Derékszögű háromszög oldalának kiszámítása szögfüggvényekkel

Azt kérik, hogy oldjuk meg az alábbi derékszögű háromszöges feladatot. A hosszúságokat tizedre kerekítsük! Amikor azt kérik, oldjunk meg egy derékszögű háromszöges feladatot, feltételezhetjük, hogy azt mondják: Hé, számold ki minden oldal hosszát! Tehát, hogy mennyivel egyenlő 'a', mennyivel egyenlő b. És azt is, hogy mekkorák a derékszögű háromszög szögei. Kettő meg van adva. Erre a harmadikra kell rájönnünk. Többféleképpen nekikezdhetünk a megoldásnak, de most kezdjük az XW oldallal. Próbáld meg kiszámolni, mennyi az 'a'. Adok egy tippet. Használhatsz számológépet, és a számológéppel használhatod a trigonometrikus függvényeket, amikkel már elég sokat foglalkoztunk. Adok egy pár másodperc gondolkodási időt, hogy rájöjj, hogy lehet kiszámolni az 'a'-t. Nos, mit ismerünk? Ismerjük ezt az Y szöget itt. Ismerjük az Y szög melletti befogót. És az 'a', ez az oldal itt az Y szöggel szemközti befogó. Melyik szögfüggvény vonatkozik a szöggel szemközti és a szög melletti befogóra? Tehát ha Y szöghöz viszonyítva nézzük, ez a szemközti, ez pedig itt a szög melletti. Nos, ha nem emlékszünk, visszatérhetünk a Szisza Koma Taszem-hez. A szinusz a szöggel szemköztivel és az átfogóval foglalkozik, a koszinusz a szög mellettivel és az átfogóval. A tangens pedig a szöggel szemközti per a melletti. Tehát azt mondhatjuk, hogy tangens 65 fok, ennek a 65 fokos szögnek a tangense egyenlő a szemközti oldal hossza, amelyet 'a'-val jelöltünk, per a szomszédos oldal, amelyet megadtak nekünk az ábrán, és melynek hossza 5. Kérdezhetnéd, hogy tudom kiszámolni az 'a'-t? Nos, a számológéppel meg tudjuk határozni, hogy mennyi tangens 65 fok, és utána ki tudjuk számolni az 'a'-t. Ha viszont kifejezetten az 'a'-t akarjuk meghatározni, egyszerűen megszorozhatjuk az egyenlet mindkét oldalát 5-tel. Csináljuk így! Ötször, ötször. Ezek eltűnnek, és azt kapjuk, ha felcseréljük az egyenlet két oldalát, azt kapjuk, hogy 'a' egyenlő 5-ször tangens 65 fok. Most pedig elővesszük a számológépünket és kiszámoljuk, mennyi lesz ez századra kerekítve. Ez az én praktikus TI-85-öm, 5-ször tangens ­– nem ezt a második funkciót kellett volna megnyomnom, egyszerűen csak tangens – 65 fok. És ha tizedre kerekítek, ahogy kérték, 10,7-et kapok. Tehát az 'a' körülbelül 10,7-del egyenlő. Azt mondom, körülbelül, mert kerekítettem. Ez nem a pontos szám, de az 'a' 10,7. Tehát most már tudjuk, hogy ennek a hossza közelítőleg 10,7. Többféleképpen nekikezdhetünk a b meghatározásának. Hagyom, hogy azt a módszert válaszd, amelyiket akarod. De aztán úgy csinálom, ahogy én szeretném. Tehát a következő kérdésem, hogy milyen hosszú az YW oldal? Vagyis mennyi a b értéke? Többféleképpen csinálhatjuk ezt. Ez az átfogó. Tehát használhatnánk a szögfüggvényeket, azt, amelyik a szomszédos per átfogó, vagy amelyik a szemközti per átfogó. Vagy használhatnánk a Pitagorasz-tételt. Két oldalt ismerünk egy derékszögű háromszögben, meg tudjuk határozni a harmadik oldalt. Én a szögfüggvényeket fogom használni, mivel most ezekkel foglalkozunk. Tehát ez a b hosszúság az átfogó hossza. Ez a WY oldal az átfogó. Szóval a szögfüggvények ‒ most mi dönthetjük el, melyiket akarjuk használni. Használhatnánk a szemközti befogót és az átfogót, vagy használhatnánk a szög melletti befogót és az átfogót. Mivel tudjuk, hogy XY pontosan 5, nem kell foglalkoznunk kerekítéssel, használjuk ezt az oldalt. Tehát melyik szögfüggvény foglalkozik a szög melletti befogóval és az átfogóval? Nos, a Szisza Koma Taszem-ből láthatjuk, hogy a koszinusz a szög melletti befogó per az átfogó. Tehát azt mondhatjuk, hogy koszinusz 65 fok egyenlő a szomszédos oldal, amelyik 5, per az átfogó, ami b hosszúságú. Ezután megpróbálhatjuk kiszámolni a b-t. Szorozd meg mindkét oldalt b-vel, azt kapod, hogy b-szer koszinusz 65 fok egyenlő 5. Utána ahhoz, hogy megkapd a b-t, mindkét oldalt oszd el koszinusz 65 fokkal. Ez csak egy szám itt. Szóval csak elosztjuk ‒ ki kell számolnunk ezt a számológépünkkel, de ez csak egy szám. Tehát mindkét oldalt eloszthatjuk koszinusz 65 fokkal. És azt kapjuk, hogy b egyenlő 5 per koszinusz 65 fok. Használjuk a számológépet b meghatározására! b egyenlő 5 osztva koszinusz 65 fok. És tizedre kerekítve azt kapom, hogy 11,8. Tehát b tizedre kerekítve közelítőleg egyenlő 11,8. Tehát a b értéke 11,8. És akkor már majdnem készen vagyunk ezzel a derékszögű háromszöggel. Ezt kiszámolhattad volna a Pitagorasz-tétel segítségével is úgy, hogy 5 a négyzeten meg 10,7 a négyzeten egyenlő lesz b a négyzetennel. És remélhetőleg pontosan ugyanezt az eredményt kaptad volna. Az utolsó, amit ki kell számolnunk, ennek a W szögnek az értéke. Adok egy pár másodpercet gondolkodni azon, hogy mennyi a W szög értéke. Nos, itt csak arra kell emlékezni, hogy a háromszög szögeinek összege 180 fok. Tehát w szög plusz 65 fok, ez a szög itt fenn jobbra, plusz a derékszög, ez egy derékszögű háromszög, ezeknek az összege 180 fok. Csupán annyit kell tennünk, hogy egyszerűsítjük ezt a bal oldalt itt. 65 plusz 90 egyenlő 155. Tehát a W szög plusz 155 fok egyenlő 180 fokkal. És akkor megkapjuk a W szöget ha kivonunk 155-öt mindkét oldalból, tehát a W szög 25 fokos. Ezzel elkészültünk az itt látható derékszögű háromszöges feladattal.