet N-nullnak nevezhetünk, annyi lesz, mint – a műveleteket csak felírom – tehát 1 mg maradt, amely egyenlő 1 mg – amit találtunk – plusz 0,01 mg osztva 0,11-dal, és az egész megszorozva „e a mínusz k-szor t-edik” hatványonnal. Ebből látható, hogy amikor ki akarjuk számítani a t-t, – feltételezve, hogy ismerjük k-t, és most már tényleg ismerjük – – akkor az abszolút mennyiség nem számít. Igazából csak az arány számít. Ugyanis a t kiszámításához az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk ezzel (az aláhúzott) mennyiséggel. Tehát itt, a bal oldalon... osszuk el mindkét oldalt... 1 mg osztva ezzel a mennyiséggel, ezzel, amit kékkel bekeretezek, vagyis 1 plusz – csupán feltételezésként alkalmazva a milligrammot, mint egységet, tehát 1 osztva ezzel a mennyiséggel, azaz 1 plusz 0,01 osztva 11%-kal, ami egyenlő e a mínusz k-szor t-edik hatványon. Ha meg akarjuk kapni t-t, mindkét oldalnak vegyük a természetes logaritmusát. Így kapjuk ezt az egyenlőséget. Vegyük mindkét oldalnak a természetes logaritmusát. Természetes logaritmust számítva az „1 osztva 1 plusz 0,01 per 0,11 (vagy 11%)” kifejezésből ez ugyanannyi, mint mínusz k-szor t. Ebből úgy kapjuk meg t-t, hogy mindkét oldalt elosztjuk mínusz k-val. Ezt ideírom. Ez láthatóan elég macerás, de megadja a választ. Tehát itt lesz a természetes logaritmusa az „1 osztva 1 plusz 0,01 per 0,11-nek" osztva mínusz k-val. Mit jelent a mínusz k? Éppen mínusz k-val osztjuk el az egyenlet mindkét oldalát. Mínusz k-val osztani azt jelenti, hogy ezt a kifejezést elosztjuk mínusz természetes logaritmus 2 osztva 1,25-ször 10 a kilencedikennel. Most elővehetjük a számológépet, és kiszámolhatjuk, mennyi is ez az idő. Ezt az időt években kapjuk meg, mivel az állandót is így számoltuk ki. Elő a jó kis TI-85-ös számológépet! Először ezt a részt számolom ki. Tehát 1 osztva 1 plusz 0,01 per 0,11. Ez az a rész, amely ezt az eredményt adja. Ezután ennek kell venni a természetes logaritmusát. Vegyük tehát az előbbi eredményünk természetes logaritmusát. Ez természetes logaritmus 0,9166667. Ez annyi, mint mínusz 0,087. Ez tehát a számláló, amelyet majd elosztunk. Tehát ez a szám a számláló. Ezt osztjuk el mínusz – – vigyázni kell a zárójelekkel – – mínusz természetes logaritmus 2 osztva 1,25-szor 10 a 9-edikennel. Ez tehát mínusz természetes logaritmus 2, osztva 1,25... ... az E9 jelentése: 10 a kilencediken. Bezártam mindkét zárójelet. És most – dobpergés... – – ebből ki kell jönnie a t értékének, években megadva. Lássuk mennyi – ezek az ezresek, ez háromezer... 156 millió év, vagyis 156,9 millió, egy kis kerekítéssel. Ez tehát egy körülbelül 157 millió éves minta. Az egésznek az a lényege - tudom, egy kicsit sok volt a matek, de ennyit analízis-előkészítő vagy algebra órákon is vesztek, amikor exponenciális növekedést vagy bomlást írtok le. Az egésznek tehát az volt a lényege, hogy megmutassam, ez nem csak valami hókuszpókusz. Tudjátok, Sal előad valami magasröptű magyarázatot, amire azt mondod majd, hogy ja, persze, ebben biztos valami rém bonyolult matek van. A matekos része lényegében annyi, mint amennyit a gimiben is tanulsz. Ha találnál egy mintát, amelyben ennyi az argon-40 : kálium-40 arány, megbirkóznál ezzel a középiskolás matekkal. Ki tudnád számítani, hogy ez egy 157 millió éves vulkáni kőzetminta.
A biológia tananyag támogatója: Amgen Foundation