A trigonometrikus Pitagorasz-tétel bemutatása

Induljunk ki ebből a derékszögű háromszögből, ahol ennek a befogónak a hossza 'a', a magasság b, és az átfogó hossza c. Már tudjuk, amikor ilyesmit látunk, ismerjük a Pitagorasz-tételből 'a', b és c kapcsolatát. Tudjuk, hogy 'a' a négyzeten meg b a négyzeten egyenlő az átfogó négyzetével, vagyis egyenlő c a négyzetennel. Ebben a videóban meg szeretném mutatni, hogyan kapcsolódnak a szögfüggvények a Pitagorasz-tételhez. Ehhez most válasszuk ki az egyik nem derékszöget, mondjuk ezt, legyen théta, és gondoljuk meg, mennyi a szinusz théta, mennyi a koszinusz théta, és tudunk-e ezekkel játszani egy kicsit úgy, hogy felhasználjuk a Pitagorasz-tételt. Mielőtt ezt tesszük, írjuk fel a szisza-koma-taszemet, hogy emlékeztessen a szögfüggvények definíciójára. A szinusz a szemközti per az átfogó, a koszinusz a szög melletti per az átfogó, és a tangens a szemközti per a melletti, bár a tangenst nem használjuk, legalábbis ebben a videóban nem. Nézzük tehát a szinusz thétát, ezzel a kék színnel fogom csinálni. Mennyi a szinusz théta? Szemközti per átfogó, azaz egyenlő a b hossza, vagyis a b, hiszen b a hossz, osztva az átfogó hosszával, ami c. Mekkora a koszinusz théta? Ugye a szög melleti oldalnak, ami nem az átfogó, ennek hossza 'a', a szög melletti oldal hossza osztva az átfogó hosszával. Vajon hogyan tudnám összekapcsolni ezeket? Ha négyzetre emelem a szinusz thétát, akkor azt kapom, hogy szinusz théta a négyzeten egyenlő b négyzet per c négyzet, koszinusz théta a négyzeten pedig 'a' négyzet per c négyzet. Úgy tűnik, ezeket össze tudom adni, és az eredmény eléggé közel lesz a Pitagorasz-tételhez. Próbáljuk meg! Szinusz négyzet théta egyenlő b négyzet per c négyzet, csak négyzetre emeltem mindkét oldalt. Koszinusz négyzet théta egyenlő 'a' négyzet per c négyzet. Akkor mennyi is az összegük? Mennyi szinusz négyzet théta meg koszinusz négyzet théta? Szinusz négyzet théta meg koszinusz négyzet théta. Mennyi lesz ez? Szinusz négyzet théta az b négyzet per c négyzet, meg 'a' négyzet per c négyzet, ami egyenlő — itt van egy közös nevezőnk, a c négyzet, — és a számláló b négyzet meg 'a' négyzet. Mennyi a b négyzet meg 'a' négyzet? De hiszen itt van, a Pitagorasz-tétel kimondja, hogy b négyzet meg 'a' négyzet, avagy 'a' négyzet meg b négyzet egyenlő c a négyzeten. Azaz ez a számláló leegyszerűsödik c négyzetre, és az egész kifejezés c négyzet per c négyzet, ami egyenlő 1-gyel. Egy következő videóban a szisza-koma-taszem segítségével be fogjuk vezetni az egységkörös definíciót. Látni fogod, hogy pusztán a szögfüggvényeket leíró szisza-koma-taszem segítségével meg fogjuk kapni a szögfüggvények talán legfontosabb azonosságát, vagyis hogy egy théta szög szinuszának a négyzete plusz ugyanezen szög koszinuszának a négyzete egyenlő 1-gyel. Most persze mondhatnád, hogy OK, Sal, jól hangzik, de miért olyan érdekes ez, minek ezzel foglalkozni? Nos a klassz dolog az, hogy ha megvan egy szög szinusza, akkor ezzel az egyenlőséggel meg tudom mondani a koszinuszát és megfordítva. Tehát ez eléggé hasznos dolog. És egyben motivál is a szögfüggvények egységsugarú körrel való definiálására.