If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

A kvantummechanikai atommodell

Bevezetés a kvantummechanikai atommodellbe: az elektronok leírása valószínűségi anyaghullámokként a de Broglie-hullámhossz alapján; a Schrödinger-egyenlet, a Heisenberg-féle határozatlansági reláció. Az elektron spinje és a Stern–Gerlach-kísérlet.

Főbb pontok

  • Louis de Broglie javasolta, hogy minden részecskét tekinthetünk anyaghullámnak is, amelynek lambda hullámhosszát a következő egyenlet adja meg:
lambda, equals, start fraction, h, divided by, m, v, end fraction
  • Erwin Schrödinger alkotta meg a kvantummechanikai atommodellt, mely az elektronokat anyaghullámként értelmezi.
  • Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet (H, with, hat, on top, \psi, equals, E, \psi) megoldásaként megkaphatjuk a \psi hullámfüggvényeket, melyek mindegyike az elektron egy-egy lehetséges kötési energiájához, E-hez tartozik.
  • A hullámfüggvény abszolút értékének négyzete, vertical bar, \psi, vertical bar, squared, egy elektron előfordulásának a valószínűségét adja meg az atomon belüli adott térrészben.
  • Az atompálya definíciója: az atomon belül az a térrész, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 90%.
  • A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy az elektron impulzusa és helyzete nem lehet tetszőlegesen pontos. Ha a helyzete nagyon pontosan meghatározott, az impulzusa kevésbé az, és megfordítva.
  • Az elektronoknak van egy spinnek nevezett lényeges tulajdonságuk. Az elektronspin-vektornak két iránya lehet, amit felfelé-, illetve lefelé mutatónak szokás hívni.
  • Ha egy atompályán két elektron van, a spinjüknek ellentétes irányúnak kell lennie.

Bevezetés a kvantummechanikai atommodellbe

„Egyértelművé kell tennünk, hogy ha az atomokról akarunk beszélni, a nyelvet csak úgy használhatjuk, mint a költészetben.” —Niels Bohr
Szubatomi szinten az anyag nagyon furcsán kezd viselkedni. Ennek egy része annyira ellentétes az intuícióval, hogy csak jelképek és metaforák révén tudunk róla beszélni, mint a költészetben. Például mit jelent az, hogy az elektron részecskeként és hullámként is viselkedik? Vagy hogy egy elektron nem egy meghatározott pontban van, hanem szétterjed az egész atomban?
Ha furcsának érzed ezeket a kérdéseket, igazad van! Jó társaságban vagy. Niels Bohr ezt mondta: „Aki nem döbben meg a kvantumelméleten, az nem értette meg.” Ha a kvantummechanikáról tanulva zavart érzel, tudjál róla, hogy a tudósok, akik azt kifejlesztették, ugyanígy voltak vele.
Kezdjük azzal, hogy átnézzük Bohr hidrogénatom-modelljét, az első nem-klasszikus atommodellt.

A hidrogén Bohr-féle modelljének áttekintése

Ahogy már láttuk a Bohr-modellről szóló korábbi leckében, a különböző elemek emissziós spektruma diszkrét vonalakból áll. Az alábbi kép mutatja a hidrogén által kibocsátott fény spektrumának látható részét.
A hidrogén emissziós spektruma liláskék vonalakat tartalmaz 410 és 434 nm-nél, egy világoskék vonalat 486 nm-nél és egy piros vonalat 656 nm-nél. Minden vonal fekete háttérrel van ábrázolva.
A hidrogén színképének látható tartományában négy különböző hullámhosszú fénykomponenst látunk. Kép forrása: Emissziós spektrum, Wikimedia Commons, CC0 1.0.
A kvantált emissziós spektrumok alapján Bohr arra a következtetésre jutott, hogy talán az elektronok az atomban csak az atommagtól bizonyos távolságra és bizonyos energiaszinteken létezhetnek. Emlékezzünk: az energia kvantáltsága azt jelenti, hogy nem lehet bármekkora energiát elnyelni vagy kibocsátani, hanem csak adott, megengedett értékeket. A Bohr-modell alábbi diagramja azt ábrázolja, hogy az elektron az atommag körül véges számú megengedett atompályán (héjon) fordulhat csak elő.
Az ábra a Bohr-féle hidrogén modell első három szintjét – n=1, 2, és 3 – ábrázolja. Az n=3-tól az n=2 felé mutató nyíl jelzi, amint egy elektron az n=3 szintről visszakerül az n=2 szintre. Az elektronátrendeződés fotonkibocsátással jár, hf energiával.
A hidrogénatom Bohr-modelljének diagramja. Az elektronok a magtól fix távolságra levő kör alakú pályákon keringenek. Ha gerjesztett, azaz n, is greater than, 1 energiaszinten levő elektronok visszatérnek alacsonyabb energiaszintre, fénykibocsátás történik. Kép forrása: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.
Ebből a modellből Bohrnak sikerült levezetnie a hidrogénatom energiaszintjeit helyesen visszaadó egyenletet, amely energiák pontosan megfeleltek a spektrum emissziós vonalainak. Bohr modellje más egyelektronos rendszereknek, mint pl. a start text, H, e, end text, start superscript, plus, end superscript-nak az energiaszintjeit is helyesen határozta meg. Több elektront tartalmazó atomok elektronszerkezetét azonban nem tudta leírni.
Néhány fizikus eleinte megpróbálta Bohr modelljét összetettebb rendszerekre adaptálni, de végül kiderült, hogy teljesen más megközelítésre van szükség.

A hullám-részecske kettősség és a de Broglie-hullámhossz

Louis de Broglie francia fizikus nevéhez fűződik a kvantummechanikának egy másik nagy előrelépése. Planck és Einstein munkájára alapozva – melyben kimutatták, hogy a fényhullámok részecskeszerű tulajdonságokkal is bírnak – de Broglie feltételezte, hogy a részecskéknek is lehetnek hullámtulajdonságaik.
De Broglie a következő egyenletet vezette le az start text, m, end text tömegű (start text, k, g, end text-ban mérve), start text, v, end text sebességgel (start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction) haladó részecske méterben kifejezett lambda hullámhosszára (h a Planck-állandó, 6, comma, 626, dot, 10, start superscript, minus, 34, end superscript, start fraction, start text, k, g, end text, dot, start text, m, end text, squared, divided by, start text, s, end text, end fraction):
lambda, equals, start fraction, h, divided by, start text, m, v, end text, end fraction
Figyeld meg, hogy a de Broglie-hullámhossz és a részecske tömege fordítottan arányos egymással. Ezért nem észlelünk a mindennapi életben a makroszkopikus tárgyaknál semmiféle hullámszerű viselkedést. Az anyag hullámtermészete akkor játszik jelentős szerepet, amikor a hullám a de Broglie-hullámhosszal összemérhető méretű akadállyal vagy réssel találkozik. Ha a részecske tömege 10, start superscript, minus, 31, end superscript kg nagyságrendű, mint az elektroné, a hullámszerű viselkedés ugyancsak jelentőssé válik, és néhány érdekes következménnyel jár.
Ellenőrizd, hogy megértetted-e a fentieket: Az eldobott baseball-labda eddig mért legnagyobb sebessége 46,7 start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction volt. Ha a labda tömege 0,145 kg, mekkora a de Broglie-hullámhossza?

1. feladat: Elektron de Broglie-hullámhosszának kiszámítása

A hidrogénatom elektronjának sebessége alapállapotban 2, comma, 2, dot, 10, start superscript, 6, end superscript, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction. Ha az elektron tömege 9, comma, 1, dot, 10, start superscript, minus, 31, end superscript kg, mennyi a de Broglie-hullámhossza?
Helyettesítsük be a Planck-állandót, valamint az elektron tömegét és sebességét a de Broglie-egyenletbe:
λ=hmv=6,6261034kgm2s(9,11031kg)(2,2106ms)=3,31010 m
Az elektron hullámhossza, 3, comma, 3, dot, 10, start superscript, minus, 10, end superscript méter, egy nagyságrendbe esik a hidrogénatom átmérőjével, mely ~1, dot, 10, start superscript, minus, 10, end superscript méter. Ez azt jelenti, hogy ha az elektron kölcsönhatásba kerül de Broglie-hullámhosszához hasonló méretű objektumokkal, pl. neutronokkal vagy atomokkal, várható, hogy hullámszerű viselkedést fog mutatni.

A kvantummechanikai atommodell

Állóhullámok

Bohr modelljében a fő probléma az volt, hogy az elektronokat pontosan meghatározott pályán található részecskeként kezelte. De Broglie-nak a részecskék hullámtermészetére vonatkozó feltevése alapján Erwin Schrödinger osztrák fizikus dolgozta ki azt az elméletet, mely szerint az elektronok viselkedése az atomokban megmagyarázható, ha matematikai leírásuk során anyaghullámként kezeljük őket. Ezt a modellt, mely az atomról alkotott modern elképzelésünk alapja, kvantummechanikai vagy hullámmechanikai atommodellként ismerjük.
Az elektronnak az a tulajdonsága, hogy csak bizonyos megengedett állapotokban, energiaszinteken létezhet az atomban, hasonlóvá teszi az állóhullámokhoz. Az elektron-anyaghullámok jobb megértéséhez röviden megvizsgáljuk az állóhullámok néhány tulajdonságát.
Talán találkoztál már az állóhullám fogalmával a húros hangszerek kapcsán. Például ha a gitáron megpendítünk egy húrt, az állóhullámként fog rezegni, ahogy az alábbi képen láthatjuk.
Állóhullám-animáció, mely egy hullám két hullámhossznyi részét mutatja. A csomópontokat, melyeknek mindig ugyanannyi az amplitúdója, piros pötty jelöli. Öt csomópont van.
Állóhullám. Kép forrása: Wikimedia Commons, közkincs.
Figyeljük meg, hogy az állóhullám mentén akadnak olyan pontok, melyek a rezgés közben egyáltalán nem mozdulnak el. Ezeket csomópontnak nevezzük. A csomópontokat az ábrán piros pont jelöli. Mivel az animációban szereplő húr mindkét végén le van rögzítve, csak meghatározott hullámhosszú állóhullám alakulhat ki rajta. Emiatt tehát a rezgések hullámhossza kvantált.

A Schrödinger-egyenlet

Felmerülhet a kérdés: mi közük az állóhullámoknak az atomok elektronjaihoz?
Nagyon leegyszerűsítve az elektronokra gondolhatunk anyagi állóhullámokként, melyeknek csak bizonyos megengedett energiájuk lehet. Schrödinger alkotta meg az atomoknak azt a modelljét, melyben az elektronokat anyaghullámként írhatjuk le. Nem megyünk bele itt a matematikai részletekbe, csak megmutatjuk az időfüggetlen Schrödinger-féle hullámegyenlet alapformáját:
H, with, hat, on top, \psi, equals, E, \psi
A képletben \psi a hullámfüggvény; H, with, hat, on top a Hamilton-operátor; E az elektron kötési energiája. A Schrödinger-egyenlet megoldásával több hullámfüggvényt is kapunk; mindegyikhez egy-egy megengedett E energiaérték tartozik.
Kör alakban elhelyezkedő állóhullám. A hullámhosszt két szomszédos maximális amplitúdójú pont távolságaként jelöltük. Lent látható egy példa, ahol a hullám nem fér egész számszor a kör kerületére, így a kör egyik részén átfednek a hullámok, fellép a destruktív interferencia.
A felső ábrán látható állóhullám esetében pontosan öt teljes hullámhossz fér a körbe. Ha a kör kerülete nem felel meg a hullámhossz egész számú többszörösének (alsó ábra), a létrejövő destruktív interferencia nem teszi lehetővé stabil állóhullám kialakulását.
Hogy hogyan értelmezzük a hullámfüggvényeket, azt kicsit nehéz pontosan elmagyarázni. A háromdimenziós atomban a hullámfüggvények is háromdimenziósak. Ez azt jelenti, hogy ezek az állóhullámok térben szétterjednek az atommag körül. Emiatt az elektronok nem egy kis, pontszerű helyen találhatók, hanem egy kiterjedt háromdimenziós tartományban az atom belsejében.
Hogy határozzák meg a vegyészek közelítőleg az elektron helyét? A Schrödinger-egyenletből egy adott atom esetén megoldásként kapott hullámfüggvényeket szokás atompályának is nevezni. A vegyészek definíciója szerint az atompálya az a térrész egy atomon belül, ahol az elektron 90% valószínűséggel megtalálható. A következő részben megtárgyaljuk, hogyan határozzák meg ezeket a valószínűségeket.

Atompályák és valószínűségi sűrűségfüggvények

A \psi hullámfüggvény értéke a tér egy adott (x, comma, y, comma, z) pontjában arányos az elektron-anyaghullámnak abban a pontban vett amplitúdójával. Sok hullámfüggvény azonban komplex függvény, amely tartalmazza az i-t, azaz a square root of, minus, 1, end square root imaginárius számot, ezért az anyaghullám amplitúdója is komplex mennyiség.
Szerencsére a hullámfüggvény abszolút értékének négyzete, vertical bar, \psi, vertical bar, squared pozitív értékű valós függvény, és értéke megadja az elektron előfordulási valószínűségét az atomon belül egy adott térrészben. Ezt a vertical bar, \psi, vertical bar, squared függvényt szokás valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezni.
Az elektron valószínűségi sűrűségfüggvényét sokféleképpen lehet szemléltetni. Például vertical bar, \psi, vertical bar, squared-et egy olyan ábrával szemléltethetjük, melyen a szín változó intenzitása mutatja meg az elektron adott térrészben való megtalálásának valószínűségét. Minél nagyobb eséllyel található az elektron egy adott részen, annál erősebb ott a szín. Az alábbi ábra a gömb alakú 1s, 2s és 3s pályák valószínűségi sűrűségfüggvényének keresztmetszetét mutatja.
Az 1s, 2s és 3s pályákon lévő elektronok valószínűségi sűrűségfüggvénye. Az erősebb szín azokat a területeket jelzi, ahol az elektron nagyobb valószínűséggel található. A csomófelületek azok a helyek, ahol az elektron megtalálási valószínűsége zérus. Kép forrása: UCDavis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US.
Figyeld meg, hogy a 2s és 3s pályáknak vannak csomófelületei: olyan területek, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 0%. Ezek a csomófelületek hasonlóak az állóhullámok csomópontjaihoz, amiket az előző részben tárgyaltunk. A 2s és 3s pályák különböző színű részei a azok különböző fázisú részeit mutatják, melynek fontos szerepe lesz a kémiai kötéseknél.
Az atompályák elektronjainak előfordulási valószínűségét másképpen is szemléltethetjük: olyan diagramon is, ahol azok felületi sűrűségét ábrázoljuk a magtól mért r távolság függvényében.
Radiális valószínűségi diagram, amely a vertical bar, \psi, vertical bar, squared, r, squared-tel arányos gömbfelületi valószínűséget mutatja a gömbhéj r sugarának függvényében. A nagyobb energiájú pályák elektronjai nagyobb valószínűséggel találhatók az atommagtól nagyobb távolságban lévő gömbhéjban. Kép forrása: UC Davis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US.
A radiális sűrűség az elektron előfordulásának valószínűsége egy r sugarú vékony gömbhéjban. Az ezt mutató ábrát radiális valószínűségi diagramnak nevezik. A fenti ábrán láthatunk ilyeneket az 1s, 2s és 3s pályákra. Figyeld meg, hogy a pályaenergiának 1s-től a 2s-en át a 3s-ig való növekedésével nő annak a valószínűsége, hogy az elektron a magtól távolabbi gömbhéjban található.

Az atompályák alakja

Eddig csak a gömb alakú s pályákat vizsgáltuk, amelyek esetében a valószínűségi sűrűségfüggvényt csak a magtól mért r távolság határozta meg. A többi (p, d, f) pályán azonban az elektron előfordulási valószínűségére már az atommag körüli irány is hatással van. Ez változatosabb pályaalakokhoz vezet, amelyeket a következő ábrán láthatunk.
Sematikus ábrák az s, p, d, f pályák általános alakjával. Kép forrása: UCDavis Chemwiki, CC BY-NC-SA 3.0 US.
A p pályák súlyzóra emlékeztető alakúak, melyek valamelyik koordinátatengely (x, comma, y, comma, z) irányába rendeződnek. Az öt d pályából négynek különböző irányítottságú négylevelű lóherére emlékeztető alakja van, egy ötödik pedig emlékeztet egy p pályára, melynek csomósíkja mentén egy lyukas fánkra hasonlító gyűrű van. Az f pályák alakját már nem is érdemes megpróbálni ilyen analógiákkal jellemezni.

Az elektron spinje: a Stern–Gerlach-kísérlet

Az utolsóként tárgyalandó kvantumos tulajdonság az elektron spinje. 1922-ben Otto Stern és Walther Gerlach német fizikusok feltételezték, hogy az elektronok parányi rúdmágneshez hasonlóan viselkednek, mindegyiküknek van egy északi és egy déli pólusa. Az elképzelés ellenőrzésére ezüstatomokból álló sugarat lőttek egy olyan állandó mágnes pólusai közé, melynek az északi pólusa erősebb volt a délinél.
A klasszikus fizika szerint külső mágneses térben a dipólus orientációja meghatározza, merrefelé hajlik el a sugár. Mivel egy rúdmágnes orientációja a külső mágneses térhez képest nagyon sokféle lehet, arra számítottak, hogy az atomok különböző mértékben térülnek el, szétterülő eloszlást eredményezve. Ehelyett azt találták, hogy határozottan kétfelé oszlottak az északi, illetve a déli pólus irányába. Nézd meg ezt a látványos videót, amelyből világosan kiderül a feltételezett és a kísérletben tapasztalt eredmény is!
Ezek a kísérleti eredmények megmutatták, hogy a szokásos rúdmágnesekkel ellentétben az elektronoknak csak kétféle orientációjuk lehet: mutathatnak a mágneses térrel azonos, vagy ellentétes irányba. Ezt, hogy az elektronok csak kétféle mágneses állapot egyikében létezhetnek, a klasszikus fizika nem tudta megmagyarázni. Az elektronoknak ezt a tulajdonságát a tudományban spinnek nevezik: bármely elektron spinje vagy fölfelé, vagy lefelé mutat. Néha az elektronspint úgy jelöljük, hogy az elektronokat fölfelé (\uparrow) vagy lefelé (\downarrow) mutató nyílként ábrázoljuk.
Az elektronspin egyik következménye az, hogy egy pályán legfeljebb két elektron lehet, és ezeknek különböző spinűeknek kell lenniük. Ez a Pauli-féle kizárási elv.

Összefoglalás

  • Louis de Broglie javasolta, hogy minden részecskét tekinthetünk anyaghullámnak is, melynek lambda hullámhosszát a következő egyenlet adja meg:
lambda, equals, start fraction, h, divided by, m, v, end fraction
  • Erwin Schrödinger alkotta meg a kvantummechanikai atommodellt, mely az elektronokat anyaghullámként értelmezi.
  • Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet (H, with, hat, on top, \psi, equals, E, \psi) megoldásaként megkaphatjuk a \psi hullámfüggvényeket, melyek mindegyike az elektron egy-egy lehetséges kötési energiájához, E-hez tartozik.
  • A hullámfüggvény abszolút értékének négyzete, vertical bar, \psi, vertical bar, squared, egy elektron előfordulásának a valószínűségét adja meg az atomon belüli adott térrészben.
  • Az atompálya definíciója: az atomon belül az a térrész, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 90%.
  • A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy az elektron impulzusa és helyzete nem lehet tetszőlegesen pontos. Ha a helyzete nagyon pontosan meghatározott, az impulzusa kevésbé az, és megfordítva.
  • Az elektronoknak van egy spinnek nevezett belső tulajdonságuk. Egy elektron spinje két értéket vehet fel, mutathat felfelé vagy lefelé.
  • Ha egy atompályán két elektron van, a spinjüknek ellentétes irányúnak kell lennie.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.