If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Mi az a hely-idő grafikon?

Nézd meg, mit tudhatunk meg a helyet az idő függvényében ábrázoló grafikonból!

Mire használható a hely-idő grafikon?

Sokan úgy viszonyulnak a grafikonokhoz, mint a fogorvoshoz: homályos szorongást éreznek, és nagyon szeretnének minél gyorsabban túl lenni rajta. De a hely-idő grafikonok nagyszerűek: alkalmasak arra, hogy praktikusan, kis helyen megjelenítsenek rengeteg, a test mozgására vonatkozó információt.

Mit ábrázolunk a hely-idő grafikon függőleges tengelyén?

A függőleges tengelyen a test helyét ábrázoljuk. Például ha leolvasol egy meghatározott időponthoz tartozó értéket az alábbi grafikonról, akkor megkapod a test helyét méterben.
Próbáld meg vízszintesen elcsúsztatni a pontot az alábbi grafikonon, és nézd meg, hogyan változik a hely az idő függvényében.
Ellenőrző kérdés: hol van a test a t=5 másodperc időpontban a fenti grafikon alapján?

Mit jelent a meredekség a hely-idő grafikonon?

A hely-idő grafikon meredeksége a test sebességét mutatja. Tehát egy adott időponthoz tartozó meredekség értéke megegyezik a test sebességével ebben a pillanatban.
Hogy lásd, miért, figyeld meg az alábbi hely-idő grafikont:
Ennek a grafikonnak a meredeksége: meredekség=x változásat változása=x2x1t2t1.
A meredekségnek ez a meghatározása megegyezik a sebesség definíciójával: v=ΔxΔt=x2x1t2t1. Tehát a hely-idő függvény meredeksége egyenlő a sebességgel.
Ez olyan hely-idő grafikon esetén is igaz, amelynek változik a meredeksége. Például az alábbi grafikonon a piros vonal mutatja a meredekséget egy adott időpontban. Próbáld meg vízszintesen elcsúsztatni a pontot, és nézd meg, milyen a grafikon meredeksége az egyes időpontokban.
A görbe meredeksége a t=0 s és a t=3 s között pozitív, mivel felfelé irányul. Ez azt jelenti, hogy a sebesség pozitív, és a test pozitív irányba mozog.
A görbe meredeksége a t=3 s és a t=9 s között negatív, mert lefelé irányul. Ez azt jelenti, hogy a sebesség negatív, és a test negatív irányba mozog.
A t=3 s-ban a meredekség nulla, mert a meredekséget mutató vonal vízszintes. Ez azt jelenti, hogy a sebesség 0, és a test ebben a pillanatban nyugalomban van.
Ellenőrző kérdés: mennyi a test sebessége a t=9 s időpontban a fenti grafikon alapján?
Még valami, amit jó, ha megjegyzel: a hely-idő grafikon egy adott időponthoz tartozó meredeksége a pillanatnyi sebességet adja meg ebben az időpontban. A két időpont közötti átlagos meredekség az átlagsebességet fogja megadni ezen két időpont között. A pillanatnyi sebesség nem feltétlenül egyenlő az átlagsebességgel. De ha a meredekség állandó egy időintervallumban (azaz a grafikonnak ez a része egyenes), akkor a pillanatnyi sebesség egyenlő lesz az átlagsebességgel ennek a szakasznak bármely két pontja között.

Mit jelent a hely-idő grafikon görbülete?

Nézd meg az alábbi grafikont! Látszik, hogy az alakja görbe vonal, nem csak egyenes szakaszokból áll. Ha a hely-idő grafikon görbe vonal, akkor a meredekség változó lesz, ami azt jelenti, hogy a sebesség is változik. A változó sebesség gyorsulást eredményez. Tehát a görbület a grafikonban azt jelenti, hogy a test gyorsul, változó a sebesség/meredekség.
Mozgasd a pontot vízszintesen az alábbi grafikonon, és nézd meg, hogyan változik a meredekség. Az első megjelölt részen, 1 s és 5 s között, negatív a gyorsulás, hiszen a meredekség pozitívból negatívba megy át. A második megjelölt részen, 7 s és 11 s között, a gyorsulás pozitív, mert a meredekség negatívból pozitívba megy át.
Ellenőrző kérdés: mennyi a test gyorsulása a t=6 s időpontban a fenti ábra alapján?
Összegezve, ha a hely-idő grafikon görbülete olyan, mint egy fejjel lefelé álló tál, akkor a gyorsulás negatív lesz. Ha a görbület olyan, mint egy felfelé fordított tál, akkor a gyorsulás pozitív lesz. Így jegyezheted meg: ha a tál fejjel lefelé áll, akkor az étel kiesik belőle, ez negatív. Ha a tál felfelé van fordítva, akkor az étel benne marad, ez pozitív.

Hogy néz ki a hely-idő grafikonnal kapcsolatos feladatok megoldása?

1. példa: Az éhes rozmár

Az alábbi grafikon egy éhes rozmár mozgását ábrázolja, ami oda-vissza mozog vízszintesen, élelmet keresve. A grafikon az x vízszintes helyet mutatja a t idő függvényében
Mennyi volt a rozmár pillanatnyi sebessége a következő időpontokban: 2 s, 5 s és 8 s?

A 2 s-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Úgy tudjuk meghatározni a rozmár sebességét a t=2 s időpontban, ha megkeressük a grafikon meredekségét t=2 s-nál:
meredekség=x2x1t2t1(Alkalmazzuk a meredekség képletét.)
Most pedig kiválasztunk két olyan pontot a vizsgált egyenesen, amelyek illeszkednek egy-egy rácspontra, mert így könnyen meg tudjuk határozni a grafikon értékét ezekben a pontokban. A (0 s;1 m) és a (4 s;3 m) pontokat választjuk, de bármelyik két pontot választhatnánk 0 s és 4 s között. A későbbi időpontot kell a 2. helyre beírni, a korábbi időpontot pedig az 1. helyre.
meredekség=3 m1 m4 s0 s(Kiválasztunk két pontot, az x értékeket beírjuk a számlálóba, a t értékeket pedig a nevezőbe.)
meredekség=2 m4 s=12 m/s(Kiszámoljuk az eredményt.)
Tehát a rozmár sebessége a 2 s időpontban 0,5 m/s volt.

Az 5 s-hoz tartozó sebesség meghatározása:

Ahhoz, hogy meghatározzuk a sebességet 5 s-nál, csak azt kell észrevennünk, hogy a grafikon itt vízszintes. Mivel a grafikon vízszintes, ezért a meredekség egyenlő 0-val, ami azt jelenti, hogy a rozmár sebessége az 5 s időpontban 0 m/s volt.

A 8 s-hoz tartozó sebesség meghatározása:

meredekség=x2x1t2t1(Alkalmazzuk a meredekség képletét.)
Az utolsó egyenes szakasz kezdő- és végpontját választjuk ki, ezek a (6 s;3 m) és a (9 s;0 m) pontok.
meredekség=0 m3 m9 s6 s(Kiválasztunk két pontot, az x értékeket beírjuk a számlálóba, a t értékeket pedig a nevezőbe.)
meredekség=3 m3 s=1 m/s(Kiszámoljuk az eredményt.)
Tehát a rozmár sebessége a 8 s időpontban 1 m/s volt.

2. példa: A vidám madár

Az alábbi grafikon egy rendkívül vidám madár mozgását ábrázolja, ami fel-le röpköd egy egyenes mentén. A grafikon az y függőleges helyet mutatja a t idő függvényében. Válaszolj a következő kérdésekre a madár mozgásával kapcsolatban!
Mennyi volt a madár átlagsebessége a t=0 s és a t=10 s között?
Mennyi volt a madár átlagos sebességnagysága a t=0 s és a t=10 s között?

A madár átlagsebességének meghatározása a t=0 s és a t=10 s között:

A t=0 s és a t=10 s közötti átlagsebesség meghatározásához megkereshetjük a t=0 s és a t=10 s közötti átlagos meredekséget. Szemléletesen ez annak az egyenesnek a meredekségét jelenti, amelyik a grafikon kezdőpontját összeköti a végpontjával.
meredekség=y2y1t2t1(Alkalmazzuk a meredekség képletét.)
A kezdőpont a (0 s;7 m) pont, a végpont a (10 s;6 m) pont.
meredekség=6 m7 m10 s0 s(Vesszük az időintervallum végpontját és kezdőpontját, és behelyettesítjük az értékeket.)
meredekség=1 m10 s=0,1 m/s(Kiszámoljuk az eredményt.)
Tehát a madár átlagsebessége a t=0 s és a t=10 s között 0,1 m/s volt.

A madár átlagos sebességnagyságának meghatározása a t=0 s és a t=10 s között:

Az átlagos sebességnagyságot úgy értelmeztük, hogy a megtett út osztva az idővel. A megtett út kiszámításához össze kell adnunk a pálya egyes szakaszainak a hosszát. t=0 s és t=2,5 s között a madár 5 m-t mozdult el lefelé. Utána t=2,5 s és t=5 s között egyáltalán nem mozgott. Végül t=5 s és t=10 s között 4 m-t repült felfelé. Ha összeadjuk a pályaszakaszok hosszát, azt kapjuk, hogy a megtett út: út=9 m.
Most oszthatunk az idővel, és megkapjuk a vátlag átlagos sebességnagyságot:
vátlag=útΔt(Alkalmazzuk az átlagos sebességnagyság képletét.)
vátlag=9 m10 s=0,9 m/s(Behelyettesítünk, és kiszámoljuk az eredményt.)
Tehát a madár átlagos sebességnagysága t=0 s és t=10 s között 0,9 m/s volt.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.