Snellius-Descartes-törvény példák 2.

Vegyünk egy kicsivel bonyolultabb példát a Snellius -Descartes-törvényre! Itt ez a személy, aki egy medence szélén áll, és egy lézer mutatót tart a kezében, amit a vízfelszínre irányít. A keze, ahonnan a lézer világít, 1,7 méterre van a vízfelszíntől. Úgy tartja, hogy a fény pontosan 8,1 métert tesz meg, mire eléri a vízfelszínt. Majd a fény befelé megtörik, mivel optikailag sűrűbb közegbe ér. Ha az autó analógiáját vesszük, a külső kerekek kicsivel tovább maradnak kint, így addig gyorsabban haladnak, ezért törik meg befelé a fény. Ezután nekiütközik a medence aljának, valahol itt. A medencéről tudjuk, hogy 3 méter mély. Amit ki szeretnék számolni, az az, hogy a fény hol éri el a medence alját. Vagyis, hogy mekkora ez a távolság? Ahhoz, hogy ezt megkapjam, ki kell számolni ezt a távolságot itt, majd ezt a másikat is, és végül összeadni őket. Tehát ezt a részt kell kiszámolni, – megpróbálom másik színnel – amíg eléri a vizet, majd ezt a másik, kisebb szakaszt. Egy kis trigonometriával és talán egy kevés Snellius-Descartes-törvénnyel remélhetőleg képesek leszünk rá. Kezdjük a legegyszerűbbel! Számoljuk ki ezt a szakaszt! Úgy nézem, ez később is hasznos lehet még. Vegyük tehát ezt a szakaszt! Vagyis a vízfelszín mentén a távolságot, egészen addig, ahol a lézerfény eléri a vízfelszínt. Ez egyszerű alkalmazása a Pitagorasz-tételnek. Ez itt egy derékszög, ez pedig az átfogó. Szóval ez a távolság, nevezzük x távolságnak, x négyzet plusz 1,7 méter a négyzeten egyenlő lesz 8,1 négyzetével, sima Pitagorasz-tétel. Tehát x négyzet plusz 1,7 a négyzeten egyenlő lesz 8,1 négyzetével. 1,7 négyzetét kivonhatjuk mindkét oldalból. Azt kapjuk, hogy x négyzet egyenlő 8,1 a négyzeten mínusz 1,7 a négyzeten. Ha x-re szeretnénk megoldani, akkor x ennek a pozitív gyöke lesz, mivel a távolságok csak pozitívak lehetnek. x egyenlő lesz gyök alatt 8,1 a négyzeten mínusz 1,7 a négyzeten. Vegyük elő a számológépünket! x tehát egyenlő lesz gyök alatt 8,1 a négyzeten mínusz 1,7 a négyzeten. És azt kapom, hogy 7,9... – hadd kerekítsem – 7,92. Tehát x körülbelül 7,92, amúgy el is lehet menteni a kapott számot, hogy pontosabb eredményünk legyen. Tehát ez egyenlő 7,92-dal. Ez az x. Most már csak ezt a kis távolságot kell kiszámolnunk, majd hozzáadjuk x-hez, és meg is van a teljes távolság. Nézzük csak, hogy okoskodhatunk! Mekkora a beesési szög? És mekkora a törési szög? Húztam egy merőlegest a közeghatárra, vagyis a felszínre. Szóval a beesési szögünk ez a szög itt, ez a beesési szög. Emlékezz vissza, a Snellius-Descartes-törvénynél minket a szög szinusza érdekel. Hadd rajzoljam be, mi is érdekel minket igazán! Ez ugyebár a beesési szög, ez pedig a törési szög. Tudjuk, hogy a külső közeg törésmutatója – ami a levegő – vagyis a levegő törésmutatója szorozva théta1 szinuszával – ez ugye a Snelluis-Descartes-törvény, vagyis szorozva a beesési szög szinuszával – egyenlő lesz a víz törésmutatója – az értékeket a következő lépésben írjuk be – szorozva théta2 szinuszával – szorozva a törési szög szinuszával. Na most, tudjuk, hogy az n értékét kinézhetjük a táblázatból, ezt a feladatot is valójában a ck12.org flex book-jából vettem, legalábbis a feladat illusztrációját. Ezt meg szeretnénk oldani théta2-re, és ha ismerjük a théta2 szöget, kiszámolhatjuk ezt a szakaszt. Felhasználunk egy kevés trigonometriát. Valójában ha ismerjük théta2 szinuszát, akkor képesek leszünk kiszámolni x-et. Rendben, megnézzük mindkét számolást. Először megoldjuk erre a szögre, és ha megkaptuk a szöget, akkor egy kevés trigonometriát felhasználva ki tudjuk számolni ezt a kis lila szakaszt itt. Ahhoz, hogy megoldjuk, a két törésmutatót kikereshetjük, és már csak ezt a tagot kell megkapni. A théta1 értékét kell kiszámolnunk. Helyettesítsük be az összes értéket! A levegő törésmutatója 1,00029, – hadd írjam be ide – tehát 1,00029-szer szinusz théta1. Hogyan tudnánk megkapni a théta1 szinuszát, ha még a szöget sem ismerjük? Emlékezz, ez egyszerű trigonometria! Emlékezz: szisza-koma-taszem. A szinusz a szemközti per az átfogó. Tehát ha van itt ez a szög, – tegyük egy derékszögű háromszög részévé – és azt egy derékszögű háromszög részévé teszed, szemközti per az átfogó, ennek az oldalnak és az átfogónak az aránya lesz. Ezt a távolságot már kiszámoltuk, ugyanakkora, mint ez a távolság itt lent, ami x, vagyis egyenlő 7,92-vel. Théta1 szinusza tehát egyenlő lesz a szöggel szembeni befogó per az átfogó, ezt a szinusz definíciójából tudjuk. Tehát úgy lesz tovább, hogy szorozva – ez a rész jön, szinusz théta1, nem is kell ismernünk a théta1 szöget – az lesz, hogy 7,92 per 8,1. Ez egyenlő a víz törésmutatója, ami 1,33 – hadd jelöljem más színnel! Az lesz ... – nem, egy másik színt akarok, legyen ez a sötétkék! Tehát egyenlő lesz 1,33 szorozva szinusz théta2. Ha ezt meg szeretnénk oldani szinusz théta2-re, mindkét oldalt el kell osztanunk 1,33-dal. Végezzük el! Ide fogom írni. Ha elosztjuk mindkét oldalt 1,33-al, azt kapjuk, hogy 1,00029-szer 7,92 per 8,1, és ez még osztva 1,33-al, tehát osztunk 1,33-dal is, ami egyenlő lesz szinusz théta2-vel. Nézzük, mi is lesz ez! Vegyük elő a számológépet! Tehát 1,00029-szer 7,92, úgy is tudnám, hogy szorozva másod (2nd), majd válasz (Ans), ha ezt a pontos értéket akarjuk használni, ez volt az utolsó, vagyis másod ... válasz. Ez tehát pontos, nincs kerekítve. És el akarjuk osztani 1,33-al, ezzel itt lent, és még el akarjuk osztani 8,1-del, és ez egyenlő szinusz théta2. Ez tehát egyenlő szinusz théta2. Hadd írjam le! Azt kaptuk, hogy 0,735 egyenlő szinusz théta2. Most vehetjük az inverz szinuszát az egyenlet mindkét oldalának, hogy kiszámoljuk a théta2 szöget. Azt kapjuk, hogy théta2 egyenlő ‒ vegyük az inverz szinuszát ennek az értéknek! Az inverz szinuszát tehát annak, amit kaptunk, vagyis a legutóbbi eredménynek. És azt kapjuk, hogy théta2 egyenlő lesz 47,3... kerekítve 47,34 fokkal. Ez tehát 47,34 fok. Sikerült kiszámolnunk théta2 értékét, ami 47,34 fok. Most már csak egy kis trigonometriát kell használnunk ahhoz, hogy megkapjuk ezt a maradék távolságot. Milyen szögfüggvényt is kell használunk? Ezt a szöget már ismerjük, meg szeretnénk kapni a vele szemközti befogó hosszát. Ismerjük a mellette levő befogó hosszát, tudjuk, hogy ez az oldal 3. Melyik szögfüggvény foglalkozik a szemközti és a melletti befogókkal? A tangens, persze – taszem. A tangens az a szemközti per a melletti. Tehát tudjuk, hogy ennek a szögnek a tangense, 47,34 foknak a tangense egyenlő lesz a szemközti oldal, – y-nal jelölöm – tehát egyenlő lesz y per a melletti oldal, ami pedig 3 méter. Ha meg akarjuk oldani y-ra, az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3-mal, és azt kapjuk, hogy 3-szor tangens 47,34 fok egyenlő y-nal. Vegyük elő a számológépünket! Tehát 3-szor tangens 47,34 fok – a pontos értéket fogom használni – 3-szor az érték tangense egyenlő 3,255. Vagyis ez a sárga szakasz itt, y. És már a célegyenesben is vagyunk, y egyenlő 3,255 méterrel. A kérdésünk az volt, hogy mekkora ez a teljes távolság? Ez egyenlő lesz ezzel az x távolsággal plusz az y, ami 3,25. Az x 7,92 volt. És itt most kerekítek. Tehát egyenlő lesz 7,92 plusz amit az előbb kaptam. Így 11,18-at kapunk, vagy ha kerekítve szeretnénk, akkor talán 11,2 méter, én most 11,18-at mondok. Ez tehát a távolság, amit ki akartunk számolni, az a pont a medence alján, ahol a lézer mutató fénye eléri a medence fenekét valójában 11,18 – körülbelül, kerekítek egy keveset – méter távolságra van a medence szélétől. Na szóval, remélem hasznosnak találtad. Ez egy kicsivel bonyolultabb, mint a Snellius-Descartes-törvény sima alkalmazása, a trigonometria volt a nehezebb része, és felismerni azt, hogy nem kell ismerned ezt a szöget, mert megvan minden információd a szög szinuszához. Ki tudnád számolni a théta1 szöget, most, hogy ismered a szinuszát, ki tudnád számolni az inverz szinuszát, de az nem is igazán szükséges. Egyszerű trigonometriával megkapjuk a szög szinuszát, ezt és a Snellius törvényt felhasználva, kiszámolhatjuk ezt a szöget itt. Amint ismerjük ezt a szöget, még egy kis trigonometria felhasználásával, megkaphatjuk ezt a kis szakaszt is.