A Bohr-modellből eredő pályasugarak (levezetés fizika segítségével)

A hidrogénatom Bohr-féle modelljében egy proton van az atommagban. Rajzolok ide egy pozitív töltést, meg egy negatív töltésű elektront, amely a mag körül kering, mint a bolygók a Nap körül. Bár a Bohr-modell nem azonos a valósággal, mégis hasznos koncepció. Ki lehet vele számolni például ennek a körnek a sugarát. Ezt fogjuk megtenni ebben a videóban. Érdemes valamennyire belemenni a részletekbe. Előre szólok, hogy ebben a videóban elég sok fizika is lesz. Ha nem szereted a fizikát, átugorhatsz a következő videóra, ahol megmutatom az eredményt, amit kiszámolunk ebben a videóban. Visszatérve erre az elektronra, mondjuk azt, hogy az óramutató járásával ellentétesen kering. Ebben a pontban az elektron sebességvektora a kör érintője. Ez a sebességvektor iránya. Az elektron tömege legyen m. Az elektronra erő fog hatni. Vonzza az atommag. Az ellentétes töltések vonzzák egymást. A negatív töltésű elektron erőhatást „érez”, mely a kör középpontja felé mutat. Ez a centripetális erő. Ebben az esetben ez elektromos vonzóerő. Az elektromos erő okozza azt, hogy az elektron körpályán mozog. Az elektromos erőt a Coulomb-törvényből számolhatjuk ki. Bal oldalt látható a Coulomb-törvény, az elektromos erő: egy k-val jelölt állandó szorozva q₁-gyel, az egyik töltéssel. Mondjuk ez legyen a proton töltése, szorozva q₂-vel, a másik töltéssel, ami legyen az elektron töltése. Mindezt elosztjuk a két töltés közti távolság négyzetével. Ez a Coulomb-törvény. Írjuk be, amit már tudunk! k egy állandó, később visszatérünk rá. q₁ volt a proton töltése, ezt nevezzük most e-nek, ez az elemi töltés. q₂ az elektron töltése, amely ugyanakkora, mint a protoné, csak negatív. Tehát beírjuk ide a mínusz e-t, és elosztjuk a töltések közti távolság négyzetével. Az erő a tömeg és a gyorsulás szorzata, ahogy Newton második törvénye kimondja. m az elektron tömege, és ez lesz a centripetális gyorsulás, mivel centripetális erőről van szó. Tudjuk, hogy a centripetális gyorsulás egyenlő v²/r-rel. Beírhatjuk: m-szer v²/r. Egy r-rel rögtön egyszerűsíthetünk. Mivel csak az erő nagysága érdekel minket, az irányát úgyis tudjuk, a negatív előjel nem fontos. Mondhatjuk, hogy csak az elektromos erő nagysága érdekel bennünket. Kicsit egyszerűsíthetünk: k·e² osztva r-rel a bal oldalon, m · v² a jobb oldalon. További klasszikus fizikával folytatjuk, a perdületről (másik nevén impulzusmomentumról) lesz szó, amely nem egyszerű fogalom. A perdület jele nagy L (vagy N), és az egyik képlet, melyből számolható, r kereszt p, ahol r egy vektor, p pedig a lendület. A lendület a tömeg és sebesség szorzata. Az elektronok lendületéről van szó, tehát az elektron tömege szorozva az elektron sebességével. Írjuk be ezeket a perdület képletébe. A perdületet a kör középpontja körüli keringésre értelmezzük. A középpont körüli perdület, r egy vektor... berajzolom r-et, tehát egy vektort. A középpontból mutat oda, ahol az elektron van. Itt van tehát r. Ez az r vektor. Beírom r-et. A kereszt a keresztszorzat (vektoriális szorzat) jele. Szorzunk a lendülettel, tehát p-vel, ami pedig m ⋅ v, és megszorozzuk a szöggel, amelyet a két vektor egymással bezár. Nézzük most a másik vektort. A másik vektor a lendületvektor. Az r vektort már elintéztük. A lendületvektor ugyanabba az irányba mutat, mint a sebességvektor. Ha ez a sebességvektor iránya, akkor ugyanez a lendületvektoré is. A két vektor közti szög egyértelműen 90 fok. 90 fok szinusza 1. Így a perdület egyszerűen r · m · v szorozva 1-gyel. Niels Bohr úgy gondolta, hogy a perdületet kvantumosan kellene leírni. Azt csinálta, hogy beállította a perdületet valamilyen egész értékre, pl. 1, 2, 3, stb. Legyen csak egy n egész szám, szorozva h-val, a Planck-állandóval és elosztva 2 pi-vel. Ezt találta ki Bohr. Vette ezt a képletet, és kifejezte belőle a sebességet. Tegyük meg mi is! Átrendezzük v-re a képletet. A sebesség egyenlő... n-szer h, osztva 2pi · m · r-rel. Kifejezzük v-t, és... kifejezzük v-t és behelyettesítjük a másik egyenletbe itt, a bal oldalon. Itt szerepel k · e² osztva r-rel, a jobb oldalon m szorozva mindezzel, n-szer h, osztva 2pi · m · r-rel. Ezt mind négyzetre is emeljük. Csináljunk egy kis helyet, és folytassuk a számolást itt. Ott tartunk, hogy k·e²/r egyenlő tömegszer az egész zárójeles kifejezés négyzetével. n², h², 4pi², m², r². Pár dolgot kihúzhatunk. Kiesik itt az egyik m. Kiesik az egyik r. Bal oldalon marad k · e², egyenlő n²·h²/4π². Egy m és egy r marad. A cél az, hogy kiszámítsuk a kör sugarát. Ahhoz, hogy r-t kiszámoljuk, először szorozzuk meg mindkét oldalt 4π² · m · r-rel. Azt kapjuk, hogy k · e² · 4π² · m · r a bal oldalon. A jobb oldalon n² · h² lesz. Ebből kifejezzük r-t. Lássunk neki. r egyenlő lesz n²·h²/k·e²·4π²·m-mel. Most pedig vesszük ezt az egészet, és beírjuk a számokat. Például h a Planck-állandó, tudjuk, mi az. 6,626 · 10⁻³⁴ Ezt négyzetre emeljük, és elosztjuk mindezekkel. k, ha tanulsz fizikát, tudod, hogy ez 9 · 10⁹. Ez egy állandó. e az elemi töltés, a proton vagy az elektron töltésének nagysága, ez 1,6 · 10⁻¹⁹ coulomb. Beírjuk ide. Ezt a számot is négyzetre kell emelni. Itt van 4π². Ne feledd, m az elektron tömege volt. Utánanézhetsz, 9,11 · 10⁻³¹ kilogramm. Sok itt a matek :-) Ahelyett, hogy elővenném a számológépet, és megmutatnám, magad is kiszámolhatod. Látni fogod, hogy a szám, ami kijön, az egyenlő... ide fogom írni 5,3 · 10⁻¹¹ Ha a mértékegységekkel is végigcsinálod, kiderül, hogy ezt méterben kaptuk meg. Végezd el magad is a számítást, és látni fogod, hogy ez a szám jön ki. Ez a szám nagyon fontos. Írjuk be ebbe, ami már megvan a bal oldalon. A sugár egyenlő n négyzetszer ez a szám. 5,3 · 10⁻¹¹ Írjunk be n egyenlő 1-et, tehát egy egész számot. Ez adja meg az alapállapotú elektront a hidrogénatomban. Ha n értéke 1, ez lesz r₁, ez egyenlő 1 a négyzeten, szorozva ezzel a számmal. Látszik, hogy ez nagyon egyszerű matek. Tudjuk, hogy a sugár, ha n egyenlő 1-gyel, akkor a sugár egyenlő ezzel a számmal. 5,3 · 10⁻¹¹ méter. Menjünk vissza ide. Menjünk vissza ide a képhez, így meg tudom mutatni, miről van szó, miért fontos ez az érték. Ez az, amit kiszámoltunk. Kiszámoltuk ezt a sugarat a hidrogénatom alapállapotú elektronjára. Kiszámoltuk ezt a távolságot, és elneveztük r₁-nek. Niels Bohr ötlete, a perdület kvantumos felírása meghatározza a sugarakat, a különböző lehetséges sugarakat. Menjünk tovább, általánosítsuk az egyenletet. Mondhatjuk, hogy r, bármilyen egész n esetén, egyenlő lesz n négyzetszer ezzel a számmal, tehát r₁-gyel. n négyzetszer r₁, amit az előbb számoltunk ki, hogy 5,3 · 10⁻¹¹ méter. Ez nagyon fontos. r, bármilyen egész n esetén, egyenlő lesz n² · r₁-gyel. Ez azt jelenti, hogy csak bizonyos sugarak fordulhatnak elő a Bohr-féle kvantumos perdületfelírás miatt. Csak meghatározott sugarak lehetségesek. A többi sugárról a következő videóban fogunk beszélni. Ebben a videóban, a sok fizika után, ezt az egyenletet kaptuk. Ennek segítségével részletesebben meg fogjuk vizsgálni a Bohr-modellből eredő pályasugarakat.