Garfield bizonyítása a Pitagorasz-tételre

Ebben a videóban tanulmányozni fogjuk a Pitagorasz-tétel egyik bizonyítását, amelyet először – legalábbis jelenleg úgy gondoljuk, hogy először – James Garfield tett közzé 1876-ban. Ebben az az izgalmas, hogy ő nem volt hivatásos matematikus. Úgy hallhattál James Garfieldról, mint az Amerikai Egyesült Államok huszadik elnökéről. Megválasztott elnök volt, 1880-ban választották meg és 1881-ben valóban elnök is lett, és azalatt alkotta meg ezt a bizonyítást, mialatt az Egyesült Államok Képviselőházának tagja volt. És ez azért izgalmas, mert azt mutatja, hogy nem Abraham Lincoln volt az egyetlen amerikai politikus, vagy az egyetlen amerikai elnök, aki foglalkozott geometriával. Garfield arra jött rá, hogy ha felrajzolsz egy derékszögű háromszöget – amit most én is megteszek, legjobb tudásom szerint – Szóval rajzolok egyet ide, legyen ez az oldal 'b' hosszúságú, ez az oldal 'a' hosszúságú, ez az oldal pedig, a derékszögű háromszögem átfogója 'c' hosszú. Felrajzoltam tehát egy derékszögű háromszöget, és ide is berajzolom, hogy derékszögű. Ő lényegében tükrözte és elforgatta ezt a derékszögű háromszöget, és így létrehozott egy másikat, az eredetivel egybevágót. Én is ezt teszem. Rajzolunk ide egy 'b' hosszúságú szakaszt, amely az 'a' oldal meghosszabbításán lesz, ezek nincsenek átfedésben egymással. Ez az oldal tehát 'b' hosszú, legyen egy kicsit hosszabb, 'b' oldal hossza, aztán merőlegesen az 'a' hosszúságú oldal, tehát ez az 'a' oldal derékszöget zár be 'b'-vel, és aztán itt van a 'c' oldalunk. Az első kérdés az lesz, hogy vajon mekkora e két oldal által bezárt szög. Mekkora ez a titokzatos szög? Nos, sejtünk valamit, de nézzük meg, hogy be tudjuk-e bizonyítani, hogy ez valóban annyi, mint gondoljuk. Ha vizsgáljuk ezt az eredeti háromszöget, és ezt a szöget mondjuk thétának nevezzük, akkor mekkora lesz ez a szög, az 'a' és a 'c' oldal által bezárt szög? Mi lesz ennek a szögnek a nagysága? Θ meg ez a szög 90 fokot kell, hogy kiadjon. Mivel ha ezeket összeadjuk, 90 fok lesz az összegük, és akkor ez egy másik 90 lesz. Így kapjuk meg a 180 fokot a belső szögek összegére. E kettő összege tehát 90 kell legyen, így ez a szög (90° − Θ) lesz. Nos, ha ez a háromszög egybevágónak tűnik, márpedig épp így készítettük, tehát az, akkor az ennek megfelelő szög ez lesz, itt. Vagyis ez is Θ lesz, ez pedig (90° − Θ). Na már most, ha ez itt Θ, ez pedig (90° − Θ), akkor mekkora lesz ez a szögünk? Mivel együttesen 180 fokot alkotnak, akkor Θ + (90° − Θ), meg ez a titokzatos szög együtt 180 fokot tesznek ki, a Θ-k kiejtik egymást, Θ mínusz Θ, marad a 90° + a titokzatos szög = 180° Mindkét oldalból 90-et kivonva azt kapjuk, hogy a titokzatos szögünk 90°. Így tehát minden jól sikerült. Hadd tegyem ezt világossá, és mindjárt kiderül, miért lesz ez hasznos számunkra. Most már biztosan állíthatjuk, hogy ez a szög 90 fok, derékszög. Most pedig azt csináljuk, hogy felrajzolunk egy trapézt. Ez az 'a' oldal párhuzamos ezzel az alsó 'b' oldallal, hiszen így szerkesztettük, ez itt az egyik oldal, amely egyenesen megy felfelé, és most csak összekötöm ezt a két oldalt. Többféle módon is gondolkodhatunk ennek a trapéznak a területéről. Egyrészt tekinthetjük simán egy trapéznak, és felírhatjuk a területét, de vehetjük úgy is, mint részterületeinek összegét. Először tekintsük akkor trapéznak, mit is tudunk a területéről? Egy trapéz területe a trapéz magassága – ami (a + b), ez a trapéz magassága – szorozva (legalábbis én így szoktam kiszámolni) a tetejének és az aljának az átlagával. Ez esetünkben ½ (a + b). Itt az a meglátásunk, hogy ha vesszük a magasságot és megszorozzuk az alapjainak az átlagával, akkor megkapjuk a trapéz területét. Na és vajon hogy írhatnánk fel a területet a részek segítségével? Függetlenül attól, hogyan számoljuk ki a területet, ha helyes műveleteket végzünk, akkor az eredménynek ugyanannak kell lennie. Tehát hogy határozhatnánk még meg a területet? Nos, azt mondhatjuk, hogy ennek a két derékszögű háromszögnek a területe, mindkettő területe ½ (a・b), de kettő van belőlük. ('b'-t is ugyanazzal a kékkel fogom jelölni) Tehát két ilyen derékszögű háromszögünk van, vagyis szorozzuk meg 2-vel, azaz 2・ ½ (a・b). Ekkor használtuk ezt az alsó és ezt a felső derékszögű háromszöget. Na és mekkora ennek a nagy résznek a területe, amit zölddel fogok jelölni? Mekkora ennek a területe? Nos, ez elég nyilvánvalónak tűnik, ez egyszerűen ½ (c・c), azaz még ½ (c・c), ami ½ c². Most egyszerűsítsük ezt a kifejezést és nézzük meg, mi jön ki, és már sejtheted is, hova fogunk kilyukadni. Úgyhogy nézzük, mit kapunk. Rendezzük ezt át. ½-szer (a + b) a négyzeten egyenlő 2-szer ½, ami ugye 1, tehát = (a・b) + ½ c². Nem szeretem ezeket az ½-eket, szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 2-vel. A bal oldalon marad (a + b) a négyzeten, le is írom, (a + b)², a jobb oldalon pedig marad 2・(a・b) vagy 2(ab), (közben igyekszem a megfelelő színeket használni) és még 2-szer ½ c², ami c². Na és mi történik, ha felbontom a zárójeleket és összeszorzom (a + b)-t (a + b)-vel? Mennyi (a +b) a négyzeten? a² + 2ab + b². És ez fog megegyezni ezzel az egész jobb oldali kifejezéssel. (Nehéz a színeket cserélgetni, ezért inkább bemásolom ide az egészet.) Na ez érdekes. Hogyan tudnánk egyszerűsíteni? Van valami, amit mindkét oldalból kivonhatnánk? Hát persze! Itt van a 2ab a bal oldalon, és itt van a 2ab a jobb oldalon. Vonjuk ki a 2ab-t mindkét oldalból, mi marad ekkor? Hát a Pitagorasz-tétel! a² + b² = c². Nagyon, nagyon izgalmas. És ezt az Egyesült Államok 20. elnökének, James Garfieldnak köszönhetjük! Ez valóban szuper, hiszen a Pitagorasz-tétel már több ezer éve ismert volt, és James Garfield ezzel a kis játékkal hozzá tudott tenni, miközben mellesleg a Képviselőház tagja volt.