Egyenlőtlenségek megoldása két lépésben

Itt van egy egyenlőtlenség: a 2/3 nagyobb, mint -4y mínusz 8 egész 1/3. Engem a vegyes törtek eléggé zavarnak, mert nehéz velük dolgozni, úgyhogy szerintem a legjobb az lenne, ha ezt először átalakítanánk közönséges törtté. Erre a 8 1/3-ra úgy is gondolhatunk, ugye ez 8-nál nagyobb lesz kicsivel, szóval ez a 8 egész 1/3 egyenlő – a nevező ugye 3 lesz – és 3-szor 8 az 24, plusz 1 az 25. Tehát ez ugyanaz, mint 25/3. Le is írom újra az egészet: 2/3 > -4y - 25/3. És mivel törtekkel sem túl könnyű dolgozni, ezért következő lépésként megszorzom az egyenlőtlenség mindkét oldalát valamilyen számmal, ami eltünteti a törteket. A legegyszerűbb az lesz, ha megszorozzuk mindkét oldalt 3-mal. Ez ugye majd kiejti ezeket a hármasokat a nevezőben. Tehát megszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát 3-mal. Ezek a műveletek itt oldalt mindkét oldalra vonatkoznak, azaz minden tagot megszorzunk 3-mal a bal és a jobb oldalon is. Egy másik dolog, amit jó hogyha megfigyelünk, az az, hogy nem kell majd megfordítanunk a relációs jelet, mert mindkét oldalt pozitív számmal fogjuk megszorozni. Ha mínusz 3-mal, vagy mínusz 1-gyel, vagy bármilyen negatív számmal szoroznánk, akkor meg kellene fordítanunk a relációs jelet. De nézzük is meg, hogy mit kapunk így: a bal oldalon 2/3-szor 3 van, ami 2. És ez a 2 nagyobb, – és most minden tagot megszorzunk 3-mal a jobb oldalon is,– 3 · (-4y) az -12y, és 3 · (-25/3) az egyszerűen -25. Most pedig rendezzük az összes konstans tagot az egyik oldalra, és az összes változót,– azaz, az összes y-os tagot– a másik oldalra. Ugye az egyetlen y-os tag már itt van a jobb oldalon, úgyhogy csak annyi a dolgunk, hogy átvigyük ezt a 25-öt az egyenlőtlenség másik oldalára. Ehhez pedig annyit kell tennünk, hogy hozzáadunk 25-öt mindkét oldalhoz. Hozzáadunk 25-öt az egyenlőtlenség mindkét oldalához. Így pedig a bal oldalon 2 + 25 = 27 lesz, és azt kapjuk, hogy 27 nagyobb, mint ez a -12y itt a jobb oldalon. A -25 és a +25 kiejtették egymást. Pont ez volt a célunk. Tehát 27, nagyobb, mint -12y. Ahhoz pedig, hogy y-ra rendezzük megszorozhatnánk mindkét oldalt (-1/12)-del, vagy azt is mondhatnánk, hogy osszuk el mindkét oldalt (-12)-vel. És mivel itt most negatív számmal szorzunk vagy osztunk, így meg kell majd fordítanunk a relációs jelet. Nézzük is! Ha osztjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát (-12)-vel, akkor itt a bal oldalon 27/(-12) lesz, ami kisebb, – ugye megcseréltem a relációs jelet,– tehát kisebb, mint (-12y)/(-12). Ne felejtsd el, amikor az egyenlőtlenség mindkét oldalát negatív számmal osztjuk, akkor megfordítjuk a relációs jelet, és így a nagyobb helyett kisebb lett. Amikor pozitív számmal szoroztunk, akkor nem kellett megfordítani. Nézzük ebből mi lesz! 27 osztva -12-vel, ugye itt mindkét szám osztható még 3-mal, így ezt tudjuk egyszerűsíteni, és ha elosztjuk a számlálót is és a nevezőt is 3-mal, akkor ez -9/4 lesz. Ez pedig kisebb, – ezek itt kiütik egymást– kisebb, mint y. Ezt mondhatjuk úgy, hogy -9/4 kisebb, mint y. de mondhatjuk úgy is, hogy y nagyobb, mint -9/4. Írjuk is le ezen a módon is! A megoldás az, hogy y nagyobb, mint -9/4. Csak megcseréltem a sorrendet, de mindkét módon jó. Azt is mondhatnád, hogy -9/4 kisebb, mint y. És ha ezt vegyes számként szeretnénk kifejezni, akkor a 9/4 az ugyanaz, mint 2 egész 1/4, tehát azt is mondhatjuk, hogy y nagyobb, mint -2 egész 1/4. Ha pedig ábrázolni szeretnénk ezt egy számegyenesen, akkor itt van a számegyenesem, legyen ez itt a 0, mondjuk itt a -1, itt a -2, és mondjuk itt a -3. A -2 egész 1/4 az itt lesz körülbelül, és az y-nak ennél nagyobb kell, hogy legyen, tehát a -2 egész 1/4 nem tartozik bele a megoldások halmazába, így ide egy üres karikát teszünk, de minden szám, ami ennél nagyobb, az jó lesz. Vagyis ezek azok az y-ok, amik kielégítik az egyenlőtlenséget.