Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: Kémia > 3. témakör

3. lecke: A kvantumszámok és az atompályák

A kvantummechanikai atommodell

Bevezetés a kvantummechanikai atommodellbe: az elektronok leírása valószínűségi anyaghullámokként a de Broglie-hullámhossz alapján; a Schrödinger-egyenlet, a Heisenberg-féle határozatlansági reláció. Az elektron spinje és a Stern–Gerlach-kísérlet.

Főbb pontok

Louis de Broglie javasolta, hogy minden részecskét tekinthetünk anyaghullámnak is, amelynek $λ$ ‍ hullámhosszát a következő egyenlet adja meg:

λ = \frac{h}{m v}

Erwin Schrödinger alkotta meg a kvantummechanikai atommodellt, mely az elektronokat anyaghullámként értelmezi.
Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet ( $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍) megoldásaként megkaphatjuk a $ψ$ ‍ hullámfüggvényeket, melyek mindegyike az elektron egy-egy lehetséges kötési energiájához, $E$ ‍-hez tartozik.
A hullámfüggvény abszolút értékének négyzete, $| ψ |^{2}$ ‍, egy elektron előfordulásának a valószínűségét adja meg az atomon belüli adott térrészben.
Az atompálya definíciója: az atomon belül az a térrész, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 90%.
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy az elektron impulzusa és helyzete nem lehet tetszőlegesen pontos. Ha a helyzete nagyon pontosan meghatározott, az impulzusa kevésbé az, és megfordítva.
Az elektronoknak van egy spinnek nevezett lényeges tulajdonságuk. Az elektronspin-vektornak két iránya lehet, amit felfelé-, illetve lefelé mutatónak szokás hívni.
Ha egy atompályán két elektron van, a spinjüknek ellentétes irányúnak kell lennie.

Bevezetés a kvantummechanikai atommodellbe

„Egyértelművé kell tennünk, hogy ha az atomokról akarunk beszélni, a nyelvet csak úgy használhatjuk, mint a költészetben.” —Niels Bohr

Szubatomi szinten az anyag nagyon furcsán kezd viselkedni. Ennek egy része annyira ellentétes az intuícióval, hogy csak jelképek és metaforák révén tudunk róla beszélni, mint a költészetben. Például mit jelent az, hogy az elektron részecskeként és hullámként is viselkedik? Vagy hogy egy elektron nem egy meghatározott pontban van, hanem szétterjed az egész atomban?

Ha furcsának érzed ezeket a kérdéseket, igazad van! Jó társaságban vagy. Niels Bohr ezt mondta: „Aki nem döbben meg a kvantumelméleten, az nem értette meg.” Ha a kvantummechanikáról tanulva zavart érzel, tudjál róla, hogy a tudósok, akik azt kifejlesztették, ugyanígy voltak vele.

Kezdjük azzal, hogy átnézzük Bohr hidrogénatom-modelljét, az első nem-klasszikus atommodellt.

A hidrogén Bohr-féle modelljének áttekintése

Ahogy már láttuk a Bohr-modellről szóló korábbi leckében, a különböző elemek emissziós spektruma diszkrét vonalakból áll. Az alábbi kép mutatja a hidrogén által kibocsátott fény spektrumának látható részét.

A kvantált emissziós spektrumok alapján Bohr arra a következtetésre jutott, hogy talán az elektronok az atomban csak az atommagtól bizonyos távolságra és bizonyos energiaszinteken létezhetnek. Emlékezzünk: az energia kvantáltsága azt jelenti, hogy nem lehet bármekkora energiát elnyelni vagy kibocsátani, hanem csak adott, megengedett értékeket. A Bohr-modell alábbi diagramja azt ábrázolja, hogy az elektron az atommag körül véges számú megengedett atompályán (héjon) fordulhat csak elő.

A hidrogénatom Bohr-modelljének diagramja. Az elektronok a magtól fix távolságra levő kör alakú pályákon keringenek. Ha gerjesztett, azaz $n > 1$ ‍ energiaszinten levő elektronok visszatérnek alacsonyabb energiaszintre, fénykibocsátás történik. Kép forrása: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.

Ebből a modellből Bohrnak sikerült levezetnie a hidrogénatom energiaszintjeit helyesen visszaadó egyenletet, amely energiák pontosan megfeleltek a spektrum emissziós vonalainak. Bohr modellje más egyelektronos rendszereknek, mint pl. a

{He}^{+}

-nak az energiaszintjeit is helyesen határozta meg. Több elektront tartalmazó atomok elektronszerkezetét azonban nem tudta leírni.

Néhány fizikus eleinte megpróbálta Bohr modelljét összetettebb rendszerekre adaptálni, de végül kiderült, hogy teljesen más megközelítésre van szükség.

A hullám-részecske kettősség és a de Broglie-hullámhossz

Louis de Broglie francia fizikus nevéhez fűződik a kvantummechanikának egy másik nagy előrelépése. Planck és Einstein munkájára alapozva – melyben kimutatták, hogy a fényhullámok részecskeszerű tulajdonságokkal is bírnak – de Broglie feltételezte, hogy a részecskéknek is lehetnek hullámtulajdonságaik.

A megfigyelhető hullámszerű tulajdonságok közé tartozik például az interferencia és a diffrakció (elhajlás). Pl. ha a fény egy olyan falhoz ér, melyen két rés van, mint Young kétrés-kísérletében, a fényhullámok a réseken elhajlanak. A hullámok közt kialakuló konstruktív és destruktív interferencia (erősítés és gyengítés) egy sötét és világos területekből álló mintázatot hoz létre a detektoron.

De Broglie a következő egyenletet vezette le az

m

tömegű (

kg

-ban mérve),

v

sebességgel (

\frac{m}{s}

) haladó részecske méterben kifejezett

λ

hullámhosszára (

h

a Planck-állandó,

6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}

$λ = \frac{h}{mv}$ ‍

Figyeld meg, hogy a de Broglie-hullámhossz és a részecske tömege fordítottan arányos egymással. Ezért nem észlelünk a mindennapi életben a makroszkopikus tárgyaknál semmiféle hullámszerű viselkedést. Az anyag hullámtermészete akkor játszik jelentős szerepet, amikor a hullám a de Broglie-hullámhosszal összemérhető méretű akadállyal vagy réssel találkozik. Ha a részecske tömege

10^{- 31}

kg nagyságrendű, mint az elektroné, a hullámszerű viselkedés ugyancsak jelentőssé válik, és néhány érdekes következménnyel jár.

Ellenőrizd, hogy megértetted-e a fentieket: Az eldobott baseball-labda eddig mért legnagyobb sebessége 46,7

\frac{m}{s}

volt. Ha a labda tömege 0,145 kg, mekkora a de Broglie-hullámhossza?

1. feladat: Elektron de Broglie-hullámhosszának kiszámítása

A hidrogénatom elektronjának sebessége alapállapotban

2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}

. Ha az elektron tömege

9, 1 \cdot 10^{- 31}

kg, mennyi a de Broglie-hullámhossza?

Helyettesítsük be a Planck-állandót, valamint az elektron tömegét és sebességét a de Broglie-egyenletbe:

$\begin{aligned} λ & = \frac{h}{mv} \\ = \frac{6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}}{(9, 1 \cdot 10^{- 31} kg) (2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s})} \\ = 3, 3 \cdot 10^{- 10} m \end{aligned}$ ‍

Az elektron hullámhossza,

3, 3 \cdot 10^{- 10}

méter, egy nagyságrendbe esik a hidrogénatom átmérőjével, mely ~

1 \cdot 10^{- 10}

méter. Ez azt jelenti, hogy ha az elektron kölcsönhatásba kerül de Broglie-hullámhosszához hasonló méretű objektumokkal, pl. neutronokkal vagy atomokkal, várható, hogy hullámszerű viselkedést fog mutatni.

A kvantummechanikai atommodell

Állóhullámok

Bohr modelljében a fő probléma az volt, hogy az elektronokat pontosan meghatározott pályán található részecskeként kezelte. De Broglie-nak a részecskék hullámtermészetére vonatkozó feltevése alapján Erwin Schrödinger osztrák fizikus dolgozta ki azt az elméletet, mely szerint az elektronok viselkedése az atomokban megmagyarázható, ha matematikai leírásuk során anyaghullámként kezeljük őket. Ezt a modellt, mely az atomról alkotott modern elképzelésünk alapja, kvantummechanikai vagy hullámmechanikai atommodellként ismerjük.

Az elektronnak az a tulajdonsága, hogy csak bizonyos megengedett állapotokban, energiaszinteken létezhet az atomban, hasonlóvá teszi az állóhullámokhoz. Az elektron-anyaghullámok jobb megértéséhez röviden megvizsgáljuk az állóhullámok néhány tulajdonságát.

Talán találkoztál már az állóhullám fogalmával a húros hangszerek kapcsán. Például ha a gitáron megpendítünk egy húrt, az állóhullámként fog rezegni, ahogy az alábbi képen láthatjuk.

Figyeljük meg, hogy az állóhullám mentén akadnak olyan pontok, melyek a rezgés közben egyáltalán nem mozdulnak el. Ezeket csomópontnak nevezzük. A csomópontokat az ábrán piros pont jelöli. Mivel az animációban szereplő húr mindkét végén le van rögzítve, csak meghatározott hullámhosszú állóhullám alakulhat ki rajta. Emiatt tehát a rezgések hullámhossza kvantált.

A Schrödinger-egyenlet

Felmerülhet a kérdés: mi közük az állóhullámoknak az atomok elektronjaihoz?

Nagyon leegyszerűsítve az elektronokra gondolhatunk anyagi állóhullámokként, melyeknek csak bizonyos megengedett energiájuk lehet. Schrödinger alkotta meg az atomoknak azt a modelljét, melyben az elektronokat anyaghullámként írhatjuk le. Nem megyünk bele itt a matematikai részletekbe, csak megmutatjuk az időfüggetlen Schrödinger-féle hullámegyenlet alapformáját:

$\hat{H} ψ = E ψ$ ‍

A képletben

ψ

a hullámfüggvény;

\hat{H}

a Hamilton-operátor;

E

az elektron kötési energiája. A Schrödinger-egyenlet megoldásával több hullámfüggvényt is kapunk; mindegyikhez egy-egy megengedett

E

energiaérték tartozik.

A felső ábrán látható állóhullám esetében pontosan öt teljes hullámhossz fér a körbe. Ha a kör kerülete nem felel meg a hullámhossz egész számú többszörösének (alsó ábra), a létrejövő destruktív interferencia nem teszi lehetővé stabil állóhullám kialakulását.

Hogy hogyan értelmezzük a hullámfüggvényeket, azt kicsit nehéz pontosan elmagyarázni. A háromdimenziós atomban a hullámfüggvények is háromdimenziósak. Ez azt jelenti, hogy ezek az állóhullámok térben szétterjednek az atommag körül. Emiatt az elektronok nem egy kis, pontszerű helyen találhatók, hanem egy kiterjedt háromdimenziós tartományban az atom belsejében.

Hogy határozzák meg a vegyészek közelítőleg az elektron helyét? A Schrödinger-egyenletből egy adott atom esetén megoldásként kapott hullámfüggvényeket szokás atompályának is nevezni. A vegyészek definíciója szerint az atompálya az a térrész egy atomon belül, ahol az elektron 90% valószínűséggel megtalálható. A következő részben megtárgyaljuk, hogyan határozzák meg ezeket a valószínűségeket.

A Werner Heisenberg nevéhez fűződő határozatlansági reláció kimondja, hogy egy részecske pozícióját és lendületét (vagy energiáját) egy időben nem ismerhetjük tetszőleges pontossággal. Ez a korlát a természet alapvető tulajdonsága. Tehát minél pontosabban ismerjük az elektron helyét, annál kevesebbet tudhatunk a lendületéről, és fordítva. Matematikai formában így írhatjuk fel:

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{h}{4 π}

Δ x

az elektron helyzetének bizonytalansága,

Δ p

az elektron lendületének bizonytalansága,

h

a Planck-állandó,

6,626 \cdot 10^{- 34} J \cdot s

. Az egyenlőtlenségből látszik, hogy

Δ x

és

Δ p

fordítottan arányos egymással. A fordított arányosság azt jelenti, hogy a hely bizonytalanságának csökkenésével a lendület bizonytalansága nő, és fordítva.

Így soha nem tudhatjuk egyszerre azt, hogy hol van az elektron és mennyi az energiája.

Atompályák és valószínűségi sűrűségfüggvények

ψ

hullámfüggvény értéke a tér egy adott (

x, y, z

) pontjában arányos az elektron-anyaghullámnak abban a pontban vett amplitúdójával. Sok hullámfüggvény azonban komplex függvény, amely tartalmazza az

i

-t, azaz a

\sqrt{- 1}

imaginárius számot, ezért az anyaghullám amplitúdója is komplex mennyiség.

Szerencsére a hullámfüggvény abszolút értékének négyzete,

| ψ |^{2}

pozitív értékű valós függvény, és értéke megadja az elektron előfordulási valószínűségét az atomon belül egy adott térrészben. Ezt a

| ψ |^{2}

függvényt szokás valószínűségi sűrűségfüggvénynek nevezni.

Az elektron valószínűségi sűrűségfüggvényét sokféleképpen lehet szemléltetni. Például

| ψ |^{2}

-et egy olyan ábrával szemléltethetjük, melyen a szín változó intenzitása mutatja meg az elektron adott térrészben való megtalálásának valószínűségét. Minél nagyobb eséllyel található az elektron egy adott részen, annál erősebb ott a szín. Az alábbi ábra a gömb alakú 1s, 2s és 3s pályák valószínűségi sűrűségfüggvényének keresztmetszetét mutatja.

Figyeld meg, hogy a 2s és 3s pályáknak vannak csomófelületei: olyan területek, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 0%. Ezek a csomófelületek hasonlóak az állóhullámok csomópontjaihoz, amiket az előző részben tárgyaltunk. A 2s és 3s pályák különböző színű részei a azok különböző fázisú részeit mutatják, melynek fontos szerepe lesz a kémiai kötéseknél.

Az atompályák elektronjainak előfordulási valószínűségét másképpen is szemléltethetjük: olyan diagramon is, ahol azok felületi sűrűségét ábrázoljuk a magtól mért

r

távolság függvényében.

A radiális sűrűség az elektron előfordulásának valószínűsége egy

r

sugarú vékony gömbhéjban. Az ezt mutató ábrát radiális valószínűségi diagramnak nevezik. A fenti ábrán láthatunk ilyeneket az 1s, 2s és 3s pályákra. Figyeld meg, hogy a pályaenergiának 1s-től a 2s-en át a 3s-ig való növekedésével nő annak a valószínűsége, hogy az elektron a magtól távolabbi gömbhéjban található.

A Schrödinger-egyenlet megoldásakor kapott

ψ

hullámfüggvény egy adott atompályához tartozik. Minden atompályának van négy kvantumszáma, amelyek kijönnek az egyenletből. A négy kvantumszám együtt tekinthető az elektron „irányítószámának”, mely megadja a pályáját az atomon belül. A négy kvantumszám a következő:

$n$ ‍, a főkvantumszám, leginkább ezen múlik a pálya energiája. Az azonos $n$ ‍ értékű pályák alkotnak egy héjat.
$l$ ‍, a mellékkvantumszám, ez adja meg a pálya alakját. Az azonos $n$ ‍ és különböző $l$ ‍ értékű pályák alkotnak egy alhéjat.
$m_{l}$ ‍, a mágneses kvantumszám a pálya térbeli irányultságával függ össze.
$m_{s}$ ‍, a spinkvantumszám az elektron spinjét jelzi. Az elektron spinje mutathat fölfelé $(m_{s} = + \frac{1}{2})$ ‍ vagy lefelé $(m_{s} = - \frac{1}{2})$ ‍.

Ha részletesebben érdekel, hogyan határozzuk meg a kvantumszámokat, nézd meg ezeket a videókat a kvantumszámokról, illetve az első négy héj kvantumszámainak felírásáról.

Az atompályák alakja

Eddig csak a gömb alakú s pályákat vizsgáltuk, amelyek esetében a valószínűségi sűrűségfüggvényt csak a magtól mért

r

távolság határozta meg. A többi (p, d, f) pályán azonban az elektron előfordulási valószínűségére már az atommag körüli irány is hatással van. Ez változatosabb pályaalakokhoz vezet, amelyeket a következő ábrán láthatunk.

A p pályák súlyzóra emlékeztető alakúak, melyek valamelyik koordinátatengely (

x, y, z

) irányába rendeződnek. Az öt d pályából négynek különböző irányítottságú négylevelű lóherére emlékeztető alakja van, egy ötödik pedig emlékeztet egy p pályára, melynek csomósíkja mentén egy lyukas fánkra hasonlító gyűrű van. Az f pályák alakját már nem is érdemes megpróbálni ilyen analógiákkal jellemezni.

Az elektron spinje: a Stern–Gerlach-kísérlet

Az utolsóként tárgyalandó kvantumos tulajdonság az elektron spinje. 1922-ben Otto Stern és Walther Gerlach német fizikusok feltételezték, hogy az elektronok parányi rúdmágneshez hasonlóan viselkednek, mindegyiküknek van egy északi és egy déli pólusa. Az elképzelés ellenőrzésére ezüstatomokból álló sugarat lőttek egy olyan állandó mágnes pólusai közé, melynek az északi pólusa erősebb volt a délinél.

A klasszikus fizika szerint külső mágneses térben a dipólus orientációja meghatározza, merrefelé hajlik el a sugár. Mivel egy rúdmágnes orientációja a külső mágneses térhez képest nagyon sokféle lehet, arra számítottak, hogy az atomok különböző mértékben térülnek el, szétterülő eloszlást eredményezve. Ehelyett azt találták, hogy határozottan kétfelé oszlottak az északi, illetve a déli pólus irányába. Nézd meg ezt a látványos videót, amelyből világosan kiderül a feltételezett és a kísérletben tapasztalt eredmény is!

Ezek a kísérleti eredmények megmutatták, hogy a szokásos rúdmágnesekkel ellentétben az elektronoknak csak kétféle orientációjuk lehet: mutathatnak a mágneses térrel azonos, vagy ellentétes irányba. Ezt, hogy az elektronok csak kétféle mágneses állapot egyikében létezhetnek, a klasszikus fizika nem tudta megmagyarázni. Az elektronoknak ezt a tulajdonságát a tudományban spinnek nevezik: bármely elektron spinje vagy fölfelé, vagy lefelé mutat. Néha az elektronspint úgy jelöljük, hogy az elektronokat fölfelé (

↑

) vagy lefelé (

↓

) mutató nyílként ábrázoljuk.

Az elektronspin egyik következménye az, hogy egy pályán legfeljebb két elektron lehet, és ezeknek különböző spinűeknek kell lenniük. Ez a Pauli-féle kizárási elv.

Összefoglalás

Louis de Broglie javasolta, hogy minden részecskét tekinthetünk anyaghullámnak is, melynek $λ$ ‍ hullámhosszát a következő egyenlet adja meg:

$λ = \frac{h}{m v}$ ‍

Erwin Schrödinger alkotta meg a kvantummechanikai atommodellt, mely az elektronokat anyaghullámként értelmezi.
Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet ( $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍) megoldásaként megkaphatjuk a $ψ$ ‍ hullámfüggvényeket, melyek mindegyike az elektron egy-egy lehetséges kötési energiájához, $E$ ‍-hez tartozik.
A hullámfüggvény abszolút értékének négyzete, $| ψ |^{2}$ ‍, egy elektron előfordulásának a valószínűségét adja meg az atomon belüli adott térrészben.
Az atompálya definíciója: az atomon belül az a térrész, ahol az elektron előfordulási valószínűsége 90%.
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kimondja, hogy az elektron impulzusa és helyzete nem lehet tetszőlegesen pontos. Ha a helyzete nagyon pontosan meghatározott, az impulzusa kevésbé az, és megfordítva.
Az elektronoknak van egy spinnek nevezett belső tulajdonságuk. Egy elektron spinje két értéket vehet fel, mutathat felfelé vagy lefelé.
Ha egy atompályán két elektron van, a spinjüknek ellentétes irányúnak kell lennie.

Hivatkozások

Ez a tananyag az alábbi cikkek alapján készült:

“Quantum Mechanics and Atomic Orbitals” UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
"Representations of Orbitals" UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
"Electronic Orbitals" UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0

A módosított cikk a CC-BY-NC-SA 4.0 licenc által engedélyezett.

A Stern-Gerlach hatás videója Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.

További hivatkozások

Zumdahl, S.S., and S. A. Zumdahl. Atomic Structure and Periodicity. Chemistry, 290-294. 6. kiadás Boston, MA: Houghton Mifflin Company, 2003.

Kotz, J. C., P. M. Treichel, J. R. Townsend, and D. A. Treichel. The Modern View of Electronic Structure: Wave or Quantum Mechanics. Chemistry and Chemical Reactivity, Instructor's Edition, 234-237. 9. kiadás Stamford, CT: Cengage Learning, 2015.

A Stern-Gerlach kísérlet részletesebb magyarázatát sok hasznos képpel lásd itt: http://www.thephysicsmill.com/2015/02/22/the-stern-gerlach-experiment/.

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.