Bevezető: mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenletek

Próbálkozzunk meg most ezzel a kicsit bonyolultabb egyenlettel is! 2x + 3 = 5x - 2. Ez elsőre ijesztőnek tűnhet, mert az egyenlet mindkét oldalán van x, és az egyik oldalon kivonás van, a másikon pedig összeadás. Ezt vajon hogyan oldjuk meg? Többféleképpen is meg lehetne oldani, de mindig az a fontos, hogy végül az egyik oldalon csak x legyen. Ha pedig ez megvan, hogy x egyenlő valamivel, akkor már kész is vagy! Megoldottad az egyenletet, és aztán le is tudod ellenőrizni. Először elvégzünk pár műveletet mindkét oldalon, és a célunk ezzel az, hogy végül csak egy x maradjon az egyiken. Viszont ebben a videóban szeretném majd közben azt is megmutatni, hogy mi is történik. Nem szeretném, ha csak a szabályokat vagy a megoldás lépéseit ismernéd meg, mert akkor idővel elfelejtenéd, hogy mi szabályos lépés és mi nem az. Ha látod, hogy mi történik, azaz a logikát is, akkor könnyebben megérted majd, hogy mit szabad megtenni. Úgyhogy nézzük is! Itt lejjebb fogom ábrázolni ezt, csak hogy legyen helyem majd levezetni az egyenletet. A bal oldalon van 2 x, ami felbontva x + x. Aztán volt még + 3, amit úgy fogok felírni, hogy plusz 1 + 1 + 1, ez ugye egyenlő 3-mal. Akár 3 kört is rajzolhattam volna, de szerintem így is érthető. És ez egyenlő a jobb oldallal, azaz 5x - 2-vel. Az 5x-et mondjuk kékkel fogom jelölni. Egyenlő 5x-szel: 1, 2, 3, 4, 5. És végül a mínusz 2, a -2 felírható úgy, hogy - 1 - 1. És persze ezt nem kell mindig megcsinálnod, amikor megoldasz egy egyenletet. Elég, hogyha az algebrai lépéseket elvégzed. Ezt most csak azért csinálom, hogy szemléltessem, hogy miről is szól az egyenlet. A bal oldalon a 2x van + 3. A jobb oldalon pedig 5x - 2. Most azt szeretnénk, hogy az egyenlet egyik oldalán csak x-ek legyenek. Ezt hogy tudnánk elérni? Két módszer is lehetséges. Az egyik az, hogy kivonhatjuk ezt a két x-et mindkét oldalból, ami eléggé adja magát, így akkor 5x - 2x lesz, és így pozitív lesz az x-ek száma a jobb oldalon. A másik módszer pedig az, hogy kivonhatnánk 5x-et mindkét oldalból. És ez a klassz az algebrában: ha megengedett műveleteket végzel, akkor előbb-utóbb eljutsz a helyes megoldáshoz. Csináljuk most úgy, hogy kivonunk 2x-et mindkét oldalból! Szóval elveszünk két x-et a bal oldalból. De ha elveszünk két x-et a bal oldalból, akkor a jobb oldalból is el kell vennünk két x-et. Így. És hogy nézne ki ez az algebra nyelvén? Nézzük is meg! Kivonunk 2x-et mindkét oldalból. Ugye ezek a műveletek, amiket az egyenlet mellé írunk, ezek mindkét oldalra vonatkoznak. A Khan Academyn találkozhatsz azzal a fajta jelöléssel is, ahol mindkét oldal alá leírják a műveleteket, de mindkét fajta jelölés pont ugyanazt jelenti. Mi lesz a bal oldalon így? 2x + 3 - 2x ugye a 2x és a -2x kiejti egymást, és így csak a 3 marad. Az ábrán is ez látszik. 2x-et elvettünk, és így maradt az 1 + 1 + 1. A jobb oldalon pedig: 5x - 2 - 2x. Az ábrán is látjuk: 5x-ből elvettünk 2x-et, így maradt ugye 1, 2, 3 x. Tehát a 3 itt a bal oldalon egyenlő 3x... és még itt van a -2, 3x-2-vel. Normál esetben persze ez az ábra nem lenne itt. Ezt csak szemléltetésnek írtam ide. És most hogyan tovább? Ne felejtsd el, az a célunk továbbra is, hogy x-re rendezzük az egyenletet. Most minden x a jobb oldalon van, és ha meg tudnánk még szabadulni ettől a -2-től a jobb oldalon, akkor csak az x-es tag maradna. Csináljuk is meg! Hogy tudnánk megszabadulni ettől a -2-től? Nézzük itt alul! Itt van -1 és még egy -1. Hozzáadhatunk kettőt mindkét oldalhoz. Gondoljuk is át, hogy hogy nézne ez ki! Ha hozzáadunk kettőt, mondjuk így: + 1 + 1, akkor így jól látszik, hogy hozzáadunk kettőt. És persze hozzá kell adunk kettőt a bal oldalhoz is: 1 + 1. És mi is történik itt? Itt is megcsinálom. Hozzáadunk kettőt mindkét oldalhoz. És mi történik itt a bal oldalon? 3 + 2 az egyenlő 5-tel. És ez egyenlő lesz 3x - 2 + 2-vel, – ugye a kettesek kiejtik egymást,– így marad a 3x. És ezt itt is láthatjuk alul: a bal oldalon 1 + 1 + 1 + 1 + 1 van. Ez 5 egyes, vagyis 5. A jobb oldalon pedig van a 3x, és - 1 - 1 + 1 + 1, amik kiejtik egymást. Az összegük ugye 0 lesz. Kiejtették egymást. Így marad az, hogy 5 = 3x. 1, 2, 3, 4, 5 egyenlő 3x-szel. Most már kezd kicsit zavaros lenni itt lent a dolog, úgyhogy letörlök inkább mindent, amit elvettünk, így jobban fog látszani. Ezeket mind elvettük. Aztán kicsit össszébb is húzom őket, hogy jobban követhető legyen. Szóval van 1, 2, 3, 4, 5, ez az a kettő, amit hozzáadtunk, és ez egyenlő 3x-szel. A többi kiejtette egymást, ezért nincs itt semmi. A megoldáshoz pedig most már csak annyi kell, hogy mindkét oldalt elosszuk 3-mal. Azért osztunk hárommal, mert az x szorzója három volt. A 3 az x együtthatója. Tudományosnak hangzik az a szó, hogy együttható, de ez egyszerűen azt a számot jelenti, amelyikkel az ismeretlent szorozzuk. Az ismeretlen pedig az, amit ki kell számolnunk. Ugye most épp az x. Ezt a 3-mal való osztást egy kicsit nehéz lenne itt alul szemléltetni, de ha elosztjuk mindkét oldalt hárommal, akkor mit is kapunk? A bal oldalon, 5-öt osztunk 3-mal, ami egyszerűen 5/3-ad. Az egyenlet jobb oldalán pedig 3x-et osztunk 3-mal, azaz a hármasok kiesnek, így a jobb oldalon csak x marad. Azaz 5/3 = x. És ez egy kicsit más, mint amit eddig láttunk. Az x most itt a jobb oldalon van, és az érték van a bal oldalon. És ez így is teljesen rendben van. Az 5/3 = x pontosan ugyanaz, mintha azt mondnám, hogy x = 5/3. Ezek itt egyenértékűek. Néha talán jobban hozzá vagyunk szokva ehhez az alakhoz, de ez a másik is pont ugyanazt jelenti. Ha pedig vegyes számként szeretnénk felírni, akkor ugye a 3 megvan az 5-ben egyszer, és maradt a 2. Tehát ez 1 egész és 2/3 lesz. Azaz a megoldás felírható úgy is, hogy x = 1 2/3. Azt pedig már rád bízom, hogy behelyettesítsd az eredeti egyenletbe, és ellenőrizd, hogy a megoldás helyes-e. De azért nézzük meg az ábrán is, hogy hogy is jött ki az 1 2/3. Az egyesek helyett négyzeteket fogok rajzolni. Tehát lesz 5 négyzetem a bal oldalon. Van 1, 2, 3, 4 és 5. És ez egyenlő 3x-szel. x + x + x. Aztán, itt elosztottuk mindkét oldalt 3-mal. Úgyhogy csináljuk meg ezt itt lent is! Hogy nézne ki ez az osztás az ábrán? A jobb oldal az eléggé egyértelmű. Felosztjuk ezt a 3 x-et 3 részre. Az lesz, hogy 1, 2, 3. Ugye 1, 2, 3 rész. És hogy osztjuk fel itt az ötöt három részre? Pontosabban hogy osztjuk fel az ötöt három egyenlő részre? Az algebrai megoldás a segítségünkre lesz. Mindegyik csoportban 1 egész és 2/3 lesz. 1 egész és még 2/3. A következő négyzet 2/3-a. Így van 1 egészünk és 2/3-unk. A maradék rész itt 1/3. Ehhez kell még egy egész. Így már 1 egész és 1/3, és kell még egy 1/3, ami itt lesz. A maradék rész pedig 2/3 és egy egész. Felosztottuk az 5-öt 3 egyenlő részre. Mindjárt érthetőbbé teszem: ez itt 1 egész és 2/3. 1 2/3. Ez itt 1/3, ez egy másik 1/3, ugye együtt 2/3. És itt egy egész. Így ez is 1 2/3. Végül pedig ez itt 2/3 plusz 1 egész, úgyhogy ez is 1 2/3. Tehát, ha mindkét oldalt hárommal osztod, 1 2/3-ot kapsz. Mindegyik rész a bal oldalon 1 2/3. Vagyis 5/3. A jobb oldalon pedig csak az x van. Minden stimmel, csak kicsit nehezebb törtekkel ábrázolni.