A csillagok távolságának mérése parallaxissal

Az előző videóban arról beszéltünk, hogy a parallaxis egy tárgy látóirányon alapuló helyzetének látszólagos megváltozása. Amikor parallaxist tapasztalsz a mindennapi életben – ha kinézel a mozgó autó ablakán –, látod, hogy úgy tűnik, mintha a közeli tárgyak gyorsabban mozognának, mint a távoliak. Tehát az előző videóban megmértük ennek a csillagnak a látszólagos helyzetét az év különböző pontjaiban a felfelé mutató irányhoz képest. De az éjszakai égbolt olyan objektumaihoz viszonyítva is megmérhetnénk ezt – az évnek ugyanazon a napján, a napnak ugyanabban az időpontjában –, amelyek látszólag nem mozdulnak el. Látszólag nem fognak elmozdulni, mert sokkal-sokkal távolabb lesznek, mint ez a csillag. Ezek lehetnek más galaxisok, vagy akár más galaxishalmazok, ki tudja, olyan objektumok, amelyeknek nem változik a helyzete. Tehát ez a másik lehetőség. Ez egy másik lehetőség arra, hogy biztos legyél benne, hogy az univerzum megfelelő részét nézed. Tehát megmérheted a felfelé mutató irányhoz képest, ha tudod, hogy az évnek azon a napján és a napnak abban az időpontjában ugyanabba az irányba nézel az univerzumban. Vagy kereshetsz olyan objektumokat a világegyetemben, amelyek nagyon messze vannak, így a látszólagos helyzetük nem változik. Csak hogy újra lássuk, megmutatom még egyszer egy kicsit másképpen. Mondjuk, ez a mi éjszakai látómezőnk. Egy kicsit jobbra görgetem. Tegyük fel, hogy így néz ki az éjszakai látómezőnk. Sötét színnel rajzolom, mert éjszaka van. Tehát így néz ki az éjszakai látómezőnk, és mondjuk ez itt a felfelé mutató irány. Ez az, amikor egyenesen felnézel az éjszakai égre. És csak azért, hogy szabályos legyen – az előző videóban felcseréltem egy kicsit az irányokat –, át fogom alakítani a megszokott irányokba. Tehát ha ez az észak, ez a dél, ez lesz a nyugat, ez pedig a kelet. Tehát ha nyáron nézzük ezt a csillagot, hogy fog kinézni? Először is a nap éppen most kezd felkelni. Tehát ha úgy gondolkodsz, hogy ez az északi irány – felülről nézzük a Földet – tehát ennek a gömbnek a teteje lesz észak, a dél pedig az alján lesz, a gömb másik oldalán, amit nem látunk. A gömbnek ez az oldala lesz a kelet, ahol a nap éppen most kezd el felkelni. Tehát milyen lesz ennek a csillagnak a látszólagos helyzete? Nos, kelet felé lesz, arrafelé lesz, ahol a nap felkel. Tehát ez a szög itt, ez lesz a théta szög. Ez tehát a helyzet nyáron. És mi lesz télen? Télen ahhoz, hogy a felfelé mutató irány ebben az időpontban ugyanaz legyen, az univerzumnak ugyanabba az irányába mutasson, éppen naplemente lesz. Így forgunk. Szóval éppen elkapjuk a nap utolsó pislákoló sugarait. Tehát ebben az esetben a nap éppen lemegy,, Ez a téli nap – egy kicsit más színnel fogom rajzolni – nyugaton fog lemenni. És most a csillag látszólagos iránya ismét a Nap irányában lesz. De el lesz tolódva a középponttól, jobbra lesz a középponttól. Bocsánat, balra lesz a kezdőponttól, tehát itt lesz. Egy kicsit nehezen volt érthető, ahogy az előző videóban rajzoltam. Nem tudom eldönteni, hogy úgy könnyebb elképzelni, vagy így. Csak azt akartam, hogy a szokásoknak megfelelően az észak legyen felül, a dél alul. Csak tisztázni akartam itt, hogy a nap mindig nyugaton megy le, tehát télen a Nap itt lesz, a csillag el lesz tolódva a középponttól a Nap irányába. Tehát ez egy théta szög lesz, ilyen lesz télen. Ez eddig az előző videó áttekintése volt, csak átalakítottam az ábrázolást. Ebben a videóban azt szeretném csinálni, hogy ha adott, ha meg tudjuk mérni a thétát, akkor hogyan tudjuk kiszámítani, hogy milyen messze van valójában ez a csillag. Gondolkodjunk el ezen egy kicsit, mielőtt még megadnám a théta értékét! Ha ismerjük thétát, akkor tudjuk, hogy mekkora ez a szög itt – mert ez derékszögű háromszög –, tudni fogjuk, hogy ez a szög itt 90°-θ. A Föld és a Nap távolságát szintén ismerjük. Mondjuk, kerekíteni fogunk, ez egy csillagászati egység. Változik egy kicsit az év folyamán, de az átlagos távolság egy csillagászati egység. Tehát ismerjük ezt a szöget, ismerjük a szög melletti befogót, és amit megpróbálunk kiszámolni, az a szöggel szemközti befogó ‒ ez a távolság itt, a csillag és a Nap távolsága. Ez természetesen derékszögű háromszög, láthatod, ez itt az átfogó. Most pedig fel kell elevenítenünk egy kis viszonylag egyszerű trigonometriát. Tehát ha ismered ezt a szöget, melyik szögfüggvény foglalkozik a szög melletti és a szemközti befogóval? Hadd írjam le az én híres szisza-koma-taszem emlékeztetőmet! Nem én találtam ki. Szóval a híres szisza-koma-taszem. A szinusz a szemközti per az átfogó, ez nem az a kettő, ami minket érdekel. A koszinusz a szög melletti per az átfogó. Nem tudjuk, mekkora az árfogó, de most nem is foglalkozunk vele. De a tangens a szöggel szemközti per a szög melletti. Tehát ha vesszük a tangensét ennek a szögnek, ha vesszük a tangensét a (90°-θ)-nak, ez egyenlő lesz a csillag távolsága, ez a távolság itt, a csillag távolsága, vagy a Nap és a csillag távolsága – később kiszámolhatjuk a Föld és a csillag távolságát, nem lesz nagy különbség, mert a csillag nagyon messze van –, a Nap és a csillag távolsága osztva a szög melletti befogóval, osztva egy csillagászati egységgel. Azt feltételezem, hogy minden csillagászati egységben van. Megszorozhatod mindkét oldalt eggyel, és a távolságot csillagászati egységben kapod meg. A távolság egyenlő tangens (90°-θ). Nem túl rossz. Számoljuk ki, mekkora lenne ténylegesen a távolság bizonyos valódi mérések alapján! Tegyük fel, hogy megmérted valamelyik csillagot, megmérted ezt a látszólagos szögelmozdulást itt. Mondjuk azt kaptad, hogy a szög teljes változása hat hónap alatt, a teljes szélesség – és figyelsz arra, hogy az univerzumnak ezt a pontját a felfelé mutató irányhoz viszonyítva nézed. Máshogy is csinálhatod, de ez leegyszerűsíti a szemléltetést és a számolást is –, azt kaptad, hogy 1,5374 szögmásodperc lesz. Nagyon világos szeretnék lenni. Ez nagyon-nagyon-nagyon kicsi szög. Csak hogy el tudjuk képzelni, vagy hogy másképp gondolkodjunk erről: egyik dolog, hogy 60 szögmásodperc van egy szögpercben, és 60 szögperc van egy fokban. Vagy a másik módszer: a fokra gondolhatsz úgy, hogy az egy szög óra, vagyis ha ezt át akarod váltani fokba, 1,5374 szögmásodperc szorozva 1 fok, ami egyenlő 3600 szögmásodperc. A mértékegység kiesik, és azt kapjuk, hogy egyenlő lesz – vegyük elő a számológépet –, egyenlő lesz 1,5374 osztva 3600-zal, vagyis 4,2706. Kerekíteni fogok, mert csak 5 értékes jegyet szeretnénk, ez egy végtelen pontosság itt, mert ez egy abszolút mennyiség, ez egy definíció. Hadd írjam le! Szóval 4,2706・10⁻⁴ fok lesz. Egyszerűen így is írhatod. Hadd legyek világos! Ez az egész szög. Ez a szög, ami minket érdekel, ennek a fele lesz. Tehát el kell osztanunk 2-vel. Hadd osszam el a kerekített számunkat, a 4,2706-ot kettővel – akár a 10⁻⁴-t is mondhatnám –. kettővel osztva 2,1353・10⁻⁴ lesz. Tehát ekkora ez a szög itt. Ez a szög, vagy a középponttól való eltolódás – ezt szemléltethetjük itt – 2,1353・10⁻⁴ lesz. Most, hogy ezt tudjuk, már rájöttünk, hogyan számoljuk ki a távolságot. Alkalmazhatjuk ezt itt. Szóval vegyük a tangensét – figyelj rá, hogy a számológéped fok módban legyen, én megnéztem, mielőtt elkezdtem a videót –, tangens 90°mínusz ez a szög. Ahelyett, hogy újra beírnám, csak az előző eredményt választom. Tehát 90 fok mínusz ez a szög. Ezt a nagy számot kapjuk: 268 326. Emlékszel, mi volt az egységünk? Ez a távolság 268 326. Kerekíthetnék, mert csak 5 értékes jegyünk van. 300 és... habár a szögfüggvény értékeknél, ha trigonometriát is használsz, az értékes jegyek száma lehet egy kicsit nagyobb. Leírom az egész számot, 268 326 csillagászati egység. Tehát ez az, hogy hányszorosa a Föld-Nap távolságnak. Ha át akarjuk számolni fényévbe, azt kell tudni... – ezt többféleképpen kiszámolhatod, csak azt kell kiszámítani, hogy mekkora egy csillagászati egység fényévben mérve. Tehát ez csillagászati egységben van. Egy fényév körülbelül egyenlő 63 115 csillagászati egységgel. Tehát ez egyenlő lesz – a csillagászati egység kiesik – ez a mennyiség osztva ezzel a mennyiséggel, fényévben mérve. Csináljuk! Vegyük ezt a számot, amit most kaptunk, és osszuk el 63 115-tel! Fényévben kapjuk meg. Ez tehát kb. 4,25 fényév. Kavarok itt az értékes jegyekkel, de ez csak egy kerekített eredmény, 4,25 fényév. Emlékezz vissza, ez az, hogy milyen messze van a legközelebbi csillag a Földtől. Tehát a Földhöz legközelebbi csillagnak nagyon, nagyon kicsi a látszólagos szögelmozdulása. El tudod képzelni, hogy ha tőlünk egyre távolabbi csillagokhoz mész, akkor ez a szög, ez a szög itt egyre kisebb és kisebb lesz. Egészen addig, amíg egészen távoli csillagokig nem jutsz. És akkor még a legjobb mérőműszereinkkel sem lennénk képesek megmérni ezt a szöget. Mindenesetre remélem, nagyszerűnek találtad, hogy csak a trigonometriát használva kiszámoltuk, egy igazán jó módszerrel megmértük ezt a szöget az éjszakai égen, és lényegében kiszámoltuk , hogy milyen messze vagyunk a legközelebbi csillagtól. Szerintem ez elég jól sikerült.