Különböző nevezőjű törtek összeadása

Tegyük fel, hogy van egy törtünk, a 9/10, és hozzá akarunk adni ehhez 1/6-ot. Mivel lesz ez egyenlő? Első ránézésre mondhatnánk, hogy különbözők a nevezők, így nem nyilvánvaló, hogy hogy kell ezt összeadni. És ez igaz is. Úgy tudunk továbblépni, hogy megkeressük a közös nevezőt, hogy átalakítjuk mindkét törtet olyan törtté, amiknek közös a nevezőjük. Hogyan keressük meg a közös nevezőt? A közös nevezőnek ugye a 10 és a 6 közös többszörösének kell lennie. Mi közös többszöröse a 10-nek és a 6-nak? A legegyszerűbb, ha a legkisebb közös többszöröst keressük meg, és erre jó módszer, ha a nagyobb nevezővel kezdjük, ami itt a 10, és megnézzük, hogy osztható-e 6-tal. Nem osztható. Jó, akkor megyünk tovább. A 20 osztható-e 6-tal? Nem, a 30 osztható-e 6-tal? Igen, a 30 osztható 6-tal. Csak megyek végig a 10 többszörösein, és azt keresem, hogy melyik a 10 legkisebb olyan többszöröse, ami osztható 6-tal. És ez a 30 lesz. Tehát át tudom írni mindkét törtet valahány harmincadra. Vegyük a 9/10-et. Hogy tudom ezt átírni valahány 30-adra? Megszorzom a nevezőt 3-mal. Ha nem akarom megváltoztatni a tört értékét, akkor ugyanezt kell tennem a számlálóval is. Azt is meg kell szoroznom 3-mal. Mert ugye, ha megszorzom a számlálót 3-mal, és a nevezőt is 3-mal, az nem változtatja meg a tört értékét. Tehát 9 · 3 az 27. És még egyszer: 9/10 és 27/30 ugyanazt a számot jelenti. Felírtam tehát ezt a törtet úgy, hogy 30 legyen a nevező, ami azért hasznos, mert az 1/6-ot is fel tudom írni úgy, hogy 30 legyen a nevezője. Csináljuk is ezt meg! Az 1/6 az hány harmincad lesz? Javaslom, hogy most állítsd meg a videót, és csináld magad végig. Mit kell csinálnunk ahhoz, hogy a 6-ból 30 legyen? Meg kell szorozzuk 5-tel. Ha megszorozzuk a nevezőt 5-tel, akkor meg kell szoroznunk a számlálót is 5-tel, 1 · 5 = 5. 9/10 az ugyanaz, mint a 27/30, az 1/6 pedig ugyanannyi, mint 5/30. Így most már össze tudjuk ezeket adni elég könnyen. Van itt valahány harmincad, amihez hozzáadunk valami más harmincadot. Tehát a 27/30 + 5/30 az annyi lesz, mint 27 plusz 5 harmincad, ami nyilván 32/30 lesz. 32/30. És akár egyszerűsíthetjük is a törtet. A 32-nek és a 30-nak is van közös tényezője, mindkettő osztható 2-vel. Ha elosztjuk a számlálót és a nevezőt is 2-vel, a számláló osztva 2-vel az 16, a nevező osztva 2-vel az 15. Tehát ez ugyanannyi, mint 16/15. Ha vegyes számként írjuk fel, a 15 megvan a 16-ban egyszer, és marad 1. Tehát ez egyenlő lesz 1 egész 1/15-del. Nézzünk egy másik példát! Mondjuk össze akarjuk adni az 1/2-et és a 11/12-et. Javaslom, hogy most megint állítsd meg a videót, és nézd meg, hogy meg tudod-e oldani magadtól. Ahogy az előbb is láttuk, kell keresnünk egy közös nevezőt. Ha ezeknek ugyanaz lenne a nevezőjük, akkor azonnal össze tudnánk adni őket. De mivel nem ugyanazok, kell keresnünk egyet. Egy közös többszörös kell nekünk, a 2 és a 12 közös többszöröse. A legjobb ugye, ha a 2 és a 12 legkisebb közös többszörösét találjuk meg. Ahogy az előbb is tettük, kezdjük a kettő közül a nagyobb számmal, ami a 12. 12 · 1 az 12, tehát ez a 12 legkisebb többszöröse. Osztható-e ez 2-vel? Hát persze, a 12 osztható 2-vel. A 12 tehát a legkisebb közös többszöröse a 2-nek és a 12-nek. És így mindkét törtet fel tudjuk írni úgy, hogy valahány tizenketted. Az 1/2 az hány tizenketted? Ahhoz, hogy a 2-ből 12 legyen, meg kell szorozni 6-tal, úgyhogy megszorozzuk a számlálót is 6-tal. Világos ugye, hogy az 1/2 és a 6/12 egyenlőek. Az 1 a 2-nek a fele, a 6 a 12-nek a fele. És hogy írjuk át a 11/12-et? Hát sehogy, mert ez már eleve tizenketted alakban van, úgyhogy ezzel nem kell semmit se csinálnunk. 11/12, készen állunk az összeadásra. Ez egyenlő lesz... 6 + 11 tizenketteddel, ami egyenlő 17/12-del. Ha vegyes számként akarjuk felírni, akkor a 17-ben a 12 megvan egyszer, a maradék 5, tehát ez 1 egész 5/12. Csináljunk meg még egy példát! Nem is rossz ilyeneket csinálni. Mondjuk, össze akarjuk adni, a 3/4-et és az 1/5-öt. Mivel lesz ez egyenlő? Megint csak állítsd meg a videót, és próbáld meg magadtól megcsinálni. Különbözőek a nevezők, úgyhogy át akarjuk írni ezeket úgy, hogy közös legyen a nevezőjük. Tehát kell találnunk egy közös többszöröst, ideális esetben a legkisebb közös többszöröst. Mi a 4-nek és az 5-nek a legkisebb közös többszöröse? Kezdjük a nagyobb számmal, és nézzük meg ennek a többszöröseit, az egyre nagyobbakat, egészen addig, amíg nem találunk egy olyat, ami osztható 4-gyel is. Az 5 nem osztható 4-gyel, a 10 nem osztható 4-gyel, a 15 nem osztható 4-gyel, a 20 osztható 4-gyel, 5 · 4 az 20. Leírhatjuk mindkét törtet úgy, hogy 20 legyen a nevező, 20 lesz a nevező. Átírhatjuk a 3/4-et valamennyi huszadra. Ahhoz, hogy a 4-ből 20 legyen a nevezőben, megszorozzuk 5-tel. Tehát ugyanezt kell tennünk a számlálóval is. 3 · 5 = 15, ezt is megszoroztuk öttel. A 3/4 ugyanannyi, mint a 15/20. És az 1/5 az hány huszad lesz? Ahhoz, hogy az 5-ből 20 legyen, meg kell szorozni 4-gyel, úgyhogy ugyanezt kell tennünk a számlálóval is, meg kell szoroznunk a számlálót, az 1-et 4-gyel, így 4/20-ot kapunk. Tehát átírtam ezt, a 3/4 + 1/5 helyett most 15/20 plusz 4/20 van. És ez mennyi lesz? 15 + 4 az 19, 19/20 lesz. És kész is vagyunk.