A tárgy-, kép- és fókusztávolság kapcsolata (bizonyítás)

Jó néhány videót készítettünk már ilyen gyűjtőlencsékről, ahol párhuzamos sugarakat rajzoltunk, amelyek aztán a fókuszponton haladnak keresztül, azért, hogy kiderítsük, hol keletkezik a tárgyról alkotott kép. Ebben a videóban viszont szeretnék bemutatni egy algebrai összefüggést, a tárgynak a gyűjtőlencsétől való távolsága, a képnek a gyűjtőlencsétől való távolsága – általában a túloldalon – és a fókusztávolság között. Nézzük, sikerül-e! És csak hogy megkíméljelek attól, hogy végignézd, ahogy egyenes vonalakat rajzolgatok, megrajzoltam előre. Képzeljük el, hogy ez a zöld dolog itt a tárgy! Ez itt a tárgy, és ez a két kis rózsaszín pont, ezek a fókuszpontok. Ezek egy fókusztávolságra vannak a tárgytól. Azt csináltam, amit mindig is szoktunk. Rajzoltam egy párhuzamos sugarat a nyíl csúcsából a lencse irányába, ami megtörik, keresztülmegy a jobb oldali fókuszponton, majd továbbhalad egészen idáig. És rajzoltam még egy sugarat, ami áthalad a bal oldali fókuszponton, majd amikor megtörik, párhuzamos lesz. És végül találkozik az előző sugárral pontosan itt. Ez azt szemlélteti nekünk, hogy hogyan is fog kinézni a kép. Fordított lesz, és valódi, esetünkben pedig nagyobb, mint az eredeti tárgy. Egy összefüggést szeretnék találni ezek között az értékek között. Nézzük csak, hogyan tudnánk jelölni őket! Majd használunk egy kis geometriát és egy kis algebrát, hogy kiderítsük, van-e közöttük algebrai összefüggés. Az első szám tehát a tárgytávolság, ami ettől eddig tart, vagy akár meg is jelölhetjük. Mivel ez már be is van rajzolva, ez lesz itt a tárgytávolság. Így szoktuk jelölni. Ez itt a párhuzamos sugár, mielőtt megtört volna, ezt a távot tette meg, a tárgytól a lencséig. Na most, a távolság lencsétől a képig pont ez lesz. Ekkora utat kell megtegyen párhuzamosan a fény, ez tehát a kép és a lencse közötti távolság. És van még a fókusztávolság, ami ez a szakasz lesz itt, ez itt a fókusztávolságunk. Vagy nézhetnénk akár ezen az oldalon is, ez itt szintén a fókusztávolság. Szóval szeretnék valami összefüggést, ezért berajzolok néhány háromszöget. Amit tenni tudunk – ez lesz valójában a stratégiánk –, hogy hasonló háromszögeket keresünk, majd megnézzük, hogy találunk-e összefüggéseket, vagy arányokat, amelyek összekapcsolnák ezt a három dolgot. Hadd keressek néhány hasonló háromszöget! A legjobb, amit tehetek, hogy újrarajzolom ezt a háromszöget itt. Hadd fordítsam meg! Ugyanezt a háromszöget fogom megrajzolni, csak az ábra jobb oldalára. Szóval, ha ugyanazt a háromszöget kellene megrajzolnom, az valahogy így nézne ki. Csak hogy tisztázzam, ez ugyanaz a háromszög, mint ez itt. Csak megfordítottam. És ha biztosak akarunk lenni benne, hogy nyomon tudjuk követni az egyenlő oldalakat, ha ez a távolság d zéró, vagy hívhatjuk d nullának, vagy d0, akárhogy is nevezed, ez a másik távolság itt szintén, ez itt szintén d0 lesz. Azért szerettem volna, hogy így legyen, mert itt most csinálhatunk valami érdekeset. Összehasonlíthatjuk ezt a felső háromszöget ezzel az alsóval. És látni fogjuk, hogy ezek hasonló háromszögek. És így kapunk néhány arányt az egyes oldalakra. Majd ki fogjuk mutatni, hogy ez a háromszög itt hasonló ehhez a háromszöghöz itt, és további arányokat kapunk. Így talán össze tudjuk kapcsolni ezt az összes dolgot. Az első dolog, amit bizonyítanunk kell, hogy ezek a háromszögek valóban hasonlók. Az első dolog, amit észrevehetünk, hogy ez a szög itt valójában ugyanakkora, mint ez a másik itt. Sokszor fordított állású szögeknek, vagy csúcsszögeknek is hívjuk őket. Két egymást metsző egyenes ellentétes oldalán találhatók. Ezek tehát egyenlők lesznek. A másik dolog, hogy – és ez abból a tényből ered, hogy ez a két egyenes párhuzamos, ez a sugár párhuzamos ezzel a másikkal itt. Váltószögeknek is hívhatod ezeket, akár megnézed a „Szögek játéka” , a „Párhuzamos egyenesek”, vagy a „Párhuzamos egyenesek transzverzálisa” videókat a geometriában. Tudjuk, hogy ez a szög, mivel ezek váltószögek, ugyanakkora, mint ez a másik itt. Nézheted ezt az egyenest úgy, mint a két egyenes transzverzálisa. Ezek váltószögek, ezért ugyanakkorák lesznek. Most ugyanezt az érvelést alkalmazhatjuk erre a két másik szögre. És azt találjuk, hogy ennek a felső háromszögnek ugyanakkorák a szögei, mint ennek az alsónak itt. Szóval ez a két háromszög hasonló. Mindkettő... – ez valójában inkább egy mértani összefoglaló, mint optika –, ezek hasonló háromszögek. Hasonlók – nem kell odaírnom, hogy háromszögek –, ezek hasonlók. És mivel hasonlók, a megfelelő oldalak aránya egyenlő lesz. Vagyis a d0 ennek fog megfelelni, mindkettő a rózsaszín szögekkel szemben van. Tehát a d0 és d1 aránya – hadd írjam ezt ide – Vagyis a d0 – hadd írjam egy kicsit szebben –, a d0 és d1 aránya – ez tehát a megfelelő oldalak aránya – ugyanakkora lesz, – hadd jelöljek be még néhány dolgot – ugyanakkora lesz, mint az aránya ennek az oldalnak itt ezt az oldalt A-val fogom jelölni. Ezzel a mályvaszínű szöggel van szemben, ez tehát egyenlő lesz ennek az A oldalnak és ennek a B-vel jelölt oldalnak az arányával. Ismétlem, úgy tudjuk nyomon követni, hogy ez a B oldal a mályvaszínű szöggel van szemben itt az alsó háromszögnél. Innen tudjuk, hogy ennek az oldalnak a másik háromszögben vett megfelelője ez lesz, mindkettő a mályvaszín szöggel van szemben. Szóval tudjuk, hogy d0 és d1 aránya egyenlő az A és B arányával. A-nak és B-nek az arányával. Ez érdekes. Sikerült ezt a két távolságot ezzel a két másik önkényesen választott szakasszal összefüggésbe hozni. Viszont össze kell kapcsolnunk őket valahogyan a fókusztávolsággal. És ahhoz, hogy összekapcsoljuk őket a fókusztávolsággal, talán legjobb lenne az A-val és a B-vel összefüggésbe hozni. Az A ugyanabban a háromszögben van, mint a fókusztávolság, ebben itt. Nézzük ezt a háromszöget itt! Hadd adjak neki valami jobb színt! Szóval vegyük ezt a háromszöget, amit kiemelek zölddel. Ezt a zöld háromszöget hasonlítsuk össze ezzel a másikkal, amit szintén kiemelek. Ezzel, amit szintén kiemelek zölddel. Először is meg szeretném mutatni neked, hogy ezek szintén hasonló háromszögek. Ez a szög itt és ez a másik ugyanakkorák leszek. Ezek két egymást metsző egyenes szemközti szögei. És így hasonlóan érvelhetünk, ezek váltószögek, – vagyis sok érvet felhozhatunk. Az első, hogy ez itt egy derékszög, ez is itt derékszög. Ha két háromszögnek két pár szöge megegyezik egymással, akkor a harmadik szögpár is megegyező kell legyen. Szóval mondhatjuk, hogy ez itt – hadd rajzoljam ezt más színnel mert nem akarom sokszor használni ugyanazt a színt –, mondhatjuk, hogy ez a szög itt ugyanakkora lesz, mint ez a másik itt. Vagy másképp fogalmazva, mondhatnád, hogy ez az egyenes itt, amit a lencse meghatároz, vagy a vonal, ami párhuzamos a lencsével, vagy a lencse mentén halad, párhuzamos a tárgy képével. És akkor itt is tudnád alkalmazni a váltószögekre érvényes érvelést. A másik dolog viszont, nézd csak! Van két háromszögem. Két pár szög ezekben a háromszögekben megegyezik, szóval a harmadik pár szögnek is meg kell egyeznie. Mivel mindhárom szög egyenlő, ez a kettő szintén hasonló háromszög. Szóval hasonlóan járhatunk el. Mondhatjuk, hogy A a B-hez – ne feledd, az A és a B is a 90 fokos szöggel van szemben, mindkettő átfogó a hasonló háromszögekben – , tehát A és B aránya ugyanaz, ... erre a befogóra pedig mondhatjuk – egy kicsit össze lett írva, de mondhatjuk rá –, hogy ez f, ami a fókusztávolságunk, ugyanaz, mint ebben a háromszögben az f ehhez a távolsághoz viszonyítva, itt a másik háromszögben. Mindkettő ezzel a fehér szöggel van szemben. Vagyis ahogy ez az f aránylik ehhez a távolsághoz itt. Na most, mi is ez a távolság? Ez a szakasz itt di, egészen idáig. Viszont ez a rész itt, a teljes szakasz mínusz a fókusztávolság, tehát ez di mínusz a fókusztávolság. Vagyis A és B aránya egyenlő az f és a (di mínusz a fókusztávolság) arányával. És meg is van, van egy összefüggésünk, a tárgytávolság, a képtávolság és a fókusztávolság között. Most pedig már csak egy kis algebrára van szükség. Ha ez egyenlő ezzel, ez pedig egyenlő ezzel, akkor ez a kék rész egyenlő kell, hogy legyen ezzel a mályvaszínűvel. És most már csak egy kis algebra kell. Csináljuk! Tehát a d nulla, vagy hívjuk d0-nak, és di aránya egyenlő a fókusztávolságnak a képtávolság és a fókusztávolság különbségének az arányával. A fókusztávolság per a képtávolság mínusz a fókusztávolság. Itt ismét egy kis algebra kell. Csak, hogy egyszerűbb legyen, szorozzunk keresztbe. Szóval, ha d0-t megszorozzuk ezzel a résszel itt, azt kapjuk, hogy d0-szor di – csak épp szétbontom – mínusz d0-szor f, csak elvégzem ezt a szorzást d0-val, keresztbe szorzok. Ami ugyanaz, mintha beszoroznám mindkét oldalt mindkét nevezővel, vagy kétszer szoroznék a nevezőkkel. Mindkét eset keresztbe szorzást jelent. Ez egyenlő lesz di-szer f-fel. És most hozzáadhatjuk ezt a tagot az egyenlet mindkét oldalához. Átváltok valami semleges színre. Szóval azt kaptuk, hogy d0・di egyenlő... – csak hozzáadom ezt mindkét oldalhoz, amikor hozzáadod a bal oldalhoz, nyilván kiejtik egymást – ...egyenlő di・ f – ez a rész itt – plusz d0・f. Nézzük csak! Ki tudjuk emelni az f-et, a fókusztávolságot. Így azt kapjuk, hogy d0・di egyenlő f・(di + d0). És most mit tehetünk? Eloszthatjuk mindkét oldalt f-fel. Ezt tehát elosztjuk f-fel, ezt is elosztjuk f-fel. Valójában kiejtik egymást. Nem szeretnék túl sok lépést kihagyni, úgyhogy hadd írjam át, amink maradt. Ezek tehát kiesnek. Maradt tehát (d0・di) per f egyenlő di + d0. Most osszuk el mindkét oldalt d0・di -vel! Tehát 1 per d0・di. Osztva ezt az oldalt d0・di-vel. Ezen az oldalon ki fog esni. A bal oldalon tehát marad 1 per a fókusztávolság, ami egyenlő ezzel, ezt pedig fel tudjuk bontani. Ez itt az lesz – csak szétválasztjuk a számlálót – nem más, mint di per d0・di plusz d0 per d0・di. De a di per do・di-nél a di kiesik, és marad 1, itt a d0 esik ki, és marad 1. Vagyis ez egyenlő lesz 1 per a tárgytávolság, ez pedig plusz 1 per a képtávolság. Ez tehát taz elejétől fogva érvényes képlet volt, valóban elértük, amit akartunk. Ez viszont már egy elegánsabb képlet, nincs ismétlődő di és f. Van egy algebrai összefüggésünk a gyűjtő (vagy konvex) lencsékre, ami összekapcsolja a fókusztávolságot a tárgytávolsággal és a képtávolsággal. Akárhogy is, úgy gondolom elég elegánsan kijött, végül egy szép világos képlet lett belőle.