A leképzési törvény levezetése

Képzeld csak el, hogy van egy tárgyad ez előtt a homorú tükör előtt. Ha rá akarsz jönni, hogy hol keletkezik a kép, sugármeneteket kell rajzolnod. Az egyik, amit rajzolhatsz, egy párhuzamos, ami visszaverődve áthalad a fókuszponton. De ezek a sugarak megfordíthatóak. Azt nem is kell felrajzoljam, mert ha innen visszafele küldöd a fényt, akkor ugyanazon az útvonalon fog haladni, mint ahogy jött, vagyis a sugármenetek megfordíthatók. Ha küldök egy párhuzamos sugarat, az át fog menni a fókuszponton, de ha küldök egy fénysugarat a fókuszponton keresztül, az párhuzamosan fog visszaverődni. Más szóval nem kell felrajzolnom ezt a sugarat. Simán ide tudom rajzolni azt a sugarat, amelyik a tárgy csúcsából indul és áthalad a fókuszponton. Ez párhuzamosan halad majd tovább. Szóval ezt csak úgy felrajzolom, majd rajzolok egy másikat is, mert kettőre van szükség ahhoz, hogy megtaláld a kép helyét. Ezt ide fogom rajzolni. Ez a fehér vonal az optikai főtengely, a gömbtükör középpontján halad keresztül. Fogok rajzolni egy sugarat, ami a tárgy tetejéről indul, és a középpontba tart. Tudom, hogy a fényvisszaverődés törvénye szerint a beesési és visszaverődési szögek egyformák, ezeket a szögeket a beesési merőlegestől mérjük. Jelen esetben ez a főtengely, amit amúgy is iderajzolnánk, pont megfelel a beesési merőlegesnek itt a tükör középpontjában, mivel a tükör középpontján merőlegesen halad keresztül. Ezt ki tudom használni. Tudom, hogy a beeső és a visszavert szög egyenlő, vagyis úgy kell rajzolnom, hogy a visszaverődési szög is nagyjából – valahogy így – ugyanakkora legyen, mint a beesési szög. Tehát ez a kettő ugyanazzal a théta szöggel egyenlő. Most már meg tudom mondani, hol keletkezik a kép. Ennek a tárgynak a képe a két sugár metszéspontjában lesz, vagyis a tárgy csúcsa ebbe a pontba fog vetülni. Szóval egy fordított képet kapunk, ami így néz ki. Tehát a sugármenetek segítenek megtalálni a kép helyét. Viszont csak szemre rajzoltam be ezt a szöget itt, tévedhettem egy keveset, talán egy-két fokot. Ha szeretném pontosan meghatározni a kép helyét, jól jönne egy egyenlet, amibe csak behelyettesíthetnék. Vagyis amibe beírnám, hogy milyen messze volt a tárgy a tükörtől, és mekkora ez a fókusztávolság, és megadná a kép pontos helyét. Ezt fogjuk levezetni ebben a videóban, amit leképezési törvénynek (vagy tüköregyenletnek) neveznek. Ez meg fogja adni nekünk a tárgy-, a kép- és a fókusztávolság kapcsolatát. Csináljuk! Hogyan vezeted le? Ha megnézed egy könyvben, bonyolultnak tűnik, de nem annyira vészes. Én is, amikor először megláttam azt gondoltam, hogy ez valami matematikai boszorkányság, amit hanyagolnék. De közel sem olyan rossz, mint amilyennek látszik. Háromszögek rajzolásával fogjuk kezdeni. Látjuk, hogy ez a két szög megegyezik, ezt fel fogjuk használni. Két háromszöget fogunk venni, amelyeknek az egyik szöge ezek közül az egyik lesz. Elsőként vegyük ezt! Az első háromszög induljon innen a kép aljától a tükör közepéhez, majd onnan a kép csúcsához, és végül a kép csúcsától le egészen a kép aljáig. Képzeld el a ezt a rózsaszín háromszöget, ami derékszögű lesz, hiszen ez a szöge derékszög, és ez a théta szög is a szöge. De rajzolhatok egy másik háromszöget is, amelyikben ez a théta szög lesz benne. Indulhatok a tárgy csúcsától a tükör közepéhez, majd a tükör közepétől a tárgy aljához, és a tárgy aljától a tárgy csúcsáig. Így ezt a kék háromszöget kapom. Ez is derékszögű háromszög, mivel ez a szög itt derékszög. Más szóval ezek a háromszögek hasonlók. Mindkettőnek van egy théta szöge, és mindkettőnek van egy derékszöge. Vagy másképp, ha nem szereted a hasonló háromszögeket, gondolkodhatsz szögfüggvényekkel is. Vedd a kedvenc szögfüggvényedet! Én a tangenst választom. Szóval vegyük tangens thétát! Tangens théta definíció szerint mindig a szemközti befogó per a melletti befogó. A szöggel szemközti – először ezt a lenti szöget nézzük –, ezzel a szöggel szemben ez az oldal van. Mi is ez az oldal? A kép mérete. Ezért hi-vel fogom jelölni, mint a kép magassága. Ez jelöli a kép magasságát. Tehát ez itt egyenlő lesz a kép magassága per a szög melletti befogóval, ami ez a távolság itt, amit el fogunk nevezni. Azt mutatja, hogy a kép milyen messze van a tükörtől, tehát ezt a távolságot a tükörtől a képig elnevezzük képtávolságnak. A tükör közepétől számítjuk, tehát nem ettől a ponttól a tükör szélén, hanem pontosan a tükör közepétől, ettől a ponttól itt. Ez tehát itt a szög melletti befogó, ami a kép távolságát mutatja a tükörhöz képest, ezért di-vel fogom jelölni, mivel ez a képtávolság. Eddig az alsó thétát néztük, de tudom, hogy ez a fenti szintén egy théta szög. Erre is használhatom ugyanazt az arányt. Tudom, hogy ennek a tangense szintén a szemközti befogó per a melletti befogó kell legyen. Az ezzel szemközti oldal ez lesz. Mi is ez? Pontosan a tárgy magassága. Ezért ho-nak nevezzük el. Ez a tárgy magassága. Tehát ezzel a thétával szemben a tárgy magassága van. És mivel kell osztani? A szög melletti befogóval, ami ez a távolság lesz a tükörtől a tárgyig. Amit elnevezünk – ha tárgytávolságra gondoltál, akkor igazad van –, ez lesz a tárgytávolság. Még egyszer, a tükör közepétől mérjük, nem bármely más pontjától, hanem a tükör közepétől. Tehát ez a fenti théta melletti befogó, do-val jelölöm. Ez egy fontos összefüggés, van is egy saját elnevezése. Ez nem az az egyenlet, amit keresünk, de annyira fontos, hogy saját neve van. A levezetésnek csak ez a része kap saját nevet, ezt nagyítási képletnek hívják. De általában nem így írják, legtöbbször úgy írják, hogy hi per ho, hi per ho egyenlő, mindkét oldalt megszorozva do-val, azt kapod, hogy di per do. Szóval legtöbbször ezt nagyítási képletnek nevezik, amiből ki tudod számolni a kép méretét. Mi tehát arra voltunk kíváncsiak, hogy milyen messze lesz a kép a tükörtől. Ez megadja neked, de ismerned kell hozzá a kép méretét. Ha kifejezzük a kép magasságát, azt kapjuk, hogy egyenlő a tárgymagasság szorozva egy tényezővel, ami egyenlő a képtávolság osztva a tárgytávolsággal. Van itt még valami. Nézd csak, a kép megfordult. Ha tehát ezt a képtávolságot pozitívnak vesszük, ha ugyanazon az oldalon van, mint a tárgy, akkor egy fordított képet kapunk, mintha a magassága negatív lenne. És mivel a fodított képek magasságát negatív értékkel jelöljük, ezért az egyenletet egy negatív előjellel kell írnunk. A kép magassága tehát egyenlő mínusz ho-szor di per do. A negatívat ide is beírhatjuk. Így, ha a kép magasságára negatív értéket kapunk, akkor tudjuk, hogy a kép fordított. Például ha hi-re mínusz 3 cm-t kapok, az azt jelenti, hogy a kép magassága 3 cm lesz, de fordított állású. Ezt mutatja a negatív előjel. Rendben, ez egy kis kitérő volt. Ez nem az, amit le szeretnénk vezetni. A célunk egy olyan egyenlet, ami megadná a képtávolságot a tárgytávolság és a fókuszpont ismeretében. Ehhez szükségünk van két másik háromszögre. Théta helyett ezt a két másik szöget fogjuk használni. Nem jelölhetem őket thétával, mivel az már foglalt, ezért fí-vel fogom őket jelölni. Ezek a szögek is egyenlők kell, hogy legyenek. Mivel ha van egy egyenes és egy másik metszi azt, ez a két szög itt mindig egyenlő lesz egymással. Ugyanazt lejátszhatjuk, mint amit a théta esetén csináltunk, csak most a fíkkel. Két háromszöget fogunk venni. Mindkettőnek valamelyik szöge fí lesz. Az elsőnek a tárgy magassága lesz az egyik oldala, majd elmegyünk egészen a fí csúcsáig, és végül vissza a tárgy csúcsáig. A másikban is benne kell lennie a fí szögnek. Tehát innen a középpontig, ide le, és vissza a fí-hez. Két háromszögünk van tehát, ez itt fent és ez a másik itt lent. Mindkettőben van fí, és mindkettőnek van derékszöge. Tehát ezek is hasonló háromszögek, vagyis itt is ugyanazt kell csinálni. Ennek a fínek a tangense egyenlő a szemközti per a melletti. Ezzel a fível szemben ez a ho oldal van, tehát írhatjuk, hogy ho per... A szög melletti viszont nem do lesz, mivel ez az oldal csak eddig tart, nem megy egészen a tükörig, csak eddig. Ez tehát a teljes tárgytávolság mínusz ez a rész itt. Ha tehát ezt kivonom a tárgytávolságból, a megmaradt rész a szög melletti befogó lesz. Ezt a távolságot a tükör és a fókuszpont között fókusztávolságnak nevezzük és f-el jelöljük. Egy kicsit zavaros, mivel f jelölheti a pontot, ugyanakkor a pont és a tükör közti távolságot is. f tehát ezt a távolságot is fogja jelölni. Ezt a szög melletti befogót felírhatjuk, mint a tárgytávolság mínusz a fókusztávolság, hiszen ez a megmaradt rész itt a szög melletti befogó, ami a tárgytávolság mínusz a fókusztávolság. Viszont tudjuk, hogy ez a fí egyenlő ezzel a másik fível. Felírhatom ennek is a tangensét. A szemközti oldal ez lesz. Mi is ez? Minek felel ez meg? Ez pont egyenlő a kép magasságával. Ugyanakkora, mint a kép mérete, hi. Ezért mondhatom hogy ez az egész itt, tangens théta, egyenlő szemközti per melletti, ezúttal fível szemben a kép magassága van, és osztva ezzel a távolsággal itt, ami pont a fókusztávolság. Tehát a szög melletti befogó ebben a háromszögben egyszerűen a fókusztávolság, tehát csak osztom f-fel. Amit kaptam, az két egyenlet. Ezeket összerakom, és megkapom belőlük a tüköregyenletet. Többféleképpen lehet eljárni. Amit én fogok tenni, hogy kiejtem a hi és ho értékeket. Vagyis kifejezem ebből ho per hi -t, és azt kapom, hogy ho per hi... Tehát mindkét oldalt elosztom hi-vel, és mindkét oldalt beszorzom (do - f) -fel. Azt kapom, hogy ho per hi egyenlő do mínusz f – f a fókusztávolság – osztva a fókusztávolsággal. Ugyanezt meg tudom tenni itt fenn is. Azt kapom, hogy ho per hi egyenlő lesz do per di-vel, csak mindkét oldalt el kell osztani hi-vel, majd mindkettőt meg kell szorozni do-val. Viszont a fenti bal oldala ugyanaz, mint a lentinek a bal oldala. Tehát a lentiből tudjuk, hogy ho per hi egyendő (do - f) per f. A fentiből pedig, hogy ho per hi egyenlő do per di. Ez azt jelenti, hogy (do-f) per f egyenlő kell, hogy legyen do per di -vel, mivel mindkét kifejezés egyenlő ho per hi -vel. Tehát egyenlővé tehetjük a jobb oldalakat, mivel ugyanazzal egyenlők, vagyis ho per hi -vel. És most meg fogjuk oldani ezt. Csak elrendezzük. A bal oldalt írhatom... – nem fogok színeket használni – A bal oldal az lesz, hogy do per f mínusz 1 – mivel f per f egyenlő 1-gyel –, és ez egyenlő lesz do per divel. Most mindkét oldalt eloszthatjuk do-val. Ha minkét oldalt osztom do-val, kapom, hogy 1 per f – mivel a do kiesik – mínusz 1 per do egyenlő – a do kiejti ez a fenti do-t – 1 per di. Már csak át kell vinni ezt az 1 per do-t a túloldalra. Ha hozzáadjuk az 1 per do-t mindkét oldalhoz, eljutunk a végső képlethez, ami 1 per a tárgytávolság plusz 1 per a képtávolság egyenlő 1 per a fókusztávolság. Egy elég egyszerű képlet. Kellett egy kis kitartás, hogy levezessük, ez az, amit tüköregyenletnek (vagy leképezési törvénynek) neveznek. Ez kapcsolja össze a tükör fókusztávolságát a kép- és tárgytávolsággal. Más szóval: ha tudod, hogy milyen távol van a tárgy a tükörtől, és ismered a tükör fókusztávolságát, akkor egészen pontosan ki tudod számítani a kép helyzetét, ahelyett, hogy csak szemre rajzolnád be. Ezt kell megoldanod, ha a képtávolságot akarod kiszámolni. És ha összekapcsolod ezzel a nagyítási képlettel itt fent, akkor pontosan ki tudod számolni a kép magasságát is. Lehet, hogy zavar ez a mínusz jel. Egy kicsit gyorsan vettük ezt. Mi is van ezzel a negatív előjellel? Honnan tudjuk, hogy itt ezek a dolgok negatívak vagy pozitívak? A szabály, amit én és már sok tankönyv is alkalmaz, a következő: a homorú tükrök fókusztávolsága pozitív. Akárcsak ez. Ez is egy homorú tükör. De ha a görbülete másik irányba állna, ha így nézne ki, akkor egy domború tükör lenne, és negatív lenne a fókusztávolsága. És persze ha ilyen lenne a tükör görbülete, akkor a fókuszpontja itt lenne, a háta mögött. Szóval érthető, hogy negatív. A tárgytávolság, ha ugyanazon az oldalon van, mint a szemed ... Ha helyesen akarjuk ezt csinálni, akkor a szemet erre az oldalra rajzoljuk. Kell látnod a tárgyat, de kell, hogy lásd a képet is. És ha a tárgy ugyanazon az oldalon van, mint a szemed – ami itt így is van –, akkor a tárgytávolság pozitív. Lényegében mindig pozitív. Kivéve, ha két tükröd is van, vagy egyéb furcsaság. Ha egyetlen tükröd van, akkor nincs semmi vész a tárgytávolság mindig pozitív lesz, a fent használt szabály szerint. Persze vannak más szabályok is, de ezt használja a legtöbb tankönyv mostanság. A di egy kicsit bonyolultabb. A di mindig pozitív, ha a kép a szemed felőli oldalon keletkezik. Ahogy itt is. Ennél a képnél a képtávolságot pozitívnak vesszük, mivel ugyanazon az oldalon van. Ha a kép a másik oldalon keletkezne, ha itt keletkezne a kép, akkor negatív lenne a képtávolság. Ha ez itt 5 cm-rel a tükör mögött van, akkor képtávolságnak mínusz 5 cm -t veszünk. Ha ezt a szabályt alkalmazod a leképezési törvényre, akkor jól fogod megkapni a tárgytávolság, a képtávolság és a fókuszpont közti összefüggéseket. És ha ugyanezt az előjelszabályt alkalmazod a nagyítási képletre, ugyancsak jó képmagasságot fogsz kapni. Ha negatívnak jön ki a képmagasság, akkor tudni fogod, hogy fordított a kép. Ha pedig pozitívnak jön ki, akkor tudod, hogy egyenes állású képet kapsz. Összefoglalva: hasonló háromszögeket alkalmazva levezettük a leképezési törvényt, ami összeköti a tárgy-, a kép- és a fókusztávolságot. Közben megkaptuk a nagyítási képletet is, ami összeköti a kép és a tárgy magasságát a kép- és tárgytávolsággal. Figyelmesnek kell lenni az előjellel, még akkor is ha a tárgytávolság valójában mindig pozitív. A fókusztávolság lehet pozitív vagy negatív. Homorú tükrök esetén pozitív lesz, domború tükrök esetén viszont negatív. A képtávolság pozitív lesz, ha a kép a tükör ugyanazon oldalán lesz, mint a szemed, vagyis ha a tükör előtt keletkezik, és negatív, ha a tükör mögött keletkezik. Még egyszer, nem ez az egyetlen szabály, amit használhatsz, de legalább olyan jó, mint a többi, és ezt használja a legtöbb tankönyv manapság.