Bevezetés a hasonló háromszögek világába

Ha összehasonlítjuk az ABC és XYZ háromszöget, elég egyértelmű, hogy nem egybevágóak, hiszen különböző hosszúságúak az oldalaik. Viszont látszik egy érdekes kapcsolat ezek között a háromszögek között. Egyrészt a megfelelő szögeik megegyeznek, tehát ez a BAC szög itt ugyanakkora, mint az XYZ szög, a BCA szög ugyanakkora, mint az YZX szög, és az ABC szög nagysága egyenlő az XYZ szög nagyságával. Tehát a megfelelő szögeik megegyeznek, és azt is láthatjuk, hogy az oldalaik csak egymás felnagyított változatai. Tehát ahhoz, hogy az XZ hosszából megkapjuk AC-t, szorozzuk meg 3-mal, íme, megszoroztuk 3-mal. Ahhoz, hogy AB hosszát megkapjuk, ami az XY-nak megfelelő oldal, szorozzuk meg 3-mal XY hosszát. Meg kell szoroznunk 3-mal. Végül ahhoz, hogy BC hosszát kiszámoljuk, vegyük az YZ hosszát és szintén szorozzuk meg 3-mal. Tehát lényegében az ABC háromszög az XYZ háromszög felnagyított változata. Ha ugyanaz lenne a méretük, akkor egybevágó háromszögek lennének, de az egyik nagyobb, mintha felfújták volna a másikat, vagy fordítva: ez egy kicsinyített változata ennek itt. Ha minden oldalhosszt beszorzol 3-mal, megkapod ezt a háromszöget. Ezért nem hívhatjuk őket egybevágónak, de mégis ez egy különleges kapcsolat, és ezt a különleges kapcsolatot hasonlóságnak nevezzük. Úgy írjuk, hogy az ABC háromszög hasonló – és itt figyeljünk, hogy a megfelelő oldalak ugyanabban a sorrendben legyenek – tehát az ABC háromszög hasonló az XYZ háromszöghöz. Az alapján amit az imént láttunk, háromféle megközelítés lehetséges. Ezek egymással egyenértékűen fejezik ki a hasonlóságot. Az első megközelítésben úgy gondolunk az egyik háromszögre, mint a másik arányosan felnagyított vagy lekicsinyített változatára. Amikor egybevágóságról volt szó, akkor teljesen meg kellett egyezniük, elforgathattuk, eltolhattuk, megfordíthattuk, de mindezekkel együtt lényegében megegyeztek. Hasonlóság esetén forgathatod, eltolhatod, megfordíthatod, és felnagyíthatod vagy lekicsinyítheted, ahhoz, hogy hasonlóak legyenek. Vegyük például a CDE háromszöget. Ha tudjuk, hogy CDE egybevágó az FGH háromszöggel, akkor azt is tudjuk, hogy hasonlóak, egy 1-es szorzóval nagyítjuk őket. Így akkor azt is tudjuk, hogy a CDE hasonló az FGH háromszöghöz. Fordítva viszont nem mondhatjuk. Ha az ABC háromszög hasonló az XYZ háromszöghöz, akkor nem biztos, hogy egybevágóak. Láthatjuk ebben a konkrét példában, hogy határozottan nem egybevágóak, tehát ez az egyik módja annak, ahogyan a hasonlóságra gondolhatunk. A másik módja az, hogy a megfelelő szögek páronként megegyeznek, tehát amikor hasonlóak, akkor a megfelelő szögeknek ugyanakkoráknak kell lenniük. A megfelelő szögek... mindig elrontom, amikor ezt betűzöm: két r és egy s [angolul]. A megfelelő szögek megegyeznek, tehát ha az ABC háromszög és az XYZ háromszög hasonló, az egyenértékű azzal, hogy az ABC szög ugyanakkora, vagy mondhatjuk azt, hogy nagysága egyenlő az XYZ szögével. A BAC szög ugyanakkora, mint az YXZ szög, és végül az ACB szög nagysága megegyezik az XZY szög nagyságával. Tehát ha van két háromszög és minden szögük megegyezik, akkor hasonlóak, vagy ha van két háromszög, amiről azt tudjuk, hogy hasonlóak, akkor tudhatod, hogy a megfelelő szögeik megegyeznek. Az utolsó megközelítésben úgy gondolhatsz rá, hogy az oldalak egymás felnagyított képei, tehát az oldalakat ugyanolyan arányban nagyították vagy kicsinyítették. Ebben a példában itt a hasonlóság aránya 3 volt, de nem kell mindig 3-nak lennie, csak az a lényeg, hogy megegyezzen az arányossági tényező minden oldal esetén. Ha ezt az oldalt 3-szorosára növelnénk, és ezt csak 2-szeresére, akkor már nem hasonló háromszögekkel lenne dolgunk. De ha mindent 7-szeresére nagyítanánk, akkor hasonló lenne, addig, amíg mindegyiket ugyanolyan arányban nagyítod vagy kicsinyíted. Úgy is elképzelheted... – még mindig szemléltetni szeretném ezeket a háromszögeket, hadd rajzoljam le újra, egy kicsit egyszerűbben, most már általánosságban mondom, nem egy konkrét példára vonatkoztatva. Tehát ha azt mondjuk, hogy ez A, B és C, ez meg itt X, Y és Z. Csak újra lerajzoltam őket, hogy hivatkozni tudjak rájuk, amikor ide leírom. Amikor azt mondjuk, hogy ez a két dolog hasonló, úgy értjük, hogy a megfelelő oldalaik átméretezett megfelelői egymásnak. Mondhatjuk úgy, hogy az AB hossza egy hasonlósági arány, – ami lehet 1-nél kisebb is – tehát egy hasonlósági arány szorozva az AB-nek megfelelő XY oldal hosszával. És tudom, hogy az AB az XY-nak felel meg, a sorrend miatt, amit a hasonlósági állításnál írtam. Tehát valamely hasonlósági arány szorozva XY-nal. Tudjuk, hogy a BC hossza ugyanez a hasonlósági arány szorozva az YZ hosszával. Ugyanaz a hasonlóság aránya. És tudjuk, hogy az AC hossza egyenlő a hasonlóság aránya szorozva XZ-vel. Tehát XZ, és a hasonlósági arány. Ha az ABC nagyobb, mint az XYZ, akkor a k nagyobb 1-nél. Ha pontosan ugyanakkorák, vagyis lényegében egybevágóak, akkor a k értéke 1. Ha az XYZ nagyobb, mint ABC, akkor a hasonlóság aránya kisebb, mint 1. Ezt az állítást máshogy is leírhatnánk. Figyeld meg, hogy csak azt mondom, hogy a megfelelő oldalak egymás felnagyított változatai. Az első állítás itt, ha elosztod mindkét oldalt XY-nal, akkor az AB per XY egyenlő a hasonlósági aránnyal. A másik állítás pedig az, hogy ha mindkét oldalt elosztod YZ-vel, – hadd írjam ugyanazzal a színnel – megkapod a BC per YZ-t, ami egyenlő a hasonlósági aránnyal. Ne feledd, a példában azt mutattuk meg, hogy ez az arány 3, de itt általánosan beszélünk a hasonlóságról, tehát végig ugyanaz a hasonlóság aránya. Végül ha mindkét oldalt elosztod az XZ közti távolsággal, vagyis az XZ szakasz hosszával, akkor AC per XZ-t kapsz, ami szintén egyenlő k-val. Úgy is elképzelheted, hogy ez a megfelelő oldalak közti arány. Figyeld meg, hogy az AB és XY aránya, a BC és YZ aránya, az AC és XZ aránya, tehát a megfelelő oldalak aránya ugyanazt az állandót adja. Vagy úgy is írhatod, hogy AB per XY egyenlő BC per YZ-vel, ami egyenlő AC per XZ-vel, ami egyenlő a hasonlóság arányával, ami egyenlő k-val. Tehát ha hasonló háromszögeid vannak, – és hadd rajzoljak ide egy nyilat –, tehát a hasonló háromszögek felnagyított változatok és megfordíthatod, forgathatod, mint az egybevágóságnál. Emellett felnagyíthatod vagy kicsinyítheted, ami azt jelenti, hogy a megfelelő szögek mind egybevágóak, ami azt is jelenti, hogy a megfelelő oldalak aránya ugyanaz az állandó minden oldalpár esetén, vagyis a megfelelő oldalak aránya állandó.