Az arkusz szinusz függvény

Ha az utcán találkoznánk, és megkérdezném, hogy – nem akartam ilyen vastagon írni – hogy mondd meg, mennyi a szinusz π/4, – nyilván radiánban gondolkozunk –, vagy tudod fejből, vagy rajzolsz egy egységkört. Ez nem a legszebb egységkör, de érted a lényeget. π/4 radián, ami ugye 45°. Megrajzolod ezt a sugarat, és a szinuszt a metszéspont y koordinátája határozza meg az egységkörön. Tehát erre az értékre vagyunk kíváncsiak. Persze mondhatjuk, hogy ez itt 45° – hadd rajzoljam le ezt a háromszöget egy kicsit nagyobb méretben –, a háromszög így néz ki, ez itt 45°, ez is 45°, ez pedig 90°. A 45-45-90 háromszöget ismered. Az átfogó 1, ez itt x, ez is x, a két érték megegyezik, ez egy egyenlő szárú háromszög, igaz? Az alapon fekvő szögei megegyeznek. Mondhatjuk, hogy x² plusz x² egyenlő 1², ami pont 1. 2 x² egyenlő 1. x² egyenlő 1/2. x egyenlő √1/2, ami 1/√2. A nevezőt gyökteleníthetjük, ha megszorozzuk √2/√2-vel. Ezzel megkapjuk, hogy x egyenlő √2/2. Tehát ez a magasság nem más, mint √2/2. És ha erre a távolságra vagy kíváncsi, ugyanennyi lenne. De most csak a magasság érdekelt. Ennek a szögnek a szinusza ezzel a magassággal egyenlő. Az y koordináta, ami pedig √2/2. Ez csak ismétlés, egyszer már megtanultuk az egységkörös videóban. De mi van, ha egy másik nap találkozunk, és azt kérdezem tőled, hogy mi a √2/2 arkusz szinusza? Mi ez az arkusz szinusz? És ezzel megfogtalak. Azt mondod, hogy „tudom, mi egy szögnek a szinusza, de ez valami új trigonometrikus függvény, amit csak Sal talált ki.” Azt kell megértened, hogy ha ezt az 'arkusz' előtagot látod – időnként úgy is nevezik, hogy inverz szinusz, nyugodtan felírhatnánk úgy is, hogy: mi az inverz szinusza √2/2-nek? –, ez csak azt jelenti, hogy melyik szögnek a szinusza lesz egyenlő √2/2-vel. Melyik szögnek a szinusza lesz egyenlő √2/2-vel? Felírhatnám ezt úgy is, hogy – lássuk csak – szinusz „mi” lesz egyenlő √2/2-vel? Erre a kérdésre – szerintem – sokkal egyszerűbb válaszolni. Minek a szinusza egyenlő √2/2-vel? Épp most számoltam ki, hogy a szinusz π/4 éppen √2/2. Tehát ez esetben tudom, hogy szinusz π/4 egyenlő √2/2, így a kérdőjel nem más, mint π/4. Vagy pedig, átírhatom a kifejezést: arkusz szinusz √2/2 nem más, mint π/4. Összefoglalva: adok egy értéket, és mondd meg, hogy melyik szögnek lesz ez a szinusza! De mondhatnád: figyelj csak, Sal! (Menjünk csak vissza ide!) Mondhatnád, hogy π/4 működik, 45°működik, de hozzáadhatnék akárhányszor 360°-ot, vagy 2π-t, ezek mindegyike jó lenne, mert az egységkör ugyanazon pontjához tartoznak. És igazad lenne. Ezek mindegyike jó válasz lenne a kérdésre. Mert bármelyiknek veszed a szinuszát – hozáadogathatsz 360°-ot –, bármelyiknek veszed a szinuszát, √2/2-t kapsz. És ez probléma, nem lehet olyan függvényem – f(x) –, hogy egy x-hez több függvényérték tartozik. Nem lehet a függvényérték egyszerre π/4, π/4 + 2π, π/4 + 4π. Tehát annak érdekében, hogy ez valóban függvény legyen – hogy tényleg inverz szinusz függvény legyen –, le kell szűkíteni az értékkészletet. A legészszerűbb értékkészletre szűkítjük le. Tegyük is meg! Megjegyzésként, mi lesz a függvény értelmezési tartománya? Ha veszem valaminek az arkusz szinuszát, például veszem az arkusz szinusz x-et, és ez egyenlő thétával, mi az értelmezési tartomány? Mik lehetnek az x értékek? Mivel lehet egyenlő x? Nos, bármilyen szögnek veszem a szinuszát, 1 és -1 közötti értékeket kaphatok csak. Tehát x nagyobb vagy egyenlő, mint -1, és kisebb vagy egyenlő, mint 1, ez az értelmezési tartomány. Hogy tényleg függvény legyen, le kell szűkíteni az értékkészletet, azaz a lehetséges értékeket is. Tegyük is meg! Az arkusz szinusz – megállapodás szerint – az első és negyedik síknegyedben van értelmezve, így erre a területre szűkítjük a lehetséges szögeket az egységkörön. Tehát théta kisebb vagy egyenlő, mint π/2, és nagyobb vagy egyenlő, mint -π/2. Most már értjük, hogy mi az arkusz szinusz. Lássunk egy másik feladatot! Csinálok itt egy kis szabad helyet. Lássunk még egy arkusz szinuszt! Tegyük fel, hogy azt kérdezem, mi a mínusz √3/2 arkusz szinusza? Ezt vagy megjegyezted, és rögtön tudod, hogy milyen x-nek vagy thétának a szinusza mínusz √3/2, és kész is lennél. Én viszont ezt nem tudom fejből. Hadd rajzoljak egy egységkört! Amikor arkusz szinusszal dolgozunk, csak az első és negyedik síknegyedre vagyunk kíváncsiak. Ez az y tengely, ez az x tengely, x és y. És hol vagyok? Ha valaminek a szinusza mínusz √3/2, az azt jelenti, hogy az y koordináta az egységkörön mínusz √3/2, ez azt jelenti, hogy itt vagyunk, itt a mínusz √3/2, itt vagyunk. Melyik szöghöz tartozik ez? Álljunk meg egy pillanatra! Az y koordinátám mínusz √3/2. Ez volna a szög. Ez negatív szög lesz, mivel az x tengely alatt vagyunk, az óramutató járásával megegyező irányban. Ahhoz, hogy kiszámoljam, hadd rajzoljak ide egy kis háromszöget! Egy ennél jobb színnel, inkább kéket használok. Felnagyítva is lerajzolom a háromszöget, valahogy így néz ki. Ez itt théta. Mekkora lesz ez a szakasz? Ez pont annyi, mint ez az y magasság – ha nevezhetjük így –, ami pedig √3/2. Tudjuk, hogy negatív, mert lefelé mutat, de csak határozzuk meg a szöget, és észben tartjuk, hogy negatív lesz. Amikor √3/2-t látsz, remélhetőleg beugrik, hogy ez egy 30-60-90 háromszög. Ez itt √3/2, ez az oldal 1/2, ez az oldal pedig 1, mivel az egységkör sugaráról van szó. Szóval a 30-60-90 háromszögben a √3/2 hosszúságú oldallal szemközti szög 60°-os. Ez a szög 30°-os. Tudjuk, hogy théta – ez itt 60°, ez a nagysága – lefelé mutat, így mínusz 60° lesz. Tehát théta mínusz 60°. Ha viszont radiánban számolunk, akkor ez még nem elég, meg kell szorozni 180... – elnézést – π radián per 180°-kal, a °-ok kiejtik egymást, az marad, hogy théta egyenlő mínusz π/3 radián. Most pedig kijelenthetjük, hogy arkusz szinusz mínusz √3/2 egyenlő -π/3 radiánnal. Vagy azt is mondhatjuk, hogy inverz szinusz mínusz √3/2 egyenlő -π/3 radián. Hogy biztosak legyünk benne, vegyük elő a számológépet! Én ezt már radián mód-ba állítottam, ezt a „2nd” + „MODE” gombokkal ellenőrizheted. Radián módban vagyok, így remélhetőleg jó megoldást fogok kapni. Amire kíváncsi vagyok, az az inverz szinusz – „2nd” és „Sine” gombok –, inverz szinusz mínusz √3/2. Ez egyenlő mínusz 1,04-dal. Tehát ez mínusz 1,04 radián. Azaz π/3 1,04-dal kell, hogy egyenlő legyen. Lássuk, hogy annyi lesz -e! Ha beütöm, hogy mínusz π/3, mit kapok? Pontosan ugyanazt kapom. A számológép ugyanazt az értéket adta, de nem biztos, hogy ez annyira hasznos, mert a számológép nem mondta meg, hogy ez π/3-mal egyenlő.