Zárójelfelbontás változókkal

Itt az a feladat, hogy bontsuk fel a zárójelet. 1/2-szer (2a - 6b + 8). Át is másoltam a feladatot egy másik lapra, hogy tudjunk rajta dolgozni. Itt is van. 1/2-szer (2a - 6b + 8). Leírom újra, különböző színekkel jelölve, hogy könnyebb legyen majd követni. Szóval 1/2-szer 2a - 6b, és itt van még a +8. Ezt az egészet itt a zárójelben 1/2-del kell szoroznunk. Ha ezt a zárójelben lévő kifejezést megszorzom 1/2-del, az azt jelenti, hogy minden egyes tagot meg kell szoroznom 1/2-del. Azaz megszorzom ezt 1/2-del, aztán ezt is, és ezt is. Nézzük is meg! Ugyanazokkal a színekkel fogom jelölni. 1/2-szer 2a, mínusz 1/2-szer 6b, plusz 1/2-szer 8. Ebből mi lesz? 1/2-szer 2 az 1, tehát ez 1a, vagy egyszerűen csak 'a' lesz. Aztán mínusz 1/2-szer 6b. És mennyi 1/2-szer 6? 1/2-szer 6 az 3, és még meg kell szoroznunk b-vel. Tehát ez -3b lesz. És van még ez az 1/2-szer 8. És 8-nak a fele az 4, vagy úgy is mondhatnánk, hogy 8 fél az egyenlő 4 egésszel. Tehát ez itt 4 lesz. Úgyhogy végül ez az egész egyenlő lesz a - 3b + 4-gyel. Visszaváltok a feladathoz, és aztán be is írom ezt a feladatba: a - 3b + 4. És ha megfigyeled, ez egyszerűen minden egyes tagnak a fele. A 2a fele az 'a', a -6b fele az -3b, és a +8 fele az +4. Ellenőrizzük is a megoldást! És helyes. Nézzünk meg még egyet! Itt az van, hogy alakítsd szorzattá a következő kifejezést úgy, hogy kiemeled a legnagyobb közös osztót. Tehát van 60m-40, és ki kell emelnünk a legnagyobb közös osztót! Át is váltok megint a jegyzetfüzetre. Tehát az volt a feladat, hogy 60m mínusz 40. És mennyi a 60m és a 40 legnagyobb közös osztója? Lehet neked is egyből szembetűnne például a 10. A 60m-et felírhatnánk úgy is, hogy 10-szer 6-szor m, és aztán a 40-et is felírhatjuk a 10 és a 4 szorzataként. És ebből már ránézésre tudom, hogy a 10 az nem a legnagyobb közös osztó. Honnan is tudom ezt? Onnan, hogy ennek a 6-nak és ennek a 4-nek ennek a kettőnek van még egy 1-nél nagyobb közös osztója. Ugye mindkettő osztható még 2-vel is. Ha a legnagyobb közös osztót emeltük volna ki, akkor ezeknek a megmaradt tényezőknek nem lett volna 1-nél nagyobb közös osztója. Úgyhogy most nézzük meg mégegyszer, hogy mi lehet a 60 és a 40 legnagyobb közös osztója. Ugye az előbb láttuk, hogy a 10 mellett még a 2 is osztó volt. Úgyhogy nézzük! 2-szer 10 az 20. Azaz ki tudnánk emelni 20-at is. És így a 60m-ből az lenne, hogy 20-szor 3, ugye 20-szor 3m. A 40 pedig felbontható a 20 és a 2 szorzatára. A 3m-nek és a 2-nek nincs 1-nél nagyobb közös osztója. És innen tudjuk, hogy a 20-szal a legnagyobb közös osztót emeltük ki. És nem csodálnám, ha úgy látnád te is, hogy ez egy elég furcsa módszer, de van szerencsére egy másik mód is, amivel megtalálhatnánk a legnagyobb közös osztót. Mégpedig az, hogy a számokat prímtényezőkre bontjuk. Nézzük először a 60-at! Felírjuk ide a 60-at. A 60-ban megvan a 2, 30-szor. Aztán a 30-ban is megvan a 2, 15-ször. A 15-ben megvan a 3, 5-ször. És ebben az 5-ben megvan az 5, 1-szer. Ez lesz itt a 60 prímtényezőkre bontva. 2⋅2⋅3⋅5. Aztán felbonthatjuk a 40-et is. A 40-ben megvan a 2, 20-szor. 20 osztva 2-vel az 10. 10 osztva 2-vel az 5. És 5 osztva 5-tel az 1. Ez lesz tehát itt a 40 prímtényezőkre bontva. 2⋅2⋅2⋅5. És ahhoz, hogy a legnagyobb közös osztót megkapjuk, meg kell találnunk az összes közös tényezőt. Tehát itt van két 2-es és egy 5-ös. És itt is van két 2-es és egy 5-ös. Ugye nem jelölhetném be itt mind a három 2-est meg az 5-öst is, mert a másik oldalon csak két darab 2-es van, nem 3. Tehát van két 2-esünk és egy 5-ösünk. És itt is két 2-esünk és egy 5-ösünk van. Úgyhogy a legnagyobb közös osztó az a 2-szer 2-szer 5 lesz, és 2⋅2⋅5, avagy 4⋅5, az pedig 20. A legnagyobb közös osztójuk a 20. És ez a prímtényezős felbontás egy biztos mód arra, hogy megtaláld a legnagyobb közös osztót. És most hogy tudjuk, hogy a 20 a legnagyobb közös osztó, emeljük is ki! Ez annyi lesz, mint 20-szor zárójelben 3m, – ugye mert 60m osztva 20-szal, az 3m–, aztán mínusz, 40 osztva 20-szal, az 2, azaz mínusz 2. Váltsunk is vissza és írjuk is be a feladatba! 20-szor (3m - 2). És örülünk, mert helyes a válasz. Tényleg a legnagyobb közös osztót emeltük ki! Ez a 3m és a 2, vagyis a 3 és a 2 ezek relatív prímek. Relatív prímek, ami azt jelenti, hogy az egyetlen közös osztójuk az 1.