Fő tartalom

Mi az a hely-idő grafikon?

Nézd meg, mit tudhatunk meg a helyet az idő függvényében ábrázoló grafikonból!

Mire használható a hely-idő grafikon?

Sokan úgy viszonyulnak a grafikonokhoz, mint a fogorvoshoz: homályos szorongást éreznek, és nagyon szeretnének minél gyorsabban túl lenni rajta. De a hely-idő grafikonok nagyszerűek: alkalmasak arra, hogy praktikusan, kis helyen megjelenítsenek rengeteg, a test mozgására vonatkozó információt.

Mit ábrázolunk a hely-idő grafikon függőleges tengelyén?

A függőleges tengelyen a test helyét ábrázoljuk. Például ha leolvasol egy meghatározott időponthoz tartozó értéket az alábbi grafikonról, akkor megkapod a test helyét méterben.

Próbáld meg vízszintesen elcsúsztatni a pontot az alábbi grafikonon, és nézd meg, hogyan változik a hely az idő függvényében.

Ellenőrző kérdés: hol van a test a t, equals, 5 másodperc időpontban a fenti grafikon alapján?

[Mutasd a választ!]

Mit jelent a meredekség a hely-idő grafikonon?

A hely-idő grafikon meredeksége a test sebességét mutatja. Tehát egy adott időponthoz tartozó meredekség értéke megegyezik a test sebességével ebben a pillanatban.

Hogy lásd, miért, figyeld meg az alábbi hely-idő grafikont:

[Miért hívjuk a függőleges tengelyt x-nek?]

Ennek a grafikonnak a meredeksége: start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, start text, x, space, v, a, with, \', on top, l, t, o, z, a, with, \', on top, s, a, end text, divided by, start text, t, space, v, a, with, \', on top, l, t, o, z, a, with, \', on top, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction.

A meredekségnek ez a meghatározása megegyezik a sebesség definíciójával: v, equals, start fraction, delta, x, divided by, delta, t, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction. Tehát a hely-idő függvény meredeksége egyenlő a sebességgel.

Ez olyan hely-idő grafikon esetén is igaz, amelynek változik a meredeksége. Például az alábbi grafikonon a piros vonal mutatja a meredekséget egy adott időpontban. Próbáld meg vízszintesen elcsúsztatni a pontot, és nézd meg, milyen a grafikon meredeksége az egyes időpontokban.

A görbe meredeksége a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 3, start text, space, s, end text között pozitív, mivel felfelé irányul. Ez azt jelenti, hogy a sebesség pozitív, és a test pozitív irányba mozog.

A görbe meredeksége a t, equals, 3, start text, space, s, end text és a t, equals, 9, start text, space, s, end text között negatív, mert lefelé irányul. Ez azt jelenti, hogy a sebesség negatív, és a test negatív irányba mozog.

A t, equals, 3, start text, space, s, end text-ban a meredekség nulla, mert a meredekséget mutató vonal vízszintes. Ez azt jelenti, hogy a sebesség 0, és a test ebben a pillanatban nyugalomban van.

Ellenőrző kérdés: mennyi a test sebessége a t, equals, 9, start text, space, s, end text időpontban a fenti grafikon alapján?

[Mutasd a választ!]

Még valami, amit jó, ha megjegyzel: a hely-idő grafikon egy adott időponthoz tartozó meredeksége a pillanatnyi sebességet adja meg ebben az időpontban. A két időpont közötti átlagos meredekség az átlagsebességet fogja megadni ezen két időpont között. A pillanatnyi sebesség nem feltétlenül egyenlő az átlagsebességgel. De ha a meredekség állandó egy időintervallumban (azaz a grafikonnak ez a része egyenes), akkor a pillanatnyi sebesség egyenlő lesz az átlagsebességgel ennek a szakasznak bármely két pontja között.

[Miért egyenlő a pillanatnyi sebesség és az átlagsebesség az egyenes szakaszokon?]

Mit jelent a hely-idő grafikon görbülete?

Nézd meg az alábbi grafikont! Látszik, hogy az alakja görbe vonal, nem csak egyenes szakaszokból áll. Ha a hely-idő grafikon görbe vonal, akkor a meredekség változó lesz, ami azt jelenti, hogy a sebesség is változik. A változó sebesség gyorsulást eredményez. Tehát a görbület a grafikonban azt jelenti, hogy a test gyorsul, változó a sebesség/meredekség.

Mozgasd a pontot vízszintesen az alábbi grafikonon, és nézd meg, hogyan változik a meredekség. Az első megjelölt részen, 1, start text, space, s, end text és 5, start text, space, s, end text között, negatív a gyorsulás, hiszen a meredekség pozitívból negatívba megy át. A második megjelölt részen, 7, start text, space, s, end text és 11, start text, space, s, end text között, a gyorsulás pozitív, mert a meredekség negatívból pozitívba megy át.

Ellenőrző kérdés: mennyi a test gyorsulása a t, equals, 6, start text, space, s, end text időpontban a fenti ábra alapján?

[Mutasd a választ!]

Összegezve, ha a hely-idő grafikon görbülete olyan, mint egy fejjel lefelé álló tál, akkor a gyorsulás negatív lesz. Ha a görbület olyan, mint egy felfelé fordított tál, akkor a gyorsulás pozitív lesz. Így jegyezheted meg: ha a tál fejjel lefelé áll, akkor az étel kiesik belőle, ez negatív. Ha a tál felfelé van fordítva, akkor az étel benne marad, ez pozitív.

[Ez azt jelenti, hogy a „fejjel lefelé álló tál” mindig lassulást jelent?]

Hogy néz ki a hely-idő grafikonnal kapcsolatos feladatok megoldása?

1. példa: Az éhes rozmár

Az alábbi grafikon egy éhes rozmár mozgását ábrázolja, ami oda-vissza mozog vízszintesen, élelmet keresve. A grafikon az x vízszintes helyet mutatja a t idő függvényében

Mennyi volt a rozmár pillanatnyi sebessége a következő időpontokban: 2, start text, space, s, end text, 5, start text, space, s, end text és 8, start text, space, s, end text?

A 2, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Úgy tudjuk meghatározni a rozmár sebességét a t, equals, 2, start text, space, s, end text időpontban, ha megkeressük a grafikon meredekségét t, equals, 2, start text, space, s, end text-nál:

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, A, l, k, a, l, m, a, z, z, u, k, space, a, space, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, space, k, e, with, \', on top, p, l, e, t, e, with, \', on top, t, point, right parenthesis, end text

Most pedig kiválasztunk két olyan pontot a vizsgált egyenesen, amelyek illeszkednek egy-egy rácspontra, mert így könnyen meg tudjuk határozni a grafikon értékét ezekben a pontokban. A left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, ;, 1, start text, space, m, end text, right parenthesis és a left parenthesis, 4, start text, space, s, end text, ;, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis pontokat választjuk, de bármelyik két pontot választhatnánk 0, start text, space, s, end text és 4, start text, space, s, end text között. A későbbi időpontot kell a 2. helyre beírni, a korábbi időpontot pedig az 1. helyre.

\text{meredekség}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Kiválasztunk két pontot, az x értékeket beírjuk a számlálóba, a t értékeket pedig a nevezőbe.)}

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, 3, start text, space, m, end text, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, K, i, v, a, with, \', on top, l, a, s, z, t, u, n, k, space, k, e, with, \', on top, t, space, p, o, n, t, o, t, comma, space, a, z, space, x, space, e, with, \', on top, r, t, e, with, \', on top, k, e, k, e, t, space, b, e, ı, with, \', on top, r, j, u, k, space, a, space, s, z, a, with, \', on top, m, l, a, with, \', on top, l, o, with, \', on top, b, a, comma, space, a, space, t, space, e, with, \', on top, r, t, e, with, \', on top, k, e, k, e, t, space, p, e, d, i, g, space, a, space, n, e, v, e, z, o, with, \H, on top, b, e, point, right parenthesis, end text

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, 2, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, K, i, s, z, a, with, \', on top, m, o, l, j, u, k, space, a, z, space, e, r, e, d, m, e, with, \', on top, n, y, t, point, right parenthesis, end text

Tehát a rozmár sebessége a 2, start text, space, s, end text időpontban 0, comma, 5, start text, space, m, slash, s, end text volt.

Az 5, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Ahhoz, hogy meghatározzuk a sebességet 5, start text, space, s, end text-nál, csak azt kell észrevennünk, hogy a grafikon itt vízszintes. Mivel a grafikon vízszintes, ezért a meredekség egyenlő 0-val, ami azt jelenti, hogy a rozmár sebessége az 5, start text, space, s, end text időpontban 0, start text, space, m, slash, s, end text volt.

A 8, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Az utolsó egyenes szakasz kezdő- és végpontját választjuk ki, ezek a left parenthesis, 6, start text, space, s, end text, ;, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis és a left parenthesis, 9, start text, space, s, end text, ;, 0, start text, space, m, end text, right parenthesis pontok.

\text{meredekség}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(Kiválasztunk két pontot, az x értékeket beírjuk a számlálóba, a t értékeket pedig a nevezőbe.)}

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, 0, start text, space, m, end text, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 9, start text, space, s, end text, minus, 6, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, K, i, v, a, with, \', on top, l, a, s, z, t, u, n, k, space, k, e, with, \', on top, t, space, p, o, n, t, o, t, comma, space, a, z, space, x, space, e, with, \', on top, r, t, e, with, \', on top, k, e, k, e, t, space, b, e, ı, with, \', on top, r, j, u, k, space, a, space, s, z, a, with, \', on top, m, l, a, with, \', on top, l, o, with, \', on top, b, a, comma, space, a, space, t, space, e, with, \', on top, r, t, e, with, \', on top, k, e, k, e, t, space, p, e, d, i, g, space, a, space, n, e, v, e, z, o, with, \H, on top, b, e, point, right parenthesis, end text

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 3, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, K, i, s, z, a, with, \', on top, m, o, l, j, u, k, space, a, z, space, e, r, e, d, m, e, with, \', on top, n, y, t, point, right parenthesis, end text

Tehát a rozmár sebessége a 8, start text, space, s, end text időpontban minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text volt.

2. példa: A vidám madár

Az alábbi grafikon egy rendkívül vidám madár mozgását ábrázolja, ami fel-le röpköd egy egyenes mentén. A grafikon az y függőleges helyet mutatja a t idő függvényében. Válaszolj a következő kérdésekre a madár mozgásával kapcsolatban!

Mennyi volt a madár átlagsebessége a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között?
Mennyi volt a madár átlagos sebességnagysága a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között?

A madár átlagsebességének meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között:

A t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text közötti átlagsebesség meghatározásához megkereshetjük a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text közötti átlagos meredekséget. Szemléletesen ez annak az egyenesnek a meredekségét jelenti, amelyik a grafikon kezdőpontját összeköti a végpontjával.

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, A, l, k, a, l, m, a, z, z, u, k, space, a, space, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, space, k, e, with, \', on top, p, l, e, t, e, with, \', on top, t, point, right parenthesis, end text

A kezdőpont a left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, ;, 7, start text, space, m, end text, right parenthesis pont, a végpont a left parenthesis, 10, start text, space, s, end text, ;, 6, start text, space, m, end text, right parenthesis pont.

\text{meredekség}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Vesszük az időintervallum végpontját és kezdőpontját, és behelyettesítjük az értékeket.)}

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, 6, start text, space, m, end text, minus, 7, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, V, e, s, s, z, u, with, \", on top, k, space, a, z, space, i, d, o, with, \H, on top, i, n, t, e, r, v, a, l, l, u, m, space, v, e, with, \', on top, g, p, o, n, t, j, a, with, \', on top, t, space, e, with, \', on top, s, space, k, e, z, d, o, with, \H, on top, p, o, n, t, j, a, with, \', on top, t, comma, space, e, with, \', on top, s, space, b, e, h, e, l, y, e, t, t, e, s, ı, with, \', on top, t, j, u, with, \", on top, k, space, a, z, space, e, with, \', on top, r, t, e, with, \', on top, k, e, k, e, t, point, right parenthesis, end text

start text, m, e, r, e, d, e, k, s, e, with, \', on top, g, end text, equals, start fraction, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, K, i, s, z, a, with, \', on top, m, o, l, j, u, k, space, a, z, space, e, r, e, d, m, e, with, \', on top, n, y, t, point, right parenthesis, end text

Tehát a madár átlagsebessége a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text volt.

[Nem lehetne úgy számolni, hogy az elmozdulás osztva az idővel?]

A madár átlagos sebességnagyságának meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között:

Az átlagos sebességnagyságot úgy értelmeztük, hogy a megtett út osztva az idővel. A megtett út kiszámításához össze kell adnunk a pálya egyes szakaszainak a hosszát. t, equals, 0, start text, space, s, end text és t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text között a madár 5, start text, space, m, end text-t mozdult el lefelé. Utána t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text és t, equals, 5, start text, space, s, end text között egyáltalán nem mozgott. Végül t, equals, 5, start text, space, s, end text és t, equals, 10, start text, space, s, end text között 4, start text, space, m, end text-t repült felfelé. Ha összeadjuk a pályaszakaszok hosszát, azt kapjuk, hogy a megtett út: start text, u, with, \', on top, t, end text, equals, 9, start text, space, m, end text.

Most oszthatunk az idővel, és megkapjuk a v, start subscript, a, with, acute, on top, t, l, a, g, end subscript átlagos sebességnagyságot:

v, start subscript, a, with, acute, on top, t, l, a, g, end subscript, equals, start fraction, start text, u, with, \', on top, t, end text, divided by, delta, t, end fraction, start text, left parenthesis, A, l, k, a, l, m, a, z, z, u, k, space, a, z, space, a, with, \', on top, t, l, a, g, o, s, space, s, e, b, e, s, s, e, with, \', on top, g, n, a, g, y, s, a, with, \', on top, g, space, k, e, with, \', on top, p, l, e, t, e, with, \', on top, t, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, a, with, acute, on top, t, l, a, g, end subscript, equals, start fraction, 9, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, B, e, h, e, l, y, e, t, t, e, s, ı, with, \', on top, t, u, with, \", on top, n, k, comma, space, e, with, \', on top, s, space, k, i, s, z, a, with, \', on top, m, o, l, j, u, k, space, a, z, space, e, r, e, d, m, e, with, \', on top, n, y, t, point, right parenthesis, end text

Tehát a madár átlagos sebességnagysága t, equals, 0, start text, space, s, end text és t, equals, 10, start text, space, s, end text között 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text volt.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Fizika

Tantárgy/kurzus: Fizika > 1. témakör

Mi az a hely-idő grafikon?

Mire használható a hely-idő grafikon?

Mit ábrázolunk a hely-idő grafikon függőleges tengelyén?

Mit jelent a meredekség a hely-idő grafikonon?

Mit jelent a hely-idő grafikon görbülete?

Hogy néz ki a hely-idő grafikonnal kapcsolatos feladatok megoldása?

1. példa: Az éhes rozmár

A 2, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Az 5, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

A 8, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

2. példa: A vidám madár

A madár átlagsebességének meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között:

A madár átlagos sebességnagyságának meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között:

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Fizika

Tantárgy/kurzus: Fizika > 1. témakör

Mire használható a hely-idő grafikon?

Mit ábrázolunk a hely-idő grafikon függőleges tengelyén?

Mit jelent a meredekség a hely-idő grafikonon?

Mit jelent a hely-idő grafikon görbülete?

Hogy néz ki a hely-idő grafikonnal kapcsolatos feladatok megoldása?

1. példa: Az éhes rozmár

A 2 s2\text{ s}2 s2, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Az 5 s5\text{ s}5 s5, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

A 8 s8\text{ s}8 s8, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

2. példa: A vidám madár

A madár átlagsebességének meghatározása a t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text és a t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text között:

A madár átlagos sebességnagyságának meghatározása a t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text és a t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text között:

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

A 2, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Az 5, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

A 8, start text, space, s, end text-hoz tartozó sebesség meghatározása:

A madár átlagsebességének meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között:

A madár átlagos sebességnagyságának meghatározása a t, equals, 0, start text, space, s, end text és a t, equals, 10, start text, space, s, end text között: