Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: A számítógép és az Internet > 1. témakör

2. lecke: Bináris számok

Bináris számok

📺 Inkább videókból tanulnál a bináris számokról? Csak ugord át ezt a tananyagot, és folytasd a videókkal!

Az emberek általában decimális (tízes) számrendszerben ábrázolják a számokat. Ilyen egyszerűen számolunk el tízig:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ahogy tanultuk, a számítógépek az információt bitekben ábrázolják. Ahhoz, hogy a számítógépek pusztán

0

-kkal és

1

-esekkel ábrázoljanak, a bináris számrendszert használják. Így néz ki, amikor egy számítógép elszámol tízig:

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

Ismétlés: a decimális számok

Mielőtt felfedezzük, hogyan működik a bináris rendszer, látogassuk meg a jó öreg barátunkat, a decimális számrendszert. Amikor megtanultál számolni, megtanultad, hogy a legjobboldalibb jegy az „egyesek helye”, a következő a „tízesek helye”, majd a „százasok helye”, stb.

Más szóval a legjobboldalibb jegyet

1

-gyel kell szorozni, az ettől balra lévőt

10

-zel kell szorozni, a kettővel balra lévőt

100

-zal kell szorozni.

Szemléltessük a

234

-et:

$2$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
százasok helye	tízesek helye	egyesek helye
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍

Ha minden egyes jegyet megszorzunk a helyével, láthatjuk, hogy

234

egyenlő

(2 \cdot 100) + (3 \cdot 10) + (4 \cdot 1)

Gondolhatunk ezekre a helyekre a tíz hatványaiként. Az egyes helyi érték fejezi ki a

10^{0}

-t, a tízes helyi értéken lévőket

10^{1}

-nel kell szorozni, a százas helyi értéket pedig

10^{2}

-nal szorozzuk. Minden egyes helyi értéknél, amellyel bővítjük, szorozni fogjuk számjegyet a

10

következő hatványával.

2	3	4
százasok helye	tízesek helye	egyesek helye
$100$ ‍	$10$ ‍	$1$ ‍
$10^{2}$ ‍	$10^{1}$ ‍	$10^{0}$ ‍

A bináris számok

A bináris számok rendszere ugyanúgy működik, mint a decimálisoké. Az egyetlen különbség az, hogy a számjegyet nem

10

hatványával, hanem $2$ ‍ hatványával szorozzuk.

Nézzük az

1

decimális számot, ami binárisan kifejezve

0001

$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Ez ugyanaz, mint

(0 \cdot 8) + (0 \cdot 4) + (0 \cdot 2) + (1 \cdot 1)

, vagyis

0 + 0 + 0 + 1

Erre valószínűleg magadtól is rájöttél volna – vegyünk most egy nagyobb számot!

10

decimális szám binárisan kifejezve

1010

$1$ ‍	$0$ ‍	$1$ ‍	$0$ ‍
$8$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍
$2^{3}$ ‍	$2^{2}$ ‍	$2^{1}$ ‍	$2^{0}$ ‍

Ez ugyanaz, mint

(1 \times 8) + (0 \times 4) + (1 \times 2) + (0 \times 1)

, vagy

8 + 0 + 2 + 0

. Valóban, a bináris

1010

egyenlő a decimális

10

-zel.

Most próbáld ki: Hogy írnád le a

6

decimális számot binárisban?

Ha sikerült, gratulálunk! Ha nem, az is teljesen elfogadható: vannak technikák, melyek segítségével át lehet váltani a számrendszerek közt, és sokkal egyszerűbb lesz, ha ezeket a technikákat megtanulod.

Átváltás decimális számrendszerből binárisba

A kedvenc módszerem arra, hogy decimálisból binárisba váltsak át:

Fogj egy papírt vagy táblát.
Rajzolj alulvonásokat minden egyes bithez. Ha a szám kisebb, mint $16$ ‍, rajzolj $4$ ‍ alulvonást. Ha nagyobb 16-nál és kisebb $255$ ‍-nél, akkor rajzolj $8$ ‍ alulvonást. Ennél nagyobb számokat kézzel sok időbe telne átváltani, úgyhogy egyelőre fókuszáljunk a kisebb számokra.
Írd le a $2$ ‍ hatványait minden alulvonás alá. Kezdd a jobb szélsővel, ide $1$ ‍ kerül, majd szorozgass $2$ ‍-vel.
Kezdd a legbaloldalibb alulvonással, és kérdezd meg: – A szám nagyobb vagy egyenlő, mint ez a helyi érték? Ha igen, akkor írj $1$ ‍-et a vonalra, és vond le az értéket a számból. Ha a válasz nem, írj 0-t, és menj tovább a következő alulvonásra.
Haladj tovább balról jobbra, tartsd számon, mennyi a maradék, amit még ábrázolnod kell. Amint végére értél, átváltottad a számot binárisba.

Így néz ki ez a

6

-os decimális számra:

„Hmm, 6 kisebb, mint 16, szóval a 4 bit bőven elég lesz...”

\frac{}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

„6 kisebb, mint 8, ezért 0-t írok először...”

\frac{0}{8}

\frac{}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

„6 nagyobb, mint 4, ezért 1 kerül a következő helyre...”

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

„Oké, 6 - 4 = 2, vagyis még mindig ábrázolnom kell a 2-t. Jegyezzük fel...”

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{}{2}

\frac{}{1}

(Maradék: 2)

„2 egyenlő 2, vagyis 1 kerül a következő helyre...”

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

„2 - 2 = 0, vagyis már nincs több, amit ábrázolni kellene!”

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{}{1}

(Maradék: 0)

„Az utolsó bitet kitöltöm 0-val, mivel végeztem...”

\frac{0}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{0}{1}

Ha kíváncsi lennél: bármely számot csak egyféleképpen lehet binárisan ábrázolni, ahogyan bármely számot csak egyféleképpen lehet decimálisan ábrázolni. Bármilyen technikát is használsz a decimális szám binárisra való átalakítására, ugyanazt a számot kell kapnod.

Próbálj meg egy másik átalakítást, ezzel a módszerrel vagy a saját módszereddel!

Hogy írnád le a

11

decimális számot binárisban?

Lépjünk magasabbra! Hogy írnád le a

25

decimális számot binárisban?

Mintázatok a bináris számokban

Az utolsó két kérdésnél páratlan számokat alakítottál át. Van valami érdekes a páratlan számokban kettes számrendszerben. Íme néhány páratlan szám, hátha rájössz mire gondolok:

Decimális	Bináris
$3$ ‍	$0011$ ‍
$5$ ‍	$0101$ ‍
$7$ ‍	$0111$ ‍
$9$ ‍	$1001$ ‍

Látod a szabályt?

Mérd fel tudásodat!

Ha úgy gondolod, rájöttél, íme a kérdés: a következők közül melyik nagy bináris szám páratlan?

Ahhoz, hogy válaszolj a kérdésre, valójában nem kell ezeket a nagy számokat decimális számjegyekké alakítanod, csak egyetlen bitet kell megvizsgálnod: az utolsó bitet. Az utolsó bit mindig az egyesek helye, és ha egy szám páratlan, akkor az egyesek helyén

1

-nek kell lennie. A bináris rendszerben nem lehet páratlan számot létrehozni az egyes helyi érték nélkül, mivel minden más helyi érték

2

hatványa. Ennek tudatában jobban felismerheted ránézésre a bináris számokat.

Van egy másik érdekes mintázat a bináris számoknál. Nézd meg ezeket a számokat:

Decimális	Bináris
$3$ ‍	$11$ ‍
$7$ ‍	$111$ ‍
$15$ ‍	$1111$ ‍

Mindegyik decimális szám

2

hatványa mínusz

1

4 - 1 = 3

8 - 1 = 7

16 - 1 = 15

. Ha egy bináris szám minden számjegye

1

, akkor az a legnagyobb szám, amelyik annyi biten ábrázolható. Ha

1

-et szeretnél hozzáadni a számhoz, akkor szükség lesz még egy bitre. Ez olyan, mint a

9

99

, és

999

a decimális számrendszerben.

Mint kiderült, a legnagyobb szám, amely

n

bitekkel ábrázolható, megegyezik

2^{n} - 1

-gyel:

Bitek ( $n$ ‍)	Legnagyobb szám	( $2^{n} - 1$ ‍)
1	$1$ ‍	$(2^{1} - 1)$ ‍
2	$3$ ‍	$(2^{2} - 1)$ ‍
3	$7$ ‍	$(2^{3} - 1)$ ‍
4	$15$ ‍	$(2^{4} - 1)$ ‍

Mit gondolsz: minek felel meg a

11111

decimálisban?

Ezt a korábbi módszerünkkel viszonylag gyorsan ki lehet számítani. Van azonban még egy módszer, szem előtt tartva az imént tanultakat: megszámolhatjuk a bitek számát (

5

), kiszámolhatjuk a

2^{5}

-t mint

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

, majd kivonhatunk

1

-et.

Mindezt azért írtuk le, hogy ránézésre jobban megértsd a bináris rendszert. Lehet, hogy nem jegyeztél meg mindent, de ez nem baj. Rengeteg gyakorló feladat vár rád, melyek segítségével fejlesztheted tudásodat.

🙋🏽🙋🏻‍♀️🙋🏿‍♂️Kérdéseid vannak a témával kapcsolatban? Szívesen válaszolunk – tedd fel őket bátran alább!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.