Miért olyan erős a nagy sűrűségű testek gravitációja?

A fekete lyukakról szóló videónál néhányan azt kérdezték – ami tulajdonképpen egy nagyon jó kérdés –, hogy ha mondjuk a fekete lyuk tömege csak két vagy három naptömeg, akkor miért olyan erős a gravitációja. A Nap gravitációja nyilvánvalóan nem olyan erős, hogy megakadályozza a fény megszökését, akkor hogy lehet valami – vagy akár egy két-három naptömegnyi csillag gravitációja sem olyan erős, hogy megakadályozza a fény megszökését – akkor hogy tudná egy fekete lyuk, aminek ugyanakkora a tömege, hogy tudná ez megakadályozni, hogy a fény megszökjön? Ahhoz, hogy ezt megértsük, csak a newtoni klasszikus fizikát fogom alkalmazni, nem fogok bele az egész általános relativitáselméletbe. És ez valóban ad majd egy elképzelést arról, hogy az ugyanakkora tömegű, de kisebb, sűrűbb testek miért tudnak kifejteni nagyobb gravitációs erőt. Vegyünk két példát! Tegyük fel, hogy itt van egy csillag, aminek a tömege m₁. És mondjuk a sugarát jelölje r. És tételezzük fel, hogy van egy másik tömeg itt a csillag felszínén, valahogy képes túlélni a felszíni hőmérsékletet. És ennek a tömege m₂. Az általános tömegvonzás törvénye azt mondja ki, hogy a két tömeg közötti vonzóerő egyenlő lesz a gravitációs állandó szorozva a tömegek szorzatával, tehát m₁-szer m₂-vel, és ez az egész osztva az r távolság négyzetével. Most hadd legyek nagyon világos! Mondhatnád, hogy „Várj, ez a lila tömeg itt hozzáér a nagyobb tömeghez, nem 0 a távolságuk?” Nagyon figyelmesnek kell lenned, ez a tömegközéppontok közötti távolság, így a nagyobb test tömegközéppontja r távolságra van ettől a testtől, ami a felületén van. Most pedig, ezt figyelembe véve vegyünk egy másik példát! Mondjuk, ez egy nagy tömegű csillag, vagy bármi lehet, ami történetesen összesűrűsödik 1000-szer kisebb méretűre. Hadd rajzoljam le! Nyilvánvalóan nem méretarányosan rajzolom. Tehát tegyük fel, hogy a másik eset ilyen. Nem méretarányosan rajzolok. Tehát ennek a testnek – lehet, hogy ugyanaz a test, de lehet, hogy másik objektum – pontosan ugyanakkora a tömege, mint ennek a nagyobbnak, de most sokkal kisebb a sugara, most a sugara 1/1000-szerese ennek a sugárnak, szóval talán r/1000-rel jelölöm. Tehát ha ennek egymillió kilométer lenne a sugara, – így nagyjából kétszerese lenne a Nap sugarának –, ha ez egymillió km sugarú lenne, akkor emez 1000 km sugarú lenne, tehát talán valami olyasmiről beszélünk, mint egy neutroncsillag, de nem kell azon gondolkodni, hogy mi ez, tekintsük ezt egy gondolatkísérletnek! Tehát tegyük fel, hogy itt van ez a test, és mondjuk a felületén van valami, feltételezzük, hogy ez ugyanaz a tömeg, mint ami ennek a testnek a felszínén van. Tehát ez m₂ tömegű. Mekkora lesz a két tömeg közötti erő? Milyen erős lesz.. – mekkora erővel vonzzák egymást? Ismét alkalmazzuk az általános tömegvonzás törvényét! Jelöljük ezt az erőt F₁-gyel, ezt pedig F₂-vel! Még egyszer, ez egyenlő lesz a gravitációs állandó szorozva a tömegek szorzatával, tehát a nagy m₁ tömeg szorozva a kisebb m₂ tömeggel, és ez az egész osztva ennek a távolságnak négyzetével, ennek a sugárnak a négyzetével. Emlékszel, ez a tömegközéppontok távolsága. Ez a tömegközéppont itt, figyelembe véve, hogy ez az m₂ csak valamiféle tömegpont. Tehát mi a sugárnak a négyzete? r/1000 lesz a négyzeten. Vagy ha egyszerűsítünk, akkor mi lesz? Ez ugyanaz, csak egy színnel fogom írni, mert kevesebb időbe telik. A gravitációs állandó szorozva m₁-szer m₂ per r² per 1000 a négyzeten, vagyis osztva egymillióval. Ez az 1000-nek a négyzete. Vagy megszorozhatjuk a számlálót és a nevezőt 1 000 000-val, és ez egyenlő lesz 1 millió – kiírom, 1 000 000, egy kicsit jobbra görgetem – szorozva a gravitációs állandóval, szorozva m₁-szer m₂-vel, az egész osztva r²-tel. Na most ez itt micsoda? Ez ugyanaz, mint az F₁, tehát 1 000 000-szor F₁ lesz. Vagyis annak ellenére, hogy ugyanazok a tömegek szerepelnek, ennek a sárga testnek a tömege ugyanakkora, mint itt a nagyobb testnek a tömege, ez 1 000 000-szor nagyobb gravitációs erőt képes kifejteni erre a pontszerű testre. És lényegében fordítva is, vonzzák egymást, mindkettő erőt fejt ki a másikra. És a valóság az, hogy mivel ez a test kisebb, – a jobb oldali m₁, amit beszínezek –, mivel ez kisebb és sűrűbb, ez a részecske közelebb tud kerülni a tömegközéppontjához Most mondhatod, hogy „Oké, rendben, elhiszem, ez egyenes következménye az általános tömegvonzás törvényének. De ha valami közelebb lenne ehhez a tömegközépponthoz, nem ugyanezt tapasztalná? Ha ez egy csillag lenne, akkor a fotonok, amik itt vannak, nem ugyanezt az erőt tapasztalnák? Ha ugyanekkora távolságra, r/1000 távolságra lenne valami foton, vagy atom, vagy molekula, vagy bármi, nem ugyanezt az erőt tapasztalná, az 1 milliószoros erőt, mint ez a dolog?” Emlékezned kell arra, hogy amikor ez a dolog hirtelen a nagyobb test belsejébe kerül, mi történik? Nem húzza már a teljes tömeg ebbe az irányba, már nem húzza ebbe a befelé mutató irányba. Most itt van ez az egész tömeg. Hadd gondolkozzak, mi a legjobb módszer erre! Szóval gondolhatnád azt, hogy az egész tömeg kifelé húzza a tárgyat. De nem mondhatjuk ezt. Ez a tömeg kívül azt csinálja – mivel ez a tömeg maga is befelé nyomódik –, hogy nyomja ezt lefelé, nyomást gyakorol erre a pontra. De a tényleges gravitációs erő, amit ez a pont tapasztal, kisebb lesz. Csökkenni fog amiatt, hogy ilyen sok tömeg van itt, ami más irányba húzza. Elképzelheted, hogy egy igazán nagy tömegű test középpontjában – tehát ez egy igazán nagy tömegű test –, ha a középpontjában lennél, az eredő gravitációs erő nulla lenne, mert a tömegközéppontban vagyunk. A tömeg többi része kijjebb van. Minden pont kifelé húzna. Ezért ha bemennél egy csillag magjába, ha sokkal közelebb kerülnél a tömegközéppontjához, akkor nem hatna rád ez a típusú vonzóerő. Csak akkor kaphatunk ilyen típusú erőket, ha a teljes tömeg egy nagyon sűrű, nagyon kicsi térfogatban van. Ezért van a fekete lyuknak olyan erős gravitációs hatása, hogy még a fény sem tud megszökni. Remélem, ez tisztázta egy kicsit a dolgokat.