Bhaskara bizonyítása a Pitagorasz-tételre

Most egy olyan bizonyítást fogok bemutatni, amelyet a 12. századi indiai matematikusnak, Bashkarának tulajdonítunk. Egy négyzetből fogunk kiindulni. Nézzük, tudok-e rajzolni egy négyzetet. Egy kicsit ferdén fogom rajzolni, mert akkor könnyebb dolgom lesz. Igyekszem, amennyire csak tudok, ez elfogadhatónak tűnik. Nézd most el nekem, ha nem pontos ez a ferde négyzet. Egész jól néz ki. Feltételezzük tehát, hogy ez egy négyzet, ez itt derékszög, ez is derékszög, ez is derékszög, és ez is. És feltesszük, hogy ezek az oldalak mind ugyanolyan hosszúak. Legyen mondjuk a hosszuk 'c'. Sárgával fogom írni, tehát a négyzet minden oldala 'c' hosszú. És most rajzolok ebbe a négyzetbe négy háromszöget, méghozzá a következő módon: elindulok itt lefelé, mintha ledobnék valamit, rajzolok lefelé egy egyenest, és rajzolok egy háromszöget, amely így néz ki. Függőlegesen lefelé megyek tehát, itt pedig vízszintesen keresztbe. És a függőleges és vízszintes miatt tudjuk, hogy ez derékszög lesz. Ezután ebből a csúcsból elindulok függőlegesen felfelé, és mivel ez függőleges, ez pedig vízszintes, ez is derékszög lesz, itt. Azután ebből a csúcsból indulok, és megyek vízszintesen, és akkor megint csak tudjuk, hogy ez egy derékszög lesz, és azt is, hogy ez is derékszög lesz. Látjuk tehát, hogy a négyzetünkből létrehoztunk négy derékszögű háromszöget. És itt középen keletkezett valami, olyasmi, mint egy téglalap, de az is lehet, hogy négyzet. Nem igazán bizonyítottuk be, hogy ez egy négyzet. Most pedig a következőt szeretném meggondolni: vajon egybevágóak-e ezek a háromszögek? Az nyilvánvaló, hogy az átfogóik ugyanakkorák. (Tényleg, nem is tudom hogy mondják az átfogó többesszámát...) Mindenesetre ezek 'c' hosszúak. A derékszögekkel szemben lévő oldalak mindegyike 'c' hosszúságú. Tehát ha megmutatjuk, hogy a megfelelő szögek ugyanakkorák, akkor tudjuk, hogy egybevágóak. Ha van egy háromszöged, amelynek a szögei megegyeznek egy másikéval, és van egy oldala, amely szintén ugyanolyan hosszú, mint a másikban a megfelelő oldal, akkor a két háromszög egybevágó. És ezt meg is tudjuk mutatni. Legyen ez a szög Θ, ekkor ennek a szögnek (90° − Θ)-nak kell lennie, mivel ezek egymás pótszögei. Ezt onnan tudjuk, hogy ezek együttesen kiadják a négyzet szögét, ami derékszög. És ha ez (90° − Θ), akkor ismerjük ezt a szöget is, hiszen ennek meg ennek a szögnek együtt 90°-nak kell lennie, mert ez a 90° marad, amikor kivonom a 180°-ból a 90-et. Tehát tudjuk, hogy ez a szög Θ. És ha ez Θ, akkor ez (90° − Θ). Gondolom, látod már, hova lyukadunk ki ezzel: ha ez (90° − Θ), akkor ennek Θ-nak kell lennie, és ha ez Θ, akkor ennek (90° − Θ)-nak kell lennie. Ha ez (90° − Θ), akkor ez Θ, és akkor ez megint (90° − Θ). Látjuk tehát mind a négy háromszögben, hogy van egy-egy Θ, (90° − Θ) és 90° szög, valamennyi szögük megegyezik, tehát minimum hasonlóak. És még az átfogóik is megegyeznek, Tehát ez a négy háromszög teljességgel egybevágó. Ebből kiindulva legyen ezeknek a háromszögeknek a hosszabbik befogója 'b'. Tehát ennek a szakasznak a hossza 'b'. És ez a rövidebb oldal, ennek a szakasznak a hossza, meg ennek, szóval ezeknek a szakaszoknak a hossza legyen 'a'. Tehát ez a magasság itt 'a' hosszúságú. És most valami érdekeset csinálunk. Először nézzük meg ennek az egész négyzetnek a területét. Mekkora ennek a teljes négyzetnek a területe 'c'-vel kifejezve? Ez elég egyértelmű, ez egy c-szer c méretű négyzet, tehát a területe c². És most át fogom helyezni ezt a két háromszöget, majd 'a'-val és 'b'-vel fogom kifejezni az új alakzat területét. És mindez remélhetően elvezet majd minket a Pitagorasz-tételhez. Ehhez pedig, csak hogy ne veszítsük el a kiinduló helyzetünket, mert az igazán érdekes, átmásolom ide ezt az egész dolgot. (Nem akarok belevágni, az egészet átmásolom.) Ez az eredeti ábránk. Most pedig azt fogom csinálni, (de előbb kiradírozom ezt, itt) hogy ezt arrébb tolom. Ez mókás lesz, meglátod, eltolom ezt a felül lévő háromszöget ide a jobb alsó háromszög alá. Másolással és beillesztéssel fogom csinálni, nem annyira jól rajzoltam, így egy kicsit trükköznöm kell, kivágom ezt a részt és aztán átmásolom, és a háromszöget ide illesztem. Hadd javítsam ki a vonalakat, amelyeket véletlenül letöröltem. Legyen egyértelmű, hogy itt van egy vonal, és itt is van egy. Ez itt egyenesen ment felfelé, ezek pedig vízszintesen. Ezt a részt tehát áthoztam ide. Most pedig ezt a jobb felső háromszöget fogom áthelyezni ide lentre, a bal oldalra. Egyszerűen átrendezem az ugyanakkora területű alakzatot. Megfogom ezt az egészet, amennyire ügyesen csak tudom, kivágom és átmásolom, ide mozgatom. Persze amíg csináltam, elvesztettem az alját, szóval hadd rajzoljam újra. Egyszerűen ide átmozgattam. Tehát ez a háromszög, amit beszínezek, most idekerült. Ez a háromszög pedig – ide. Ez a középső négyzet, mert ez egy négyzet, maradt a helyén. Remélem átlátod, ahogy átalakítottam. Most pedig a kérdésem a következő: hogyan tudnánk meghatározni ennek az új alakzatnak a területét? Ennek, aminek a területe pontosan megegyezik a régi alakzatéval, hiszen csak átrendeztem egyes részeit. Vajon hogyan tudnánk kifejezni 'a'-val és 'b'-vel? A kulcsfontosságú dolog, amit itt észrevehetünk, ennek az alsó oldalnak a hossza. Mekkora ennek az alapnak a hossza? Ennek az oldalnak a hossza, ez a rész itt 'b' hosszúságú, ez pedig itt 'a' hosszú, azaz ennek az egésznek a hossza a + b. Ez már önmagában is érdekes, de közben azt is észrevehetjük, hogy ez a hossz itt, ami nem más, mint ez a hossz, nos, ez ugyancsak 'a'. Így csinálhatunk egy 'a'-szor 'a' méretű négyzetet. Ez a négyzet tehát 'a'-szor 'a', így akkor a területe a². Hadd használjak egy látható színt, ez a terület tehát a²-tel egyenlő. Na, és mekkora a területe ennek a maradék darabnak? Nos, ha ennek a hossza 'a', akkor ez is 'a' hosszú lesz, és ha ez az egész alsó oldal a + b hosszú, akkor ez a maradék hossz miután kivontuk belőle az 'a'-t, 'b' lesz. Ez az oldal a + b, ez 'a', akkor ennek 'b' hosszúnak kell lennie. És akkor ez a maradék, újonnan létrehozott alakzat, mindaz, amit most besatírozok egy b-szer b nagyságú négyzet, melynek a területe b². Ekkor az egész terület a² + b², és ez a mi szerencsénk, mert ez megegyezik ezzel a területtel, amely c-vel van kifejezve, hiszen az ugyanaz az alakzat, csak átrendezve. Ez tehát meg fog egyezni c²-tel. Minden jól működött, és a Pitagorasz-tételnek ezt a klassz bizonyítását Bhaskarának köszönhetjük.