Tizedes törtek szorzása: helyi érték

Nézzük meg, hogy ki tudjuk-e számolni, hogy mennyi 2,91 ⋅ 3,2! Mint mindig, azt javaslom, hogy állítsd meg a videót, és próbáld meg először önállóan kiszámolni. Én úgy gondolkodnék, hogy az mondom, hogy a 2,91 ugyanaz, mint 291 : 100-zal. És tudjuk, hogy ha valamit elosztunk 100-zal, akkor a tizedesvesszőt 2-vel balra visszük. Egy, kettő. És így visszakapnánk a 2,91-ot. Az könnyen látható, hogy ha venném egyszerűen csak a 2-t, és megszoroznám 100-zal, akkor 200-at kapnék, vagy ha venném a 200-at, és elosztanám 100-zal, akkor 2-t kapnék. Úgyhogy logikus, hogy 2,91 ugyanaz, mint 291 : 100. Ugyanezen az elven átírhatjuk a 3,2-et is, ez ugyanaz, mint 32 : 10. Miért is hasznos nekünk ez az átírás? Azért, mert így láthatjuk, hogy 2,91 ⋅ 3,2 – ezt a szorzatot átírhatjuk úgy, hogy a 2,91 helyett írhatnám azt, hogy 291 : 100, és szorozva ugye a 3,2-del, ami helyett írhatnám azt, hogy 32 : 10. Ezt pedig folytathatnám, itt felcserélhetem a sorrendet, és az lesz, hogy 291 ⋅ 32 : 100 : 10. Tehát ez egyenlő 291 ⋅ 32, és ha osztok 100-zal, majd osztok 10-zel, akkor tulajdonképpen 1000-rel osztok –, vagyis ezt a részt úgy is írhatjuk, hogy osztva 1000-rel. Ez miért érdekes nekünk? Hát, azt már tudjuk, hogy hogyan kell összeszorozni 291-et 32-vel és azt is tudjuk, hogy hogyan vigyük arrébb a tizedesvesszőt, amikor osztunk 1000-rel. Számoljuk is ki a 291 ⋅ 32-t! Ideírom: 291 ⋅ 32. Figyeld meg, hogy tulajdonképpen csak leírtam ezeket a számokat tizedesvesszők nélkül. Természetesen ezek a mennyiségek különböznek ezektől, ebből a szorzatból úgy kapom majd vissza ezt a szorzatot, hogy ezt elosztom 1000-rel. De foglalkozzunk most ezzel! Végezzük is el a szorzást! 3-szor 1 az 3, 3-szor 9 az 27, ebből leírom a 7-et, marad 2, 3-szor 2 az 6, meg 2 az 8. Aztán nézzük a 2-est! 2-szer 1 az 2, ezt eggyel jobbra írjuk. 2-szer 9 az 18, leírom a 8-at, marad 1, 2-szer 2 az 4, meg 1 az 5. Most pedig adjuk össze! Ez itt 2. 8 meg 3 az 11, leírom az 1-et, marad 1. 5 + 7 + 1 = 13, marad 1, és 8 + 1 = 9. 9312-t kaptunk. Tehát ez a egyenlő lesz 9312 és osztva még 1000-rel. És ez mennyi lesz? Kezdünk 9312-vel, és az 1000-rel való osztás egyenértékű azzal, hogy a tizedesvesszőt 3-mal balra visszük, tehát osztva 10-zel, osztva 100-zal, osztva 1000-rel. 9,312 lesz. Azaz, ha ezt elosztjuk 1000-rel, akkor 9,312-et kapunk. Van itt valami nagyon érdekes dolog. Az eredeti szorzásban összesen 1, 2, 3 számjegy volt a tizedesvesszők mögött, és a szorzatban is összesen 1, 2, 3 számjegy van a tizedesvesszőtől jobbra. Miért van ez így? Gondolkodjunk el ezen! Ezt átalakítottuk úgy, hogy 291 : 100, ezt pedig úgy, hogy 32 : 10. Ha osztunk 100-zal, és osztunk 10-zel, akkor ez lényegében ezt a 3 tizedesjegyet jelenti. Tehát tulajdonképpen először megszabadulunk ezektől a tizedesjegyektől, de aztán az osztással visszahozzuk ezt a 3 tizedesjegyet. Vagyis itt eltoljuk a tizedesvesszőt 3 egységgel jobbra, egy, kettő, három, majd, hogy az eredmény jó legyen, vissza kell léptetnünk 3-mal balra, egy, kettő, három. Tehát ebből ezt csináltuk, hogy egy sima szorzás legyen. Ebből úgy lett ez, hogy megszoroztuk 100-zal, ebből pedig úgy lett ez, hogy ezt megszoroztuk 10-zel. Szóval összességében 1000-rel szoroztunk, ha mindkettőt nézzük, Ezért aztán a végén 1000-rel kell osztanunk, hogy a helyes eredményt megkapjuk. Úgyhogy ezért van itt is 3 tizedesjegy a tizedesvesszőtől jobbra, és itt is 3 számjegy a tizedesvesszőktől jobbra.