If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Miért egyenlő az út a sebesség-idő grafikon alatti területtel?

Sal elmagyarázza, hogy miért egyenlő az út nagysága a sebesség-idő grafikon alatti terület mérőszámával. Készítette: Sal Khan.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Tegyük fel, hogy állandó, 5m/s-os sebességgel mozog valami. Feltételezzük, hogy jobbra mozog, csak hogy legyen iránya, mert a sebesség vektormennyiség. Tehát ebbe az irányba mozog. Ábrázolom is a sebességet az idő függvényében. Ez a sebesség. Tulajdonképpen csak a sebesség nagyságát ábrázolom, amit így jelölhetünk. Szóval ez a sebesség nagysága, ezen a tengelyen pedig az időt ábrázolom. A sebesség állandó, 5 m/s-os, a nagysága 5 m/s. És állandó, nem változik. Ahogy telnek a másodpercek, a sebesség nem változik, a test csak megy 5 m/s-mal. Na most, az a kérdésem, milyen messze lesz ez a test 5 s múlva? 5 s múlva – ez itt 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s. Milyen messzire ment ez a test 5 s alatt? Kétféleképpen gondolkodhatunk. Az egyik az, hogy tudjuk, hogy a sebesség az elmozdulás per az eltelt idő – az elmozdulás, azaz a hely megváltozása –, a hely megváltozása osztva az eltelt idővel. A másik pedig az, hogy ha mindkét oldalt megszorozzuk az eltelt idővel, akkor azt kapjuk, hogy a sebesség szorozva az eltelt idővel egyenlő az elmozdulással. Mennyi itt az elmozdulás? Hát, tudom, hogy a sebesség 5 m/s. Ez a sebesség, ezzel a színnel jelölöm. Ez a sebesség. Azt is tudjuk, hogy az eltelt idő 5 s, így a másodperccel egyszerűsíthetünk, azt kapjuk, hogy 5-ször 5, 25 méter. Ez elég egyszerű. Egy kicsit érdekesebb dolog, hogy ez pontosan ennek a téglalapnak a területe. Ebben a videóban azt szeretném megmutatni, hogy ez általános érvényű, ha ábrázolod a sebességet, a sebesség nagyságát, a sebesség nagyságát az idő függvényében, vagy maradjunk annál, hogy a sebességvektor nagyságát az idő függvényében, akkor a görbe alatti terület mérőszáma egyenlő lesz a megtett út nagyságával, vagyis az elmozdulás nagyságával, mert az elmozdulás egyszerűen a sebesség szorozva az eltelt idővel. Tehát egyszerűen csak vesszük ezt a téglalapot. Rajzolok egy kicsit különbözőt, ahol a sebesség változik. Olyan esetet rajzolok, amikor állandó a gyorsulás. A gyorsulás itt 1 m/s per secundum, tehát 1 m/s². Ugyanilyen típusú grafikont rajzolok, azonban ez egy kicsit másképp fog kinézni. Ez a sebesség tengely – egy kicsit nagyobb helyre lesz szükségem –, ez a sebesség tengely – csak a sebesség nagyságát fogom ábrázolni –, és ez az idő tengely, tehát ez az idő. Beosztom a tengelyeket. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ,9 10, és 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. A sebesség nagyságát m/s-ban mérjük, az időt pedig másodperben mérjük. Mi történik itt, ha feltételezzük, hogy a kezdősebesség, vagyis a kezdősebesség nagysága – a kezdeti sebességnagyság, mondhatjuk így is –, a kezdeti sebességnagyság 0. A kezdeti sebességnagyság 0. 1 másodperc múlva mi történik? 1 s múlva 1 m/s-mal gyorsabb leszek, tehát 1 m/s-mal haladok. 2 s múlva mi történik? Nos, újabb 1 m/s-mal gyorsabban haladok, újabb 1 másodperc múlva... – ahogy megyek előre az időben, ha eltelik egy másodperc, akkor 1 m/s-mal gyorsabb leszek, mint előtte. Ha emlékszel a meredekség fogalmára az algebrából, az pontosan ugyanaz, mint a gyorsulás itt ezen a grafikonon. Tudjuk, hogy a gyorsulás a sebességváltozás per az eltelt idő. Az eltelt idő az x tengelyen van, tehát ez itt az eltelt idő, ez pedig itt a sebességváltozás. Ha ábrázoljuk a sebességet, vagyis a sebesség nagyságát az idő függvényében, akkor ennek az egyenesnek a meredeksége a gyorsulás. És mivel feltételezzük, hogy a gyorsulás állandó, a meredekség is állandó. Szóval ez csak egy egyenes, nem görbe. Szeretném, ha elgondolkodnánk ezen a helyzeten. Mondjuk, a gyorsulás 1 m/s², és az idő 5 s. A kérdésem az, hogy milyen messzire jutunk el? Ami egy kicsit érdekesebb kérdés, mint az eddigi kérdések. Tehát 0 kezdősebességgel indulunk, és utána 5 másodpercen keresztül 1 m/s²-tel gyorsulunk. 1, 2, 3, 4, 5, eddig megyünk, itt vagyunk. Tehát 5 s elteltével tudjuk, hogy mennyi a sebességünk. Most a sebességünk 5 m/s. De milyen messzire jutottunk? Gondolkodhatunk erről egy kicsit szemléletesen. Mondhatjuk azt, hogy rajzolhatunk ide téglalapokat. Itt a sebesség 1 m/s, tehát ha azt mondom, hogy 1 m/s szorozva 1 s-mal, akkor így megkapok egy kis utat. Utána a következő, itt van megint egy kis út, – ugyanúgy számolhatjuk ki –, és rajzolhatnám tovább ezeket a téglalapokat. De akkor azt mondhatod, hogy ezek a téglalapok hiányosak, mert nem egy egész másodpercig mentem 1 m/s-mal, közben gyorsultam. Akkor talán feloszthatnám ezeket a téglalapokat, még több téglalapra oszthatnám. Esetleg fél másodpercenként megyek. Tehát ebben a fél másodpercben ezzel a sebességgel mentem. Ezzel a sebességgel megyek fél másodpercig, a sebesség szorozva az idővel megadja az elmozdulást. Ugyanezt csinálom a következő fél másodpercre. Teljesen ugyanaz az elv. Megkapom az elmozdulást. És így tovább. Gondolom, hogy látod, hogy minél pontosabb... minél kisebbek a téglalapok, amiket itt próbálunk csinálni, annál közelebb jutunk a görbe alatti területhez. És mint ahogy ebben az esetben, a görbe alatti terület itt is a megtett út lesz. Szerencsére ez egy háromszög lesz, és azt tudjuk, hogy számoljuk ki a háromszög területét. A háromszög területe az alap és a magasság szorzatának a fele, ami remélhetőleg érthető számodra, mert ha összeszorozzuk az alapot a magassággal, akkor megkapjuk az egész téglalap területét, és a háromszög ennek pontosan a fele. Tehát ebben az esetben a megtett út, vagy mondhatom azt is, hogy az elmozdulás – csak azért, mert a vektorokra szeretném helyezni a hangsúlyt –, az elmozdulás – vagy mondhatnám azt, hogy az elmozdulás nagysága, ami ugyanaz, mint az út –, egyenlő lesz 1/2-szer az alap, ami 5 s, szorozva a magassággal, ami 5 m/s, szorozva 5 m/s-mal – ezt más színnel csinálom –, 5 m/s. A másodperc kiesik, és az marad, hogy 1/2-szer 5-ször 5 méter, tehát 1/2-szer 25 méter, ami egyelő 12,5 méterrel. Van itt egy érdekes dolog, az első az, – sok érdekes dolog van, remélem, látod –, hogy ha ábrázoljuk a sebességet az idő függvényében, akkor a görbe alatti terület megmutatja, hogy mekkora utat tettünk meg az adott idő alatt. Egy másik érdekes dolog, hogy a görbe meredeksége megadja a gyorsulást. Mekkora itt a meredekség? Nos, ez teljesen vízszintes, azért, mert a sebesség nem változik, szóval itt a gyorsulás állandó, ennek a gyorsulásnak a nagysága pontosan nulla. A sebesség nem változik. Itt 1 m/s² a gyorsulás, és ezért ennek az egyenesnek a meredeksége 1. Egy újabb érdekes dolog, hogy ha állandó a gyorsulás, akkor is ki tudjuk számolni az utat úgy, hogy vesszük a görbe alatti területet, mint itt. Ki tudtuk számolni itt az utat, 12,5 métert kaptunk. Az utolsó dolog, amit meg szeretnék mutatni... – inkább majd a következő videóban vezetem be az átlagsebesség fogalmát. Most megbarátkoztunk azzal a gondolattal, hogy a megtett út nagysága egyenlő a sebesség-idő grafikon alatti terület mérőszámával.