Mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenségek (zárójellel)

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! 5x + 7 > 3·(x+1) Megint az a célunk, hogy az x-et, az egyenlőtlenség egyik oldalára rendezzük, de először végezzük el a szorzást a jobb oldalon. Az lesz itt, hogy 5x + 7 nagyobb, – itt szorozzunk be ezzel a 3-mal, 3 · (x+1) az ugyanaz, mint 3 · x + 3 · 1. Tehát ez 3x plusz 3·1, ami 3. Ha az x-et a bal oldalra akarjuk rendezni, akkor kivonhatunk 3x-et mindkét oldalból, mert ez ugye majd kiejti ezt a 3x-et a jobb oldalon. Vonjunk is ki 3x-et mindkét oldalból! Így a bal oldalon azt kapjuk, hogy 5x-ből 3x ami 2x, plusz a 7. És ez nagyobb, mint a 3x mínusz 3x, ezek kiejtik egymást, pont ezért vontunk ki mindkét oldalból 3x-et –, tehát ez nagyobb, mint 3. Most pedig kivonhatunk mindkét oldalból 7-et, hogy megszabaduljunk ettől a +7-től itt. Vonjunk is ki 7-et mindkét oldalból! Így a bal oldalon azt kapjuk, hogy 2x + 7 - 7, ami egyszerűen 2x. És ez nagyobb, mint 3 - 7, ami -4. Tehát azt kaptuk, hogy 2x nagyobb, mint -4. Ha pedig csak 1x-et szeretnénk itt a bal oldalon, akkor eloszthatjuk mindkét oldalt 2-vel, és mivel a 2 pozitív szám, így nem kell megfordítanunk a relációs jelet. Osszuk is el mindkét oldalt 2-vel, és így az kapjuk, hogy x nagyobb, mint -4 osztva 2-vel, ami -2. Ez pedig itt a megoldásunk: x nagyobb, mint -2. Ábrázoljuk is ezt a megoldást a számegyenesen! Iderajzolok egy számegyenest. Mondjuk legyen ez itt a -3, itt a -2, a -1, a 0, az 1, a 2 és itt a 3. A megoldás szerint x > -2, úgyhogy ebbe nem tartozik bele a -2, mert nem az van, hogy nagyobb vagy egyenlő -2-nél, Tehát a -2-höz egy üres karikát rajzolunk. De minden ennél nagyobb érték megfelelő. Tehát bármi, ami -2-nél nagyobb, az jó megoldás lesz. Próbáljunk is ki egy számot, amire teljesülnie kellene az egyenlőtlenségnek, aztán majd kipróbáljunk egy olyat is, amire nem szabadna teljesülnie. Ugye a 0-nak jónak kell lennie, mivel az nagyobb, mint -2, úgyhogy nézzük először azt! Az lesz, hogy 5 · 0 + 7 nagyobb kell, hogy legyen, mint 3 · (0 + 1). A bal oldalon 7 lesz– mivel 5-ször 0 az 0 –, és 7 nagyobb kell, hogy legyen 3-nál. Ugye 3 · 1 az 3. És ez természetesen igaz. Most pedig próbáljunk ki egy számot, ami nem jó megoldás! Mondjuk nézzük a -3-at! Az lesz, hogy 5 · (-3) + 7, nézzük meg, hogy ez nagyobb-e, mint 3 · (-3 + 1). Ez itt -15 + 7, ami -8, a bal oldal -8. És nézzük meg, hogy ez nagyobb-e, mint 3-szor (-3 + 1), azaz 3-szor -2, ami -6. -8 pedig nem nagyobb, mint -6. A -8 ugye határozottan kisebb, mint -6. Tehát a -3 nem teljesítette az egyenlőtlenséget, és ezt is reméltük, mivel a -3 nem tartozik bele a megoldáshalmazunkba. Először behelyettesítettünk valamit a megoldáshalmazunkból, ami kielégítette az egyenlőtlenséget, és aztán behelyettesítettünk valamit, ami nem volt benne, az pedig nem elégítette ki az egyenlőtlenséget. Úgyhogy most örülhetünk!