Többlencsés rendszerek

Ha nekem ezt a feladatot adták volna valamelyik fizika dolgozatban, valószínűleg kiakadtam volna. Ez nagyon félelmetesnek tűnik, pedig nem is annyira vészes. Klasszikus példája egy két lencséből álló rendszernek. És még mielőtt belemennénk a részletekbe, a fő gondolatmenet, ami alapján megközelítjük a problémát, a következő: Adott két lencse. Ez az első lencse egy képet fog alkotni erről a tárgyról, valahol itt. Leképezi ezt a tárgyat. Majd a második lencse arról a képről fog alkotni egy másik képet. Lényegében az lesz a dolgunk, hogy alkalmazzuk a leképezési törvényt. Először úgy teszünk, mintha ez a második lencse nem létezne. Meg fogjuk határozni, hogy hol alkot képet ez az első lencse. Majd úgy teszünk, mintha ez az első lencse nem létezne, és az első lencse által létrehozott képet úgy tekintjük, mintha a második lencse tárgya lenne. Majd ismét számolunk, és meghatározzuk, hogy a második lencse hol alkot képet arról, amiről azt hiszi, hogy a tárgy, közben pedig az első lencse képe. Ezt fogjuk kiszámolni. Először a tárgyat az első lencse leképezi, majd a második lencse a képről alkot egy másik képet, és ezt fogjuk majd látni a szemünkkel. Szóval arra a kérdésre keressük a választ, hogy milyen képet fog látni a szemünk abban az esetben, ha innen nézünk keresztül ezen a két lencsén. Csináljuk! Az első lépés, hogy úgy teszünk, mintha ez a második lencse nem létezne, ezért nem is zavarhat össze. A leképezési törvényt használjuk. Rendben, kezdjük! 1 per f, vagyis 1 per 12 centiméter, pozitívnak vagy negatívnak vegyem? A bal oldalon van. Talán negatívnak kéne venni? Nem. Egyetlen dolgot kell nézni, hogy milyen típusú a lencse. Ez egy gyűjtőlencse. Abból látom, ahogy oda van rajzolva. Mivel ez gyűjtőlencse, a fókusztávolságom plusz 12 centiméter lesz. Vagyis ezt helyettesítem be. Plusz 12 centiméter, egyenlő, ugye a tárgytávolság, vagyis egy per tárgytávolság, ami 24, nemde? Nem, minden távolságot a lencse középpontjától mérünk addig az objektumig ami éppen érdekel. Vagyis a tárgytávolságot innen a lencse közepétől egészen a tárgyig mérem. Ne helyettesíts be akármilyen számot, amit megadnak. Ezt a távolságot kell beírnod, ami 24 plusz 12 lesz, vagyis 36. Szóval van itt nekem 1 per és ez itt 36 centiméter lesz. Pozitív vagy negatív? Nos, ez pozitív lesz. Két lencsénk van, de itt az első esetben a bal oldalon van. Minden remek, mert a szememmel ellentétes oldalon van, tehát plusz 36 lesz. Mindjárt megmutatom, hogy lehet ez negatív. Plusz 1 per a képtávolság. Azt csak dᵢ -vel fogom jelölni. Rendben, most már csak meg kell oldanunk. Ha meg akarjuk oldani, azt kapjuk, hogy 1 per 12 centiméter mínusz 1 per 36 centiméter egyenlő 1 per dᵢ, végül a bal oldalon 1 per 18 centimétert kapunk, ami egyenlő 1 per dᵢ. Ez egy per dᵢ, ha ezt megoldjuk dᵢ-re, dᵢ -re 18 centimétert kapunk. Plusz 18 centimétert. Mi is jelent ez? Hol van ez? Nos, a dᵢ képtávolság pozitív. Ne feledd, a pozitív azt jelenti, hogy a lencse ugyanazon oldalán van, mint a szemünk. Szóval keletkezett egy kép a lencsének ezen az oldalán, és a 18 honnan mérve 18 centiméter? A lencse középpontjától. Szóval ha lerajzolom. 18-at veszek innen. Az a fókuszponton túl fog lesz, mivel tudom, hogy a fókuszpont csak 12-re van, tehát valahol itt lesz. Meg is jelölöm, ez 18 centiméter lesz, itt lesz az első kép. Tehát itt lesz az a kép, amit az első lencse képezett a tárgyról. Pontosan itt keletkezik. Rendben, most mit teszünk? Említettem már, az lesz, hogy úgy teszünk, mintha visszahoznánk a második lencsét. Tudjuk, hogy a kép, amit az első lencse alkotott az pontosan itt van. Ez a második lencse azt fogja gondolni, hogy az a tárgy. Alkotni fog a képről egy képet, mintha az lett volna a tárgy. Tehát ismét elővesszük a leképezési törvényt, de most ezt a plusz 18 centimétert nem képként kezeljük, hanem úgy, mintha a tárgy lenne. Ez tehát egyenlő lesz, nos nem lesz épp egyenlő dₒ-val, mivel ne feledd, honnan is kell mérni mindent? A lencse közepétől. Vagyis ennél a második számolásnál a tárgytávolságom a lencse közepétől egészen a ... – Inkább nem ugyanazt a színt használom. Nézzük csak, legyen ez itt! – A lencse közepétől egészen a tárgyig, a tárgy pedig itt van, ami nem 18 lesz. Ezért is van megadva a távolság a két lencse között. A lencsék közti táv 33 centiméter. Tehát ha az első lencsétől 18-ra van, akkor a különbség egyenlő kell hogy legyen ezzel a távolsággal. Vagyis 33 mínusz 18 az 15 lesz – hoppá – 15 centiméterre lesz ennek a második lencsének a „tárgya”. Így alakítjuk át ezt a plusz 18-at plusz 15 centiméteres tárgytávolsággá. Miért pozitív? Nos, mivel most is a bal oldalon található, a szemünkkel ellentétes oldalon. Itt van az állítólagos tárgyunk. Na most, itt van az, amit már említettem, van egy eset, amikor negatív tárgytávolságot kaphatsz, hogyha az első lencse a tárgyat úgy képezné le, hogy a kép itt, jóval messzebb, a lencse rossz oldalán keletkezne. Más szóval, ha ez az első lencse olyan képet alkotna, ami közelebb van a szemedhez, mint a második lencse, akkor az bekavarna. Akkor már negatív tárgytávolságod lenne. Nem kéne tárgyat tartanod a lencse és a szemed közé. Szóval úgy számolnánk ... , a számításokat ugyanúgy végeznéd el. Mármint minden remekül kijönne, nem fog az egész összeomlani, kapnál képet. Csak amikor a második lencse számításait végeznéd, és az első lencse képe a második lencséd rossz oldalán keletkezne, úgy kellene kezelned, mint negatív tárgytávolságot. Most nem ez az eset áll fent. A képünk a jó oldalon keletkezik. Úgy teszünk, mintha ez az első lencse nem lenne itt. Lett itt egy tárgyunk, mármint úgy kezeljük, mintha a tárgyunk lenne. Minden passzol. A szemünkkel a lencsén keresztül figyeljük a tárgyat. Tehát ezt plusz 15-nek vesszük. Számoljuk ki! Erre a lencsére az lesz, hogy 1 per ... Nos, a fókusztávolság. Mit is nézünk a fókusztávolság esetén? Azt nézzük, hogy milyen típusú a lencse. Ez egy szórólencse. A szórólencséknek mindig, mindig negatív a fókusztávolságuk, ezt írjuk be az egyenletbe. Vagyis mínusz 10 centiméter. Ez a fókusztávolsága a második lencsének, egyenlő 1 per a tárgytávolságunk, amit már megfejtettünk. Nem egészen tárgy, de ez így rendben van. Ez kép, viszont ez a lencse nem tud róla. Azt hiszi, hogy tárgy, tehát 1 per plusz 15, mivel még ezen az oldalon van, amelyiken a tárgynak kell lennie, plusz 1 per a kép. Ez egy második kép lesz. Ez a második kép, amit ez a lencserendszer létrehoz, ezért csak dᵢ-t írok ide. Rendben, most jön a matek, 1 per mínusz 10 centiméter mínusz 1 per 15 centiméter egyenlő 1 per dᵢ. Kiszámolod a bal oldalt. Veszed a reciprokokat, és azt fogod kapni, hogy dᵢ, miután vetted a reciprokokat, mínusz 6 centiméter lesz. Ez az, ahol a második képünk lesz. Nos, mit is jelent ez? Mínusz 6 centiméter. Ez is mindig a lencsétől számítva, és negatív. Ne feledd, negatív távolság azt jelenti, hogy a bal felén, vagy a szemeddel ellentétes oldalon. Szóval idejövök, és rajzolok egy vonalat, ami a lencsém közepétől indulva, 6 centiméterre balra, valahol itt van. Ez itt tehát 6 centiméter lesz. Hoppá, megjelölöm, ez itt 6 centiméter, mivel ez a képtávolságunk, ami azt jelenti, hogy a végső kép itt keletkezik. A szemünk egy képet fog látni erről a valamilyen nyílról pont itt. Pontosan itt fog keletkezni a képünk. És csak ismétlésképpen: Tehát ez az első lencse létrehozott egy képet a tárgyról itt ebben a pontban. Ebben a 15 centméterre levő pontban. Majd a második lencse létrehozott egy képet erről a képről. Úgy kezelte, mintha tárgy lenne és ebbe a fehér pontba képezte le. Ez az a pont, ahol a képet fogjuk látni, de még nem tudjuk, hogyan fog kinézni. Ezek a számítások, a leképezési törvénnyel csak annyit mondanak meg, hogy hol keletkezik a kép. Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy milyen magas, a nagyítási képletet kell használnunk. Csináljuk csak! Itt van, a nagyítás egyenlő mínusz dᵢ ... Ne feledd, mínusz dᵢ per dₒ. Rendben, nos mi volt a dᵢ ebben az első esetben? Lépésenként fogjuk csinálni. Az első esetben a dᵢ plusz 18 volt. Szóval plusz 18-at rakok ide. A mértékegységeket elhagyom, mert amúgy is kiesnének. dₒ nem 24 volt, hanem 36. Szóval mit is kapok? Azt kapom, hogy mínusz 18 per 36, ami 1/2, mínusz 1/2. Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy ez az első lencse olyan képet alkotott, aminek a nagysága feleakkora lesz, mint a tárgy, és negatív lesz a nagyítás. Ami fordított állásút jelent. Ide fogom rajzolni ezt az első képet. Narancssárgával rajzolom, mert így jelöltem a képtávolságot is. Fordított állású lesz, és feleakkora, mint a tárgy. Vagyis ha a tárgy ekkora volt, a mi képünk fordított lesz, és feleakkora. Ez volt tehát az első kép. Egyes képnek fogom elnevezni. Ezt fogom úgy kezelni, mint második tárgyat. Vagyis ez az egyes kép lényegében a kettes tárgy, mivel ezt fogja tárgynak gondolni ez a második lencse. Milyen nagyítást ad ez? Nos, nézzük! A nagyítás egyenlő mínusz dᵢ per dₒ, vagyis mínusz ..., a képtávolsága ennek a második lencsének, ami mínusz 6 volt. Emlékszel erre? Ezt kaptuk megoldásnak. A második lencsére mínusz 6 centiméter képtávolság jött ki. Elhagyom a mértékegységeket, mert kiesnek. A tárgytávolságom pedig erre a második lencsére 15 centiméter volt. Ezt kaptuk itt az előbb. A távolság a lencsétől a lencse idézőjeles tárgyáig, ez pedig plusz 15 centiméter volt. És mit kapok? Ha veszed a mínusz 6 ellentettjét per 15, plusz 2/5 -öt kapsz. Ez tehát a második nagyítás. Az első lencse nagyítása mínusz 1/2 volt. Míg a második lencse nagyítása plusz 2/5 lett. Ez azt jelenti, hogy ebben a pontban itt ... – fehérrel fogom írni, mivel azzal jelöltem ezt a képtávolságot – egy olyan képet fogok kapni, ami 2/5-akkora, mint a micsoda? Mint az első kép. Ez most az első kép nagyítása, ezt csinálja a második lencse. Szóval nem törődőm ezzel a tárggyal itt visszább. Azzal végeztem egyelőre. Most csak azt nézem, hogy mit gondol tárgynak ez a második lencse. Vagyis 2/5 -ször akkora, mint a tárgy és pozitív, ami egyenes állásút jelent, de ebben az esetben annyit jelent, hogy nem fordított. Ez már úgy indult, a második lencsének a tárgya már alapból fordított állású volt. Ez a pozitív azt jelenti, hogy megtartod az irányt, nem fordítod meg. Szóval ezt így hagyom, fordított állásúnak. Ezt jelenti, fordítottnak hagyom. Ha egyenes állásúból indult volna, akkor úgy hagytam volna, egyenes állásúnak, de ebben az esetben, fordítottnak hagyom, és 2/5 -ször akkorának rajzolom. 2/5 kicsivel kisebb, mint 1/2, szóval valahogy így fogom rajzolni. Itt fog keletkezni a képem. Ezt fogom látni. Egy nagyon kicsi képet fogok látni, ami fordított, és valahol itt van. Tehát ez egy példa arra, hogyan lehet megoldani egy kétlencsés rendszert. Mindegyik lencsét egyenként kezeled, és annak megfelelően használod a képleteket. Befejezésül még megemlíteném, hogy ha kíváncsi vagy, hogy miért van két nagyításunk itt, van-e valami mód arra, hogy kiszámoljuk a teljes nagyítást? Valami sima módszer rá? Van ám, és mint látni fogod, elég könnyű. Ki tudod számolni a teljes nagyítást. Ha csak azt szeretnéd tudni, hogy az adott tárgynak mekkora nagyítása lesz. Más szóval, mivel kéne megszorozzam ennek a tárgynak a magasságát, mi az a tényező, amivel megszorozva megkapom a végső kép irányát és a nagyságát is? Nos, csak veszed az első lencse nagyítását, és megszorzod a második lencse nagyításával. Ha több lencsém lenne, mindegyikét összeszoroznám. Ez adna egy tényezőt. Ez a teljes nagyítás, amivel megszorozva a tárgy magasságát, megkapom a végső kép magasságát és az irányát is. Nem adja meg a kép helyét. Csupán a rendszer teljes nagyítását. Ez hasznos lehet, ha épp egy mikroszkópot vagy effélét készítesz, viszont a kép helyzetét nem adja meg. A kép helyzetét a leképezési törvény segítségével tudod megkapni. Szóval így kell dolgozni egy többlencsés rendszerrel.