Geometriai fogalmak és jelölések

Ebben a videóban szeretném bemutatni a geometria nyelvét, vagyis olyan jelöléseket, amiket akkor használunk, amikor geometriáról van szó. Azt hiszem, az lesz a legjobb, ha azzal kezdjük, hogy mit is jelent a geometria szó. Lehet, hogy ismerős a szó első része, ez itt, a szó első fele, hogy „geo”. Ugyanezt látod más szavakban is, mint például a geográfia, geológia. Ez a Földre utal, a geo- előtag azt jelenti, hogy a bolygónk egészével vagy annak a felszínével kapcsolatos. Aztán itt van a „metria” rész. Ez benne van példásul a trigonometria szóban is. A metria a görög mérés szóból származik, méréssel kapcsolatos tudományra utal. Tehát amikor geometriáról beszélünk, akkor maga a szó a Föld és a mérés szavakból tevődik össze. És ez nem is olyan rossz név, mert a geometria egy ilyen alapvető tantárgy. A geometria az egy tudományág, ami által azt próbáljuk megérteni, hogy az alakzatok és a tér, a dolgok, amiket látunk, hogyan viszonyulnak egymáshoz. Szóval amikor elkezdesz geometriát tanulni, akkor egyenesekről tanulsz, a háromszögekről, a körről, tanulsz még a szögekről is. Ahogy haladunk előre, egyre pontosabban fogjuk meghatározni ezeket a dolgokat. A geometriában szabályszerűségek is vannak, vannak térbeli alakzatok, tehát szinte minden, amit látunk – az összes szemmel látható matematikai dolog – valamilyen módon a geometriába tartozik. Most, hogy ezt megbeszéltük, kezdjük az alapoktól, a geometria kiindulópontjától, és innen építkezhetünk majd tovább. Kezdjük tehát a ponttal! A pont csak egy kis pont itt a képernyőn, Ezt így is fogjuk hívni. Az a legjobb a matematikában, hogy mindent elnevezhetünk. Hívhatnánk ezt tatunak is, de úgy döntöttünk, hogy pontnak hívjuk, aminek szerintem van értelme, mert a hétköznapi nyelvben is így hívjuk. Ez egy pont. Na most, a pont azért érdekes, mert ez csak egy hely. Nem tudunk elmozdulni a pontban. Ha itt lennék ebben a pontban, és elmozdulunk bármelyik irányba, akkor már nem ebben a pontban lennénk. A pontban nem lehet elmozdulni. A pontok mind különbözők. Például ez itt egy pont, de ez itt egy másik pont, és ez is egy újabb pont, és ez is egy pont. Hogy hivatkozni tudjunk a különböző pontokra – mert nem adatik meg mindenkinek a luxus, hogy ilyen szép színes tollai vannak, mint nekem, én mondhatom azt, hogy a zöld pont, a kék pont, a rózsaszín pont –, a geometriában úgy kell hivatkozunk a pontokra, hogy elnevezzük őket. A pontokat általában nagybetűkkel jelöljük, tehát például legyen ez az A pont, ez legyen a B pont, ez legyen a C pont, ez pedig a D pont. Szóval ha valaki azt kéri, hogy karikázd be a C pontot, akkor tudod, hogy melyiket kell bekarikázni. Tudod, hogy ezt a pontot kell bekarikázni. Nos, ez eddig elég érdekes. Vannak ezek a pontnak nevezett dolgok, és a pontban nem lehet mozogni, a pontok csak egy, egyetlen helyet határoznak meg. De mi van akkor, ha egy kicsit el akarunk mozdulni? Mi van, ha el akarunk jutni az egyik pontból a másikba, tehát ha egy pontból indulunk, mi ez az összes pont, ami – beleértve a kiindulópontot is –, ami összeköti az egyik pontot a másikkal, tehát mi ez az összes pont? Hogy nevezzük ezt a dolgot, ami összeköti az A-t és a B-t – hétköznapi szóhasználattal – egy ilyen egyenes vonallal? Nos, ezt úgy nevezzük, hogy szakasz. A hétköznapi beszédben hívhatjuk egyenesnek, de mi szakasznak nevezzük, mert majd látni fogod, hogy a matematikában az egyenes egy kicsit mást jelent. Tehát ez itt egy szakasz. Ha összekötjük a D-t és a C-t, akkor ez is egy szakasz lesz. Még egyszer: mivel nem mindig van lehetőségünk színeket használni – ez a rózsaszín szakasz, ez meg a citromsárga szakasz –, a szakaszokat is elnevezzük. A legjobb módszer, ha a szakaszt a végpontjaival jelöljük – ez egy újabb fogalom –, tehát A és B egyszerűen két pont, de A és B az ennek a szakasznak a két végpontja is, mert a szakasz A-tól B-ig tart. ez egy új fogalom. Megint elmondom: hívhatnánk ezeket földimalacnak, vagy a tatu végének, de mi, matematikusok úgy döntöttünk, hogy végpontnak nevezzük, ez jó elnevezésnek tűnik. Még egyszer: valahogy jelölnünk kell ezeket a szakaszokat, amiknek megvannak a végpontjaik, és van-e jobb jelölése egy szakasznak, mint konkrétan a két végpontja? Szóval erre a szakaszra úgy hivatkozhatunk, hogy leírjuk a két végpontját egymás mellé. Ez mutatja, hogy erről a szakaszról van szó. Vagy kisbetűvel is jelölhetjük, tehát legyen ez például az 'a' szakasz. Ezt a lenti szakaszt jelölhetjük úgy, hogy DC, de úgy is írhatjuk, hogy CD, vagy mondjuk úgy, hogy c, ezek ugyanazt jelentik, ugyanerre a szakaszra vonatkoznak. és itt is, a BA, szintén ugyanezt a szakaszt jelenti. És most mondhatnád, hogy nem vagy megelégedve azzal, hogy csak A és B között lehet mozogni. És ez egy másik érdekes kérdés. Ha az A pontban vagyunk, ha csak egy pontban vagyunk, akkor egyáltalán nem tudunk elmozdulni. Semelyik irányba nem mozoghatunk, amíg egy pontban vagyunk. Ez azt jelenti, hogy nincs lehetőségünk elmozdulni. Nem mehetünk se fel, se le, se jobbra, se balra, se ki, se be a lapon, amíg ebben a pontban vagyunk. Ezért mondjuk, hogy a pontnak nincs kiterjedése, a pont nulla dimenziós. Viszont itt van ez a szakasz, vagy ez a szakasz, ezen legalább jobbra és balra mozoghatunk a szakasz mentén, mehetünk A vagy B irányába, tehát előre és hátra mozoghatunk egy dimenzióban. Ezért a szakasz egydimenziós, egydimenziós alakzat. Bár ez persze egy elég elvont fogalom. A valóságban nincsen tökéletes szakasz, mert a szakaszon fel-le nem lehet mozogni, amíg rajta vagyunk a szakaszon, míg a valóságban bárminek, amiről azt gondoljuk, hogy szakasz – mondjuk valamilyen pálcának, egy nagyon egyenes pálcának, vagy egy kifeszített zsinórnak is –, van valamennyi szélessége. Egy a valódi geometriai szakasznak nincs szélessége, csak hosszúsága van. Tehát csak egy egyenes mentén mozoghatsz rajta, ezért mondjuk, hogy egydimenziós. A pontban nem lehet egyáltalán mozogni, a szakaszon csak előre-hátra lehet menni Említettem az előbb, hogy a szakasznak van hossza. Hogyan jelöljük ezt? Ugyanúgy jelöljük, mint magát a szakaszt. Tehát ha leírom ide, hogy AB, akkor ez a szakaszt és a szakasz hosszát is jelenti. Ha mondjuk, AB egyenlő 5 egységgel – ez lehet cm, m, bármi, vagy egyszerűen csak 5 egység –, ez azt jelenti, hogy az A és a B pontok távolsága 5, ennek az AB szakasznak a hossza ebben az esetben 5. Most akkor hosszabbítsuk meg egy szakaszt! Mondjuk, csak az egyik irányba megyünk, mondjuk, elindulok A-ból, és elmegyek D-be, de menni akarok tovább, tehát 'A' irányába csak 'A'-ig mehetek, de D irányába mehetek tovább. Ez, amit most mutattam – ez tulajdonképpen hasonló a szakaszhoz, de mehetek tovább az egyik irányba akármeddig, tehát a végponton túl –, ez itt egy félegyenes. Ez a pont a félegyenes kezdőpontja. A félegyenes azért érdekes, mert ez is egydimenziós alakzat, de az egyik irányba akármeddig elmehetek, az egyik végponton túl is mehetünk. Ezt úgy jelölhetjük, hogy AD félegyenes, vagy jelölhetjük kisbetűvel is, például d félegyenes. Ebben az esetben számít a betűk sorrendje. Ha azt írnám, hogy DA félegyenes, az egy másik félegyenes lenne, azt jelentené, hogy a D-ből indulunk, és 'A' irányába haladunk, és túl is megyünk rajta. Szóval ez nem DA félegyenes, ez itt az AD félegyenes. Az utolsó dolog, – ami már biztosan eszedbe jutott –, hogy mi lenne, ha mindkét irányba folytatnánk a szakaszt? Ez az ábra egy kicsit már áttekinthetetlen, inkább rajzolok néhány másik pontot. Tehát legyen ez az E pont, és legyen ez az F pont, és tegyük fel, hogy ez az alakzat átmegy E-n és F-en, és mindkét irányba folytatódik. Ezt hívjuk a geometria nyelvén egyenesnek. Figyeld meg, hogy az egyenesnek nincs vége. Mindkét irányba bármeddig elmehetsz. A szakasznak van vége, vannak végpontjai, az egyenesnek nincsenek. Ezt az egyenest úgy jelölhetjük, hogy EF egyenes, vagy kisbetűvel, legyen ez az 'e' egyenes. Azok a dolgok, amiket a leggyakrabban fogsz látni, amikor geometriát tanulsz, azok ezek itt, mert foglalkozunk majd alakzatok oldalaival, pontok távolságával. És amikor bármi ilyenről beszélünk – olyan dolgokról, amiknek véges a hossza, olyan dolgokról, amiknek adott a hossza, amik nem mennek a végtelenbe az egyik vagy mindkét irányban –, akkor szakaszokról beszélünk. Térjünk is vissza a szakaszhoz, csak hogy beszéljünk még olyan új fogalmakról, amelyekkel találkozhatsz a geometriában. Tehát beszéljünk újra a szakaszról. Legyen ez az X pont, és ez az Y pont, és akkor ez az XY szakasz, egyszerűen így jelölöm. És van egy másik pont, nevezzük ezt a pontot Z-nek. És most bevezetek egy új fogalmat: X, Y és Z ugyanazon az egyenesen helyezkednek el – ha elképzeled, hogy ez a szakasz folytatódik mindkét irányba, és akkor ez már egy egyenes –, ilyenkor mondjuk azt, hogy X, Z és Y egy egyenesbe esnek. Ez a három pont egy egyenesbe esik. Mindegyik ugyanazon az egyenesen helyezkedik el, és mind rajta van az XY szakaszon is. Tegyük fel, hogy azt is megadták, hogy XZ egyenlő ZY-nal, és egy egyenesbe esnek. Ez tehát azt jelenti, hogy az X és Z közötti távolság egyenlő a Z és Y közötti távolsággal. Ezt néha így jelöljük, ez a távolság ugyanaz, mint ez a távolság. Szóval ezek szerint a Z pontosan középen van X és Y között. Ebben az esetben a Z pontot felezőpontnak hívjuk, a Z az XY szakasz felezőpontja, mert pontosan a középen van. Befejezésként foglaljuk össze: beszéltünk kiterjedés nélküli, nulla dimenziós dolgokról, ezek a pontok. Beszéltünk egydimenziós alakzatokról, ilyen az egyenes, a szakasz és a félegyenes. Kérdezhetnéd, hogy akkor milyenek a kétdimenziós dolgok? Ha valami kétdimenziós, az azt jelenti, hogy előre-hátra és föl-le is tudunk mozogni két különböző irányban. Tehát egy lap, ez a videó, vagyis ez a képernyő, amit nézel, az kétdimenziós alakzat. Tudunk menni jobbra és balra – ez egy dimenzió –, és mehetek fel és le is. A monitor felszíne tehát, amit most nézel, az kétdimenziós. Két irányban mozoghatunk előre és hátra, fel és le, és természetesen, ezek összegzésével bármilyen más irányba is. A kétdimenziós dolgokat síkbeli alakzatoknak nevezzük. Ha veszünk egy darab papírt, és minden irányban meghosszabbítjuk a végtelenségig, akkor az geometriai értelemben egy sík lesz. Maga a papírdarab az nem végtelen, tekinthetjük egy végtelen sík egy darabjának, hiszen az egész síknak a része. Ezt úgy hívjuk, hogy síkidom. Három dimenzióban háromdimenziós térről beszélünk. A háromdimenziós térben nemcsak jobbra-balra és fel-le mozoghatunk, mint mondjuk itt a képernyőn, hanem befelé és kifelé is. Azt is megtehetjük – megpróbálom lerajzolni –, hogy a képernyő mögé és a képernyő elé jövünk, valahogy így. És ha tanulsz majd magasabb szintű matematikát, akkor látni fogod – habár ezt elég nehéz elképzelni –, hogy elkezdjük majd tanulmányozni a háromnál több dimenziós tereket is.