Szögfüggvények meghatározása az addíciós tételek alkalmazásával

Ebben a videóban megpróbálom kideríteni, hogy mennyi a sin(7π/12), anélkül, hogy számológépet használnék. Nézzük is meg, hol van a 7π/12 az egységkörön! A szög egyik szára az x tengely pozitív irányával esik egybe. Nézzük csak! Egyenesen felfelé a π/2 szög van, ami ugyanaz, mint 6π/12, tehát gyakorlatilag még egy π/6-nyira van szükségünk, hogy idáig eljussunk. Ez az a szög, amiről beszélünk, ami a 7π/12 radián. Ennek a szinusza pedig az egységkörös definíció alapján annak a pontnak az y koordinátája lesz, amelyben ez a sugár metszi az egységkört. Ez itt az egységkör, a sugara 1, és ahol metszi, annak a pontnak az y koordinátája a szinusz. Másképp végiggondolva, ennek a szakasznak a hossza itt. Biztatnálak, hogy állítsd meg itt a videót és gondold végig önállóan! Próbáld ki, hogy tudod-e a trigonometria tudásodat használni, hogy kiszámold, hogy mennyi a sin(7π/12), ami gyakorlatilag itt ez a lila szakasz. Feltételezem, hogy nekifutottál egyedül, és ha olyan vagy, mint én, az első ötleted lehet, hogy az volt, hogy ezt a derékszögű háromszöget vizsgáld, amit iderajzoltam neked. A háromszög így néz ki, és ezt a részt akarjuk kiszámolni, ezt a hosszúságot itt, ami sin(7π/12). Azt tudjuk, hogy az átfogó 1, ami az egységkör sugara. Ez itt egy derékszögű háromszög. Ezt a szöget is ismerjük itt, ami ez a szög itt balra. Ez a rész itt 6π/12, és utána van még egy π/12-nk, szóval tudjuk, hogy ez a szög itt π/12. Elírtam, nem 16. Tehát tudjuk, hogy ez a szög itt π/12. Ezek alapján ki tudjuk ezt számolni, vagy legalábbis találhatunk kapcsolatot az oldalak között ennek a szögnek a szögfüggvényeit használva. Ehhez a szöghöz viszonyítva ez a szög melletti befogó, így cos(π/12) egyenlő a lila oldal per eggyel, vagy mondhatnánk, hogy egyenlő a lila oldallal. Mondhatnánk tehát, hogy ez nem más, mint cos(π/12). Arra már rájöttünk, hogy sin(7π/12)=cos(π/12), de ezzel sem vagyok sokkal előrébb, mert nem tudom fejből cos(π/12) értékét, számológép használata nélkül. Úgyhogy ahelyett, hogy így fognánk neki, inkább nézzük meg, hogy elő tudjuk-e állítani, vagy inkább szét tudjuk-e bontani ezt a szöget más szögekre, amelyeknek ismerjük a szinuszát és a koszinuszát! És milyen szögek ezek? Ezek azok a szögek, amelyek a speciális derékszögű háromszögekben vannak. Például jól ismerjük a 30°-60°-90°-os háromszögeket. A 30°-60°-90°-os háromszögek ilyesmik. Igyekszem jól rajzolni kézzel. Ahelyett, hogy 30°-ot írnék, mivel radiánban gondolkozunk most, inkább π/6 radiánt fogok írni. A 60°-ot pedig π/3 radiánként fogom írni. És ez persze itt a derékszög. Ha az átfogó 1, akkor a 30°-os szöggel szembeni oldal, avagy a π/6 radiánnal szembeni oldal az átfogó fele lesz, ami ez esetben 1/2. A másik oldal, ami a 60°-ossal van szemben, avagy a π/3 radiánnal szembeni oldal, az √3-szor a rövidebb oldal lesz, azaz √3/2. Használtuk ezeket a háromszögeket már korábban is, hogy kiderítsük a 30° vagy a 60° szinuszát és koszinuszát, vagy ebben az esetben π/6-ét vagy π/3-ét. Tehát a π/6-ot és a π/3-ot már ismerjük. Továbbá ismerjük az 45°-45°-90°-os háromszögeket is. Tudjuk, hogy egyenlő szárúak és derékszögűek, és így néznek ki. Igyekszem jól lerajzolni. Ez nem igazán tűnik egyelő szárúnak, úgyhogy hadd változtassak egy kicsit! Nem tudom.. ez már közelebb van egy egyenlő szárú derékszögű háromszöghöz. Tudjuk, hogy ha az átfogó 1 – és ez egyenesen a Pitagorasz-tételből következik –, akkor a másik két oldal egyenlő √2/2-ször az átfogóval, ami esetünkben nem más, mint √2/2. Ahelyett, hogy 45°-osnak hívnánk ezeket, tudjuk, hogy ez nem más, mint π/4 radián. Tehát ha megvan a π/6, π/3, π/4, fel tudom használni ezeket a háromszögeket – vagy az alapvető szögfüggvény („szisza koma taszem”) definíciókat használva, vagy rátehetem őket az egységkörre, és használhatom a szögfüggvények egységkörös definícióit –, hogy kiderítsem, mi a szinusza, koszinusza vagy tangense ezeknek a szögeknek. Szét tudom vajon bontani a 7π/12-et a π/6, π/3 és a π/4 valamely kombinációjára? Gondoljuk végig! Hadd írjam át a π/6-ot, a π/3-ot és π/4-et úgy, hogy a nevezőjük 12 legyen! Hadd írjam le! A π/6 nem más, mint 2π/12, a π/3 ugyanaz, mint 4π/12, és a π/4 egyenlő 3π/12-vel. Nézzük! 2+4 az nem 7, 2+3 sem 7, viszont 4+3 egyenlő 7-tel. Úgyhogy, ezt és ezt tudom használni. 4π/12 + 3π/12 = 7π/12. Ezt át tudom írni akkor, ez ugyanaz, mint sin(3π/12+4π/12), ami természetesen ugyanaz, mint sin(π/4... inkább más színnel írom, tehát sin(π/4+π/3). És most már fel tudjuk használni a szinuszos addíciós tételünket, amivel átírjuk olyan tényezők összegére, amelyek ezeknek a szögeknek a szinuszát és koszinuszát tartalmazzák. Csináljuk is hát meg! Ez itt egyenlő lesz azzal, hogy sin(π/4)⋅cos(π/3) plusz a fordítottja, azaz cos(π/4)⋅sin(π/3). Most már csak ezeket kell kiszámolnunk, és már meg is vannak a háromszögek hozzá. Mi a sin(π/4)? Gondoljuk végig! Ez a π/4 itt. A szinusz az a szemközti befogó per az átfogó, ami nem más, mint √2/2. Tehát ez itt √2/2. Mi a cos(π/3)? Ez a π/3 radián itt. A koszinusz az a szög melletti befogó per az átfogó. Tehát ez itt 1/2 lesz. Mi a cos(π/4)? Menjünk vissza a π/4-hez! Szög melletti befogó per az átfogó, azaz √2/2. Ez is √2/2. És mi a sin(π/3)? A szinusz az a szöggel szemközti befogó per az átfogó, azaz (√3/2)/1, ami √3/2. Most már csak egyszerűsítenünk kell mindezt. Azaz ez egyenlő lesz ezeknek a szorzatával, ami nem más, mint √2/4, aztán plusz ezeknek a szorzata, amit írhatnánk úgy is, hogy √6/4. Vagy ezt az egészet átírhatnánk úgy – megérdemlünk egy kis dobpergést most –, tehát ez egyenlő lesz – jobbra csúszok egy kicsit –, ez egyenlő lesz (√2+√6)/4-gyel. Ez az, amivel a sin(7π/12) vagy cos(π/12) egyenlő.