If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

A Bohr-modell energiaszintjei (levezetés fizika segítségével)

A klasszikus fizika eszközeivel kiszámítjuk a Bohr-modell elektronjainak energiáját alapállapotra és általánosan az n. szintre vonatkozóan is. Készítette: Jay.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.

Videóátirat

Ha továbblépünk a Bohr-modellel, a következő téma, amelyről beszélnünk kell, a különböző energiaszintek. Így hát az energiáról fogunk beszélni ebben a videóban, sok fizikai levezetés kíséretében. Ha akarsz, átugorhatsz a következő videóra, hogy lásd, mire jutottunk itt, és hogy azt hogyan lehet használni. Szóval az energiáról kell beszélnünk. Először az elektron mozgási (kinetikus) energiáját próbáljuk kiszámítani. Tudjuk, hogy a mozgási energia egyenlő 1/2 ∙ mv²-tel, ahol m az elektron tömege, v pedig a sebessége. Tehát ha az elektron így megy körbe az atommag körül, ez a negatív töltésű elektron, és a sebessége érintő irányú. Tudjuk, hogy az elektront vonzza az atommag. A hidrogén atommagjában egy proton van, és tudjuk, hogy a Bohr-modell szerint az elektron tartózkodási helyéhez tartozik egy bizonyos sugár. Tudjuk tehát, hogy az elektront vonzza a mag. Az elektromos erő az elektront a mag felé vonzza. Ez az elektromos erő centripetális erő, ez tartja az elektront a mag körüli körpályán. Beszéltünk már egy korábbi videóban ennek az erőnek a nagyságáról, és erre itt is szükségünk lesz. Kelleni fog ahhoz, hogy kiszámoljuk az elektron mozgási energiáját. Az elektromos erőt a Coulomb-törvény adja meg. Az elektromos erő nagysága egy k állandó, szorozva q₁-gyel, ami legyen a proton töltése, és q₂-vel, ami az elektron töltése, osztva r²-tel, ahol r a két töltés távolsága. Ismerjük Newton második törvényét: az erő a tömeg és a gyorsulás a szorzata. Elektronról van szó, tehát az elektron tömege szorozva az elektron gyorsulásával. Az elektromos erő centripetális (a kör középpontja felé mutat), ez tartja körpályán az elektront, így ezt centripetális gyorsulásnak nevezhetjük. Írjuk le, amit eddig tudunk! k egy állandó, ideírom, q₁ a proton töltése, azaz az elemi töltés, tehát +e, q₂ az elektron töltése. Ez ugyanolyan nagyságú, mint a protoné, csak negatív. Tehát mínusz e, osztva r négyzettel, és ez egyenlő az elektron tömegének és a centripetális gyorsulásnak a szorzatával. A centripetális gyorsulás v²/r. Ezt megcsináltuk már egy korábbi videóban. Pontosan ugyanazt fogjuk most is tenni. Az elektromos erőnek csak a nagysága érdekel, mivel az irányát tudjuk: mindig a középpont felé mutat. Így a negatív előjellel nem kell foglalkozni. Az egyik r kiesik. Ha csak az erő nagysága érdekel, a bal oldalon ezt kapjuk: ke²/r ez mv² a jobb oldalon. Ahogy láthatod, majdnem megkaptuk, amit akarunk. A mozgási energiára akartunk kapni egy kifejezést. A mozgási energia mv²/2, itt pedig mv² van. Ha mindkét oldalt megszorozzuk 1/2-del, megkapjuk az elektron mozgási energiáját. mv²/2 azonos a mozgási energiával. Tehát most már tudjuk, hogy a mozgási energia 1/2 ∙ ke²/r. Vissza fogunk majd térni a mozgási energiához. Most pedig számoljuk ki a potenciális (helyzeti) energiát! Az elektron potenciális energiáját ez a fizikai egyenlet adja meg. Az elektromos potenciális energia egyenlő: k (ugyanaz a k, mint az előbb) szorozva q₁-gyel, ismétlem: ez a proton töltése, szorozva az elektron töltésével, osztva a közöttük levő távolsággal. Ez megint csak fizika. Írjuk be, amit tudunk! Ez tehát egyenlő k... q₁ a proton töltése, tehát +e, q₂ az elektron töltése, azaz –e, osztva r-rel. Most meghagyjuk a negatív előjelet, ez az elektromos potenciális energia definíciójából következik. Amit kaptunk: –ke²/r. Így az elektromos potenciális energia végtelen távolságnál nulla lesz. Meg kell hagynunk a negatív előjelet, mivel az fontos. Tehát megvan az elektromos potenciális energia, és a mozgási energia is. Az elektron összes energiája: a mozgási energia és a potenciális energia összege. Ez itt tehát az elektromos potenciális energia. Írjuk be az értékeket! A mozgási energiát itt találjuk, 1/2 ∙ ke²/r, beírjuk ide, a potenciális energia: –ke²/r, ezt is beírjuk, és most ki tudjuk számolni az összes energiát. Csinálok egy kis helyet... Az összes energia: 1/2 ∙ ke²/r, a mozgási energia, ez pozitív volt, és jön egy negatív érték, –ke²/r. Ez itt 1/2 mínusz 1, azaz –1/2. 1/2 – 1 = –1/2 Tehát –1/2 ∙ ke²/r az összes energiát leíró kifejezés. Ez az elektron összes energiája. Számítsuk ki az összes energiát, ha a sugár r₁, amiről az előző videóban beszéltünk. Az elektron pályájának sugara alapállapotban. r₁-re, mikor kiszámoltuk, 5,3∙10⁻¹¹ métert kaptunk. Szóval ezt az értéket írjuk be ide. Így ki tudjuk számolni az összes energiát, ami ehhez az energiaszinthez tartozik. Ne feledd, hogy ezt az r₁-et úgy kaptuk, hogy egy kis matekozás után kaptunk egy képletet, és abba beírtunk n = 1-et. Bármely n egész számhoz tartozó sugár n² ∙ r₁. Ha n = 1, ezt beírtuk ide, és megkaptuk a sugarat. Írjuk be, és számoljunk! Tehát meg fogjuk kapni az első energiaszinthez tartozó teljes energiát. Ha n = 1, ez –1/2-szer k, ami 9∙10⁹, szorozva az elemi töltéssel. k megvolt, e a proton vagy elektron töltésének nagysága, ami 1,6∙10⁻¹⁹ coulomb. Ezt négyzetre emeljük, és elosztjuk a sugárral, ami 5,3∙10⁻¹¹ méter. Hogy időt spóroljak, nem számolom végig, de ha megteszed, kijön, hogy a hidrogénatom alapállapotú elektronjának energiája –2,17∙10⁻¹⁸, és a mértékegység joule lesz. Ha minden mértékegységet végignézünk, joule-t kapunk. Ez tehát a legalacsonyabb energiaszint, az alapállapot. Az energia negatív, ennek a jelentéséről a következő videóban fogok beszélni. Általánosíthatjuk is ezt az energiát. Most n = 1-re számoltuk ki, de lehet bármilyen Eₙ-et nézni. Írjunk rₙ-et ide. Újraírom az egyenletet. Általánosíthatjuk ezt: az energia bármelyik energiaszinten –1/2 ∙ ke²/rₙ. Most jöhet ez a képlet, amelyről beszéltünk és le is vezettük a korábbi videóban, és beírhatjuk rₙ helyére. Ide beírjuk az egészet. Csinálok egy kis helyet, és folytatom... Az energia az n. szinten –1/2 ∙ ke², osztva... ide tehát bejön az n² ∙ r₁. Átírhatjuk, ezt kapjuk: –1/2 ∙ ke²/r₁ ∙ 1/n². Így írtam át, mivel tudom, hogy ez mivel egyenlő. Tudom, mivel egyenlő –1/2 ∙ ke²/r₁. Az előbb számoltuk ki. Szóval ez –1/2 ∙ ke²/r₁, az első energiaszinthez tartozó energia. Beírhatjuk ezt a számot ennek a helyére. Szóval ezzel egyenlő az egész. Felírhatjuk másképp is az energiát. Az energia: –2,17∙10⁻¹⁸ szorozva 1/n²-tel. Felírhatjuk törtként is. És felírhatjuk kicsit másként: mivel ez E₁, így még rövidebb is lehet: az n. szint energiája az első szint energiája osztva n²-tel. Bármelyik jó. Írhatjuk így, vagy így, teljesen mindegy, melyiket használod. Ezeket az egyenleteket, vagy ezt – valójában ezek ugyanazok – fogjuk használni a következő videóban, és kiszámoljuk a különböző szintekhez tartozó különböző energiákat. n-et fogjuk változtatni, és más energiát fogunk kapni. Az energia tehát kvantált. Fontos átgondolni az energia kvantáltságát. Ez az egyik oka a Bohr-modell szépségének: megadja a kvantált energiaszinteket, ami jó pár dolgot megmagyaráz, ahogy később látni fogjuk. A következő videóban az energiával folytatom, használni fogjuk a most levezetett egyenleteket, és tovább tárgyaljuk a hidrogénatom Bohr-modelljét.