Szinusz és koszinusz azonosságok: szimmetria

Tanulmányozzuk az egységkört egy kicsit alaposabban! Induljunk ki egy (Θ) szögből! Ebben a videóban mindent radiánban fogunk mérni. Ezt a szöget tehát Θ-nak hívjuk. Most tükrözzük, – talán mondhatjuk így, hogy ennek a szögnek a felső szárát – tükrözzük az x és az y tengelyre. Címkézzük fel a tengelyeket, és tükrözzük a szöget a pozitív x tengelyre! Ehhez egyszerűen megyünk egyenesen lefelé, a másik oldalon ugyanannyit, elérjük ezt a pontot, és megkapjuk ezt a sugarat. Ezt a sugarat, amelyet kékkel rajzolok be. Mekkora lesz az a szög, amelyet ez a sugár és a pozitív x tengely zár be, az x tengelytől mérve? Az a megállapodásunk, hogy a pozitív x tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányú szög a pozitív. Ez itt az óramutató járásával megegyező. Ahelyett, hogy Θ-val az x tengely fölé mennénk, itt Θ-val alá megyünk, így a megállapodásunk szerint ezt a szöget mínusz Θ szögnek nevezhetjük. Most tükrözzük az eredeti zöld sugarunkat a pozitív y tengelyre! Ha a pozitív y tengelyre tükrözünk, ebből a pontból végig ide megrajzoljuk ezt a sugarat (amennyire jól csak tudom). Mekkora lesz ez a szög? Mekkora a mértéke radiánban? Azt tudjuk, hogy ha végigmennénk a pozitív x tengelytől a negatív x tengelyig, az π radián lenne, mivel az egy félkör. Ez a szög, mivel ez itt a túloldalon Θ, ez itt szintén Θ. A szög, amit meg akarunk határozni, végigmenve itt, az π minusz Θ, Nézd, π - Θ plusz Θ, ezek egymás kiegészítői szögei, összegük π radián vagy 180 fok. Most tükrözzük ezt a negatív x tengelyre! Ekkor ide érkezünk, ezt a szöget kapjuk. Mekkora lesz ez a szög? Ha itt végig körbe megyünk, mekkora szöget kapunk? Ha eddig megyünk, az π, és utána még egy további Θ, hiszen ez a szög itt Θ, tehát mész π-t plusz még egy thétát. Szóval ez az egész itt, ha végigmegyünk, π + Θ radián lesz. Hadd írjam ide, π + Θ. Most, hogy meghatároztuk ezeket a tükrözéseket, nézzük meg, vajon hogyan viszonyulnak egymáshoz ezeknek a szögeknek a szinuszai és a koszinuszai. Azt már tudjuk, hogy ez a koordináta sin Θ, ja bocs, az x koordináta cos Θ. Az x koordináta cos Θ, az y koordináta pedig sin Θ. Úgy is gondolhatunk erre, hogy ez az érték az x tengelyen cos Θ, míg ez itt az y tengelyen sin Θ. Most nézzük meg ezt az alsót! Az előzőhöz hasonlóan, ez a pont – és ez tényleg a szögfüggvények egységkörös definíciója – mivel ez a szög - Θ, ez a pont (cos (-Θ);sin( -Θ)) Na és ugyanezt alkalmazhatjuk itt is, ennek a pontnak az x koordinátája cos (π-Θ), ennek a szögnek, ha az x tengelytől idáig megyünk, cos (π-Θ). Az y koordináta pedig sin (π-Θ). És aztán továbbmehetünk eddig a pontig, azt hiszem tudod már, mi lesz itt, koszinusz Θ+π vagy π+Θ, írjuk így, cos (π+Θ) és sin (π+Θ). És vajon hogyan viszonyulnak ezek egymáshoz? Láthatod, hogy itt jobboldalt az x koordinátáink pontosan megegyeznek, ez az értékük. Tehát tudjuk, hogy cos Θ és cos (-Θ) meg kell, hogy egyezzen. Ez tényleg érdekes. Írjuk is le, cos Θ egyenlő... (használjuk ezt a kék színt) cos Θ = cos (-Θ), érdekes eredmény. És mi a helyzet a szinuszukkal? A sin Θ ez a távolság az x tengely fölött és a sin (-Θ) ugyanez a távolság az x tengely alatt. Vagyis ezek egymás ellentettjei. Azt mondhatjuk, hogy a -Θ szinusza megegyezik - szinusz Θ-val, sin (-Θ) = - sin Θ Az ellentettje, ha ugyanakkorát mész az x tengely fölött és alatt, a szinusz negatív érték lesz. Ugyanezt csinálhatjuk itt is. Hogy viszonyulnak ezek egymáshoz? Ennek a kettőnek megegyezik a szinusza, Ennek a szinusza, az y koordináta ugyanaz, mint ennek a szinusza, látjuk, hogy ezeknek meg kell egyezniük. Írjuk le: sin Θ = sin (π-Θ). És most nézzük a koszinuszok kapcsolatát! Hasonló érvelés, ezek egymás ellentettjei lesznek, ahol az x koordináták ugyanakkorák, csak az origo másik oldalán vannak. Azt kapjuk, hogy (hadd használjam ugyanazt a színt, hogy biztos jó színeket használjak) cos Θ = - cos (π-Θ) Végül pedig nézzük meg, hogy itt mi az összefüggés! Itt a koszinusz érték, az x koordináta negatív és a szinusz is negatív. Mindkét tengelyre tükröztünk. Írjuk le: sin (Θ+π), ami ugyanaz mint sin (π+Θ) megegyezik -sin Θ-val. Ez itt sin Θ, ez pedig sin (Θ+π) vagy sin (π+Θ). És a cos (Θ+π) = -cos Θ. És itt láthatod, hogy folytathatnánk, és mindenféle kapcsolatot találnál, hogy viszonyul ez az érték ehhez vagy ahhoz. Sokféle érdekes eredményt kapnál. Arra biztatlak, hogy próbáld magad tovább gondolni, és nézd meg, hogyan kapcsolódnak ezek egymáshoz, lényegében az x vagy y tengelyre való tükrözés miatt.