Mindkét oldalon ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenségek

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! -3p - 7 kisebb, mint p + 9. El kell csak különítenünk a p-t az egyenlőtlenség egyik oldalára. Most a bal oldalra fogjuk rendezni, úgyhogy jó lenne, ha eltüntetnénk ezt a p-t a jobb oldalról. Ennek a legjobb módja az, hogy kivonunk egy p-t, de természetesen ha azt akarjuk, hogy igaz maradjon az egyenlőtlenség, akkor bármit csinálunk a jobb oldalon, ugyanazt meg kell tennünk a bal oldalon is. Tehát mindkét oldalból ki kell vonnunk a p-t. Így a bal oldalon -3p - p, az -4p, tehát itt -4p -7 lesz, és ez kisebb, mint p - p, ezek kiejtik egymást, tehát kisebb, mint 9. A következő, amit tehetünk, az az, hogy eltüntetjük ezt a -7-et a bal oldalról. Ennek a legjobb módja pedig az, hogy hozzáadunk 7-et mindkét oldalhoz. Ugye a -7 és a +7 összege 0 lesz. Adjunk hozzá tehát 7-et az egyenlőtlenség mindkét oldalához! A -7 és a +7 összege 0, tehát itt a bal oldalon csak -4p marad. És ez még mindig kisebb, mint a jobb oldal, ahol 9+7 lesz, ami 16. Az utolsó lépés ahhoz, hogy kifejezzük p-t az az, hogy megszabadulunk ettől a -4-es együtthatótól. A legkönnyebben úgy tudunk megszabadulni ettől a -4-es szorzótól, hogy elosztjuk mind a két oldalt -4-gyel. Elosztjuk mindkét oldalt -4-gyel. A bal oldalt -4-gyel osztva, -4 osztva -4-gyel az 1, tehát ez 1 p lesz. És ugyanezt meg kell csinálnunk a jobb oldalon is, de még mielőtt nekilátnánk, nem szabad elfelejtenünk, hogy mivel ez egyenlőtlenség, nem pedig egy egyenlet, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk vagy osztjuk egy negatív számmal, akkor meg kell fordítanunk a relációs jelet. Tehát a -4-et elosztottuk -4-gyel – ezeknek a hányadosa 1 volt –, úgyhogy azt kapjuk, hogy p nagyobb, mint 16 osztva -4-gyel, ami -4. Vagyis p > -4. Ábrázoljuk is a megoldáshalmazt egy számegyenesen! Aztán majd kipróbálhatunk néhány értéket, hogy biztos mindent jól csináltunk-e. Mondjuk, hogy itt a -5, a -4, a -3, a -2, a -1, és a 0. Aztán haladhatnánk tovább jobbra. A megoldásunk pedig az, hogy p nagyobb, mint -4. Nem az van itt, hogy nagyobb vagy egyenlő, tehát a -4 ki kell zárnunk. -4 nem lehet. A p ugye nagyobb, mint -4, tehát minden ennél nagyobb érték jó. A -3,9999999 is jó, de a -4 nem jó. Próbáljunk is ki néhány számot, hogy megnyugodjunk, hogy tényleg ez a megoldáshalmaz. Mondjuk próbáljuk ki a p egyenlő -3-at. Ennek elvileg jónak kellene lennie. Ugye az ábra szerint, a -3 benne van a megoldáshalmazunkban. A -3 az valóban nagyobb, mint -4, úgyhogy próbáljuk is ki! Behelyettesítjük a -3-at a p helyére az eredeti egyenlőtlenségben, és -3-szor p, azaz -3-szor -3 -7 kisebb kellene, hogy legyen, – a p helyett -3-at írok ide –, szóval kisebb kellene, hogy legyen, mint -3 + 9. Nézzük! -3-szor -3 az 9, azaz 9-7-nek kisebbnek kell lennie, mint ez a -3 + 9, ami 6. 9-ből 7 az 2, és a 2 valóban kisebb mint 6. Ez természetesen igaz. Most próbáljunk ki egy számot, aminek biztosan rossznak kéne lennie. Próbáljuk ki mondjuk a -5-öt! A -5 nincs benne a megoldáshalmazban, így elvileg az egyenlőtlenség nem fog teljesülni. Tehát (-3-szor -5) -7. Nézzük meg, hogy vajon ez kisebb-e, mint -5 + 9! -3-szor -5 az 15, mínusz 7. Ennek ugye nem szabadna kisebbnek lennie, mint -5 + 9, ami 4. Ugye pont azt reméljük, hogy ez nem lesz igaz a -5-re. 15 - 7 = 8, így azt kapjuk, hogy 8 kisebb, mint 4, ami persze nem igaz. Tehát a p egyenlő -5-tel az nem jó. És nem is kell, hogy jó legyen, mert nincs benne a megoldáshalmazunkban. Ha pedig tényleg biztosra akarunk menni, akkor nézzük meg a -4-et is. A -4-nek ugye nem szabadna igazzá tennie az egyenlőtlenséget. Szóval az lesz, hogy (-3-szor -4) - 7. Az a kérdés, hogy ez vajon kisebb-e, mint -4 + 9? Ebből az lesz, hogy 12 - 7 kisebb, mint -4 + 9, ami 5, Tehát az kapjuk, hogy 5 kisebb, mint 5. És ez persze nem igaz, mert az 5 nem kisebb, mint 5. És erre is számítottunk, mivel a -4 nem volt benne a megoldáshalmazban. A -4 esetében az egyenlőtlenség bal és a jobb oldala egyenlőek, így az egyenlőtlenség nem igaz. Akkor lett volna a -4 is jó megoldás, ha itt, az eredeti egyenlőtlenségben, a kisebb relációs jel helyett, kisebb vagy egyenlő jel lett volna. Úgyhogy a megoldásunk helyes.