A pillanatnyi sebesség nagysága és a pillanatnyi sebességvektor

Tegyük fel, hogy fizikus hallgató vagy. Éppen most jöttél ki az óráról. Amikor sétáltál hazafelé, eszedbe jutott, hogy aznap este lesz a Galaxy Wars maraton. Azt tetted, amit minden fizika szakos diák tenne: futottál. Nagyon szeretnél hazaérni, ezért mondjuk, elkezdesz futni 6 m/s-mal. Lehet, hogy elég régen volt, amikor utoljára futottál, ezért egy kicsit le kell lassítanod, 2 m/s-ra. Amikor kicsit közelebb érsz az otthonodhoz, azt mondod: – Nem, Antares kapitány nem adná fel, én sem fogom feladni. Elkezdesz futni 8 m/s-os sebességgel, és éppen időben hazaérsz a főcímzenére. Ezek a számok a pillanatnyi sebesség értékei. A pillanatnyi sebesség egy test sebessége egy adott időpontban. És ha hozzáveszed a sebességnek az irányát is, akkor megkapod a pillanatnyi sebességvektort. Más szóval 8 m/s nagyságú és jobbra irányuló volt a pillanatnyi sebessége ennek az embernek ebben az adott időpillanatban. Ez ugye különbözik az átlagsebességtől. Ha az otthonod 1000 m-re lenne az iskolától, és összesen 200 s idő alatt érnél haza, akkor az átlagsebességed 5 m/s lenne, ami nem feltétlenül egyenlő a pillanatnyi sebességgel a mozgás egy adott pontjában. Másképp fogalmazva, tegyük fel, hogy 60 métert kocogtál 15 másodperc alatt, és ez alatt az idő alatt felgyorsultál és lelassultál, minden pillanatban változtattad a sebességedet. Függetlenül a gyorsítástól és lassítástól, ami ezen az úton történt, az átlagsebességed mindenképp 4 m/s lesz jobbra, vagy ha úgy tetszik, +4 m/s. Mondjuk, szeretnéd tudni, hogy mennyi a pillanatnyi sebesség egy adott időpontban a mozgás során. Ebben az esetben kellene keresned egy kisebb elmozdulást, és ezt el kellene osztani egy rövidebb időintervallummal, aminek a középpontjában az a pont van, ahol a pillanatnyi sebességet próbálod megkeresni. Így jobb értéket kapnál a pillanatnyi sebességre, de még ez sem lenne pontos. Ahhoz, hogy jobban megközelítsük a pillanatnyi sebességet, választhatunk még kisebb elmozdulást, amit még rövidebb idővel osztunk el. De ekkor problémába ütközünk, mert ha meg akarod határozni a pillanatnyi sebesség pontos értékét, akkor egy végtelenül kicsi elmozdulást kellene elosztani egy végtelenül rövid idővel. De ez gyakorlatilag nulla osztva nullával. Hosszú ideig senki sem tudta ezt értelmezni. Sőt, mivel a mozgás leírása egy meghatározott időpontban lehetetlennek tűnt, néhány ókori görög tudós megkérdőjelezte, hogy egyáltalán van-e értelme mozgásról beszélni. Azon tűnődtek, hogy vajon a mozgás csak illúzió-e. Végül Sir Isaac Newton kidolgozott egy teljesen új matematikai módszert, amivel válaszolni tudunk az ilyen típusú kérdésekre. A Newton által kifejlesztett módszert manapság analízisnek hívjuk. Szóval ha megkérdeznél egy fizikust, hogy mi a képlete a pillanatnyi sebességnek, valószínűleg olyan képletet mondana, amiben van analízis. De ha még nem tanultál analízist, fogok mutatni néhány olyan módszert a pillanatnyi sebesség meghatározására, amihez nem kell analízist használni. Az első módszer olyan egyszerű, hogy szinte nyilvánvaló. Ha elég szerencsés vagy, és egy olyan esetet vizsgálsz, amikor a test sebessége nem változik, akkor az átlagsebesség képletéből ugyanazt a számot kapod meg, amennyi a pillanatnyi sebesség bármely időpontban. Ha a sebesség változik, akkor az egyik módszer, amivel meghatározhatod a pillanatnyi sebességet, az, hogy megkeresed a mozgás x-t grafikonján. A meredekség a hely-idő grafikon minden egyes pontjában egyenlő lesz a pillanatnyi sebességgel ebben az időpontban, mert a meredekség megadja az x pillanatnyi változását az idő függvényében. A harmadik módszer a pillanatnyi sebesség meghatározására abban a speciális esetben használható, amikor a gyorsulás állandó. Ha a gyorsulás állandó, akkor használhatod az egyenes vonalú egyenletes mozgás képleteit a pillanatnyi sebesség (v) meghatározására bármely időpontban (t).