A pitagoraszi azonosság bizonyítása

Ismételjük át egy kicsit a szögfüggvények egységkörös definícióját! Rajzoltam ide egy egységsugarú kört – amikor egységkört mondunk, egy 1 egység sugarú kört értünk alatta. Például ez itt az (1;0) pont (angolul vesszővel, magyarul pontosvesszővel választjuk el). X=1 és y=0. Ez a pont itt (0;1), ez a pont (-1;0), és ez (0;-1). Itt a sugár, a távolság a kör középpontjától – amely az origóban van – a kör bármely pontjáig, pontosabban a körön lévő bármely pontig, ez a sugár 1 hosszúságú. A szögfüggvények egységkörös definíciója használja ezt az egységsugarú kört, (ezért is hívják egységkörös definíciónak), és láttuk már, hogy ha veszünk egy szöget, ahol a szög alsó szára a pozitív x-tengelyen van, míg a szög másik szára az egységkört itt metszi, legyen ez a Θ szög, a szinusz Θ-t és koszinusz Θ-t, avagy cos Θ-t és sin Θ-t ennek a pontnak az x és y koordinátájaként határozzuk meg, vagyis annak a pontnak, ahol a szög másik, nem az x-tengelyre illeszkedő szára elmetszi az egységkört. Például nézzük ezt a pontot! A pont x koordinátáját – ezt az értéket itt – hívhatjuk koszinusz Θ-nak, míg a pont y koordinátáját, amely ez az éérték itt, szinusz Θ-nak. A korábbi egységkörös videókban beszéltünk arról, miért is tekinthető ez a szisza-koma-taszem definíció természetszerű kiterjesztésének. Amiért ez hasznos, hogy működik negatív szögekre, működik 90 fokos szögekre, sőt, 90 foknál nagyobb és kisebb szögekre egyaránt, vagyis ez tényleg nagyon hasznos. Most viszont azt szeretném, hogy felhasználjuk amit a szögfüggvények egységkörös definíciójáról tudunk a Pitagoraszi azonosság bizonyításához. Ez majdhogynem közvetlenül látszik abból, hogy ez a pont az egységsugarú körön fekszik. Mi is az origó központú egységsugarú kör egyenlete? Ez az egyenlet: x a négyzeten.. – más videókban ezt már tényleg bizonyítottuk a távolság képlet segítségével, amely csak egy alkalmazása a Pitagorasz-tételnek. Az origó központú egységkör egyenlete: x² + y² = 1, egyenlő a sugár négyzetével. Ez a távolság itt 1. Már kimondtuk, hogy cos Θ-t úgy definiáljuk, mint ennek a pontnak az x koordinátáját, és sin Θ-t pedig, mint ennek a pontnak az y koordinátáját. Ez a pont a körön helyezkedik el, teljesítenie kell ezt az összefüggést. Ez azt jelenti, hogy ha cos Θ-t helyettesítjük be x helyére, sin Θ-t y helyére, akkor ennek ki kell elégítenie az egyenletet, azaz cos Θ a négyzeten plusz sin Θ a négyzeten az egyenlő 1-gyel. Másképpen sin²Θ + cos²Θ = 1. Erre a pontra ez az x, cos Θ az x koordináta, sin Θ az y koordináta. Ezeknek a kört meghatározó pontoknak teljesíteniük kell az egyenletet: cos²Θ + sin²Θ = 1. Ezt nevezzük – ahogy már más videókban láttuk – Pitagoraszi azonosságnak. Kérdezheted, hogy ez miért hasznos? Nos, ezt alkalmazva, ha ismered sin Θ-t, meghatározhatod cos Θ-t, és fordítva. És ha ismered cos Θ-t, meghatározhatod nemcsak sin Θ-t, de tan Θ-t is, hiszen tan Θ nem más, mint sin Θ/cos Θ. Ha egy kicsit zavaros neked, hogy miért hívják ezt Pitagoraszi azonosságnak, ez egyszerűen a kör egyenletéből következik, az egész abból jön. Ha tekintjük itt ezt a pontot, amelynek ugye az x koordinátája cos Θ és y koordinátája sin Θ, milyen messze van ez a pont az origótól? Hogy erre rájöjjünk, felrajzolhatunk egy derékszögű háromszöget. Ez a távolság – ahhoz, hogy bármelyik síknegyedben vizsgálhassuk, vegyük a cos Θ abszolút értékét – ez tehát ez a hossz. Ez pedig sin Θ abszolút értéke. Természetesen nem kell az abszolút értékkel dolgoznom az első negyedben, de ha a a többi negyedbe mennék, és egy hasonló derékszögű háromszöggel dolgoznék, akkor szükség lenne az abszolút értékre. Mit tudunk a Pitagorasz-tételből? Ez egy derékszögű háromszög, amelynek átfogója 1 hosszúságú. Tudjuk tehát, hogy ennek a kifejezésnek a négyzete, | cos Θ |² plusz ennek a kifejezésnek a négyzete, azaz | sin Θ |² egyenlő kell legyen az átfogó négyzetével, ami 1 a négyzeten. Mondhatjuk, hogy ez ugyanaz. Ha négyzetre emelünk valamit negatív előjellel, negatívszor negatív az pozitív lesz, azaz ez ugyanaz, mint cos²Θ + sin²Θ = 1. Hát ezért hívják Pitagoraszi azonosságnak, és ez az egyenlet, ami a kört határozza meg, egyenesen következik a Pitagorasz-tételből, ha az átfogó hossza 1.