Fő tartalom
Tantárgy/kurzus: 5.-6. évfolyam > 8. témakör
1. lecke: A síkidomok részeiGeometriai fogalmak és jelölések
Ismerd meg az olyan geometriai fogalmakat, mint a pont, egyenes, félegyenes! Arról is tanulunk, hogyan jelöljük ezeket. Készítette: Sal Khan.
Szeretnél részt venni a beszélgetésben?
Még nincs hozzászólás.
Videóátirat
Ebben a videóban szeretném
bemutatni a geometria nyelvét, vagyis olyan jelöléseket,
amiket akkor használunk, amikor geometriáról
van szó. Azt hiszem, az lesz a legjobb,
ha azzal kezdjük, hogy mit is jelent a geometria szó. Lehet, hogy ismerős a szó első része, ez itt, a szó első fele, hogy „geo”. Ugyanezt látod más szavakban is, mint például a geográfia, geológia. Ez a Földre utal, a geo- előtag azt jelenti, hogy a bolygónk egészével
vagy annak a felszínével kapcsolatos. Aztán itt van a „metria” rész. Ez benne van példásul
a trigonometria szóban is. A metria a görög mérés
szóból származik, méréssel kapcsolatos
tudományra utal. Tehát amikor geometriáról
beszélünk, akkor maga a szó a Föld és a mérés szavakból
tevődik össze. És ez nem is olyan rossz név, mert a geometria
egy ilyen alapvető tantárgy. A geometria az egy tudományág, ami által azt próbáljuk megérteni, hogy az alakzatok és a tér,
a dolgok, amiket látunk, hogyan viszonyulnak egymáshoz. Szóval amikor elkezdesz
geometriát tanulni, akkor egyenesekről tanulsz,
a háromszögekről, a körről, tanulsz még a szögekről is. Ahogy haladunk előre,
egyre pontosabban fogjuk meghatározni ezeket a dolgokat. A geometriában
szabályszerűségek is vannak, vannak térbeli alakzatok, tehát szinte minden,
amit látunk – az összes szemmel látható
matematikai dolog – valamilyen módon
a geometriába tartozik. Most, hogy ezt megbeszéltük, kezdjük az alapoktól, a geometria kiindulópontjától, és innen építkezhetünk majd tovább. Kezdjük tehát a ponttal! A pont csak egy kis pont
itt a képernyőn, Ezt így is fogjuk hívni. Az a legjobb a matematikában, hogy mindent elnevezhetünk. Hívhatnánk ezt tatunak is, de úgy döntöttünk,
hogy pontnak hívjuk, aminek szerintem van értelme, mert a hétköznapi nyelvben is
így hívjuk. Ez egy pont. Na most, a pont azért érdekes, mert ez csak egy hely. Nem tudunk elmozdulni a pontban. Ha itt lennék ebben a pontban, és elmozdulunk bármelyik irányba, akkor már nem ebben a pontban lennénk. A pontban nem lehet elmozdulni. A pontok mind különbözők. Például ez itt egy pont, de ez itt egy másik pont, és ez is egy újabb pont, és ez is egy pont. Hogy hivatkozni tudjunk
a különböző pontokra – mert nem adatik meg mindenkinek
a luxus, hogy ilyen szép színes tollai vannak,
mint nekem, én mondhatom azt,
hogy a zöld pont, a kék pont, a rózsaszín pont –, a geometriában úgy kell hivatkozunk
a pontokra, hogy elnevezzük őket. A pontokat általában
nagybetűkkel jelöljük, tehát például legyen ez az A pont, ez legyen a B pont,
ez legyen a C pont, ez pedig a D pont. Szóval ha valaki azt kéri,
hogy karikázd be a C pontot, akkor tudod, hogy melyiket kell
bekarikázni. Tudod, hogy ezt a pontot
kell bekarikázni. Nos, ez eddig elég érdekes. Vannak ezek a pontnak
nevezett dolgok, és a pontban nem lehet mozogni, a pontok csak egy,
egyetlen helyet határoznak meg. De mi van akkor,
ha egy kicsit el akarunk mozdulni? Mi van, ha el akarunk jutni
az egyik pontból a másikba, tehát ha egy pontból indulunk, mi ez az összes pont, ami
– beleértve a kiindulópontot is –, ami összeköti az egyik pontot
a másikkal, tehát mi ez az összes pont? Hogy nevezzük ezt a dolgot, ami összeköti az A-t és a B-t – hétköznapi szóhasználattal –
egy ilyen egyenes vonallal? Nos, ezt úgy nevezzük,
hogy szakasz. A hétköznapi beszédben
hívhatjuk egyenesnek, de mi szakasznak nevezzük, mert majd látni fogod,
hogy a matematikában az egyenes egy kicsit mást jelent. Tehát ez itt egy szakasz. Ha összekötjük a D-t és a C-t, akkor ez is egy szakasz lesz. Még egyszer: mivel nem mindig
van lehetőségünk színeket használni – ez a rózsaszín szakasz, ez meg a citromsárga szakasz –, a szakaszokat is elnevezzük. A legjobb módszer, ha a szakaszt
a végpontjaival jelöljük – ez egy újabb fogalom –, tehát A és B egyszerűen két pont, de A és B az ennek a szakasznak
a két végpontja is, mert a szakasz A-tól B-ig tart. ez egy új fogalom. Megint elmondom: hívhatnánk ezeket
földimalacnak, vagy a tatu végének, de mi, matematikusok
úgy döntöttünk, hogy végpontnak nevezzük, ez jó elnevezésnek tűnik. Még egyszer: valahogy
jelölnünk kell ezeket a szakaszokat,
amiknek megvannak a végpontjaik, és van-e jobb jelölése
egy szakasznak, mint konkrétan a két végpontja? Szóval erre a szakaszra
úgy hivatkozhatunk, hogy leírjuk a két végpontját
egymás mellé. Ez mutatja, hogy erről
a szakaszról van szó. Vagy kisbetűvel is jelölhetjük,
tehát legyen ez például az 'a' szakasz. Ezt a lenti szakaszt
jelölhetjük úgy, hogy DC, de úgy is írhatjuk,
hogy CD, vagy mondjuk úgy, hogy c, ezek ugyanazt jelentik,
ugyanerre a szakaszra vonatkoznak. és itt is, a BA,
szintén ugyanezt a szakaszt jelenti. És most mondhatnád,
hogy nem vagy megelégedve azzal, hogy csak A és B között
lehet mozogni. És ez egy másik érdekes kérdés. Ha az A pontban vagyunk, ha csak egy pontban vagyunk, akkor egyáltalán
nem tudunk elmozdulni. Semelyik irányba
nem mozoghatunk, amíg egy pontban vagyunk. Ez azt jelenti, hogy
nincs lehetőségünk elmozdulni. Nem mehetünk se fel, se le,
se jobbra, se balra, se ki, se be a lapon,
amíg ebben a pontban vagyunk. Ezért mondjuk, hogy a pontnak
nincs kiterjedése, a pont nulla dimenziós. Viszont itt van ez a szakasz, vagy ez a szakasz, ezen legalább
jobbra és balra mozoghatunk a szakasz mentén, mehetünk A vagy B irányába, tehát előre és hátra
mozoghatunk egy dimenzióban. Ezért a szakasz egydimenziós, egydimenziós alakzat. Bár ez persze egy elég elvont fogalom. A valóságban nincsen tökéletes szakasz, mert a szakaszon fel-le
nem lehet mozogni, amíg rajta vagyunk a szakaszon, míg a valóságban bárminek,
amiről azt gondoljuk, hogy szakasz – mondjuk valamilyen pálcának,
egy nagyon egyenes pálcának, vagy egy kifeszített zsinórnak is –, van valamennyi szélessége. Egy a valódi geometriai szakasznak
nincs szélessége, csak hosszúsága van. Tehát csak egy egyenes mentén
mozoghatsz rajta, ezért mondjuk,
hogy egydimenziós. A pontban nem
lehet egyáltalán mozogni, a szakaszon csak előre-hátra
lehet menni Említettem az előbb, hogy
a szakasznak van hossza. Hogyan jelöljük ezt? Ugyanúgy jelöljük,
mint magát a szakaszt. Tehát ha leírom ide, hogy AB, akkor ez a szakaszt
és a szakasz hosszát is jelenti. Ha mondjuk, AB egyenlő
5 egységgel – ez lehet cm, m, bármi, vagy egyszerűen csak 5 egység –, ez azt jelenti,
hogy az A és a B pontok távolsága 5, ennek az AB szakasznak
a hossza ebben az esetben 5. Most akkor hosszabbítsuk
meg egy szakaszt! Mondjuk, csak az egyik irányba
megyünk, mondjuk, elindulok A-ból,
és elmegyek D-be, de menni akarok tovább, tehát 'A' irányába
csak 'A'-ig mehetek, de D irányába mehetek tovább. Ez, amit most mutattam – ez tulajdonképpen
hasonló a szakaszhoz, de mehetek tovább az egyik irányba
akármeddig, tehát a végponton túl –, ez itt egy félegyenes. Ez a pont a félegyenes kezdőpontja. A félegyenes azért érdekes, mert ez is egydimenziós alakzat, de az egyik irányba
akármeddig elmehetek, az egyik végponton túl
is mehetünk. Ezt úgy jelölhetjük,
hogy AD félegyenes, vagy jelölhetjük kisbetűvel is,
például d félegyenes. Ebben az esetben számít
a betűk sorrendje. Ha azt írnám,
hogy DA félegyenes, az egy másik félegyenes lenne, azt jelentené,
hogy a D-ből indulunk, és 'A' irányába haladunk,
és túl is megyünk rajta. Szóval ez nem DA félegyenes,
ez itt az AD félegyenes. Az utolsó dolog, – ami már biztosan
eszedbe jutott –, hogy mi lenne, ha mindkét irányba
folytatnánk a szakaszt? Ez az ábra egy kicsit
már áttekinthetetlen, inkább rajzolok
néhány másik pontot. Tehát legyen ez az E pont, és legyen ez az F pont, és tegyük fel, hogy ez az alakzat átmegy E-n és F-en, és mindkét irányba folytatódik. Ezt hívjuk a geometria nyelvén
egyenesnek. Figyeld meg, hogy az egyenesnek
nincs vége. Mindkét irányba
bármeddig elmehetsz. A szakasznak van vége,
vannak végpontjai, az egyenesnek nincsenek. Ezt az egyenest úgy jelölhetjük, hogy EF egyenes,
vagy kisbetűvel, legyen ez az 'e' egyenes. Azok a dolgok,
amiket a leggyakrabban fogsz látni, amikor geometriát tanulsz,
azok ezek itt, mert foglalkozunk majd
alakzatok oldalaival, pontok távolságával. És amikor bármi ilyenről beszélünk – olyan dolgokról, amiknek véges a hossza, olyan dolgokról, amiknek adott a hossza, amik nem mennek a végtelenbe
az egyik vagy mindkét irányban –, akkor szakaszokról beszélünk. Térjünk is vissza a szakaszhoz, csak hogy beszéljünk még olyan
új fogalmakról, amelyekkel találkozhatsz
a geometriában. Tehát beszéljünk újra a szakaszról. Legyen ez az X pont,
és ez az Y pont, és akkor ez az XY szakasz, egyszerűen így jelölöm. És van egy másik pont, nevezzük ezt a pontot Z-nek. És most bevezetek egy új fogalmat: X, Y és Z ugyanazon az egyenesen
helyezkednek el – ha elképzeled, hogy ez a szakasz folytatódik mindkét irányba,
és akkor ez már egy egyenes –, ilyenkor mondjuk azt, hogy X, Z és Y
egy egyenesbe esnek. Ez a három pont
egy egyenesbe esik. Mindegyik ugyanazon az egyenesen
helyezkedik el, és mind rajta van az XY szakaszon is. Tegyük fel, hogy azt is megadták, hogy XZ egyenlő ZY-nal,
és egy egyenesbe esnek. Ez tehát azt jelenti, hogy az X és Z közötti távolság
egyenlő a Z és Y közötti távolsággal. Ezt néha így jelöljük, ez a távolság ugyanaz,
mint ez a távolság. Szóval ezek szerint a Z pontosan
középen van X és Y között. Ebben az esetben a Z pontot
felezőpontnak hívjuk, a Z az XY szakasz felezőpontja, mert pontosan a középen van. Befejezésként foglaljuk össze: beszéltünk kiterjedés nélküli,
nulla dimenziós dolgokról, ezek a pontok. Beszéltünk egydimenziós
alakzatokról, ilyen az egyenes, a szakasz
és a félegyenes. Kérdezhetnéd, hogy akkor milyenek a
kétdimenziós dolgok? Ha valami kétdimenziós,
az azt jelenti, hogy előre-hátra
és föl-le is tudunk mozogni két különböző irányban. Tehát egy lap, ez a videó, vagyis ez a képernyő,
amit nézel, az kétdimenziós alakzat. Tudunk menni jobbra és balra
– ez egy dimenzió –, és mehetek fel és le is. A monitor felszíne tehát,
amit most nézel, az kétdimenziós. Két irányban mozoghatunk
előre és hátra, fel és le, és természetesen, ezek összegzésével
bármilyen más irányba is. A kétdimenziós dolgokat
síkbeli alakzatoknak nevezzük. Ha veszünk egy darab papírt, és minden irányban meghosszabbítjuk
a végtelenségig, akkor az geometriai értelemben
egy sík lesz. Maga a papírdarab
az nem végtelen, tekinthetjük egy végtelen sík
egy darabjának, hiszen az egész síknak a része. Ezt úgy hívjuk, hogy síkidom. Három dimenzióban háromdimenziós térről beszélünk. A háromdimenziós térben nemcsak jobbra-balra
és fel-le mozoghatunk, mint mondjuk itt a képernyőn, hanem befelé és kifelé is. Azt is megtehetjük
– megpróbálom lerajzolni –, hogy a képernyő mögé és a képernyő elé jövünk,
valahogy így. És ha tanulsz majd magasabb szintű
matematikát, akkor látni fogod – habár ezt elég nehéz
elképzelni –, hogy elkezdjük majd tanulmányozni a háromnál több dimenziós
tereket is.