If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ha webszűrőt használsz, győződj meg róla, hogy a *.kastatic.org és a *.kasandbox.org nincsenek blokkolva.

Fő tartalom

Trigonometria

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 3. témakör

3. lecke: Általános háromszögekkel kapcsolatos feladatok
Matematika
Trigonometria
Nem derékszögű háromszögek és a trigonometria
Általános háromszögekkel kapcsolatos feladatok
© 2023 Khan AcademyFelhasználási feltételekAdatkezelési tájékoztatóSüti figyelmeztetés

A szinusztétel és a koszinusztétel: ismétlés

Google Osztályterem
Ismételd át a szinusztételt és a koszinusztételt, és használd őket tetszőleges háromszöges feladatok megoldásában!

Szinusztétel

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Koszinusztétel

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Szeretnél többet megtudni a szinusztételről? Nézd meg ezt a videót!
Szeretnél többet megtudni a koszinusztételről? Nézd meg ezt a videót!

1. Gyakorló feladatsor: A szinusztétel alkalmazása

Ez a tétel segít kiszámolni a háromszög egy ismeretlen szögét, ha ismerjük egy másik szögét és két oldalát; vagy kiszámolhatjuk a háromszög egy ismeretlen oldalát, ha ismerjük két szögét és egy másik oldalát.

1. példa: Ismeretlen oldal kiszámolása

Számoljuk ki az alábbi háromszög A, C oldalát:
A szinusztétel szerint start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, C, angle, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, C, divided by, sine, left parenthesis, B, angle, right parenthesis, end fraction. Írjuk be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!
ABsin⁡(C∠)=ACsin⁡(B∠)5sin⁡(33∘)=ACsin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC8,45≈AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(C\angle)}&=\dfrac{AC}{\sin(B\angle)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

2. példa: Ismeretlen szög kiszámítása

Mekkora az A, angle szög az alábbi háromszögben?
A szinusztétel szerint start fraction, B, C, divided by, sine, left parenthesis, A, angle, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, A, B, divided by, sine, left parenthesis, C, angle, right parenthesis, end fraction. Írjuk be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!
BCsin⁡(A∠)=ABsin⁡(C∠)11sin⁡(A∠)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(A∠)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(A∠)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(A \angle)}&=\dfrac{AB}{\sin(C\angle)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(A \angle)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(A \angle) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(A \angle) \end{aligned}
Számológéppel elvégezve a műveleteket, majd kerekítve:
A, angle, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Ha az ismeretlen szög tompaszög, akkor ne mulasszuk el kivonni a számológéppel kapott értéket 180, degrees-ból!
1.1. feladat
  • Aktuális
B, C, equals
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Kerekíts tizedre!

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

2. Gyakorló feladatsor: A koszinusztétel alkalmazása

Ez a tétel jól használható egy háromszög ismeretlen szögeinek kiszámításához, ha ismerjük az oldalait és az egyik szögét. Akkor is hasznos, ha keressük egy háromszög egyik oldalát, és ismerjük a többi oldalt, valamint egy szöget.

1. példa: Egy ismeretlen szög kiszámítása

Számítsuk ki, mekkora a B, angle az alábbi háromszögben:
A koszinusztétel szerint:
left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, B, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, B, angle, right parenthesis
Helyettesítsük be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(B∠)25=100+36−120cos⁡(B∠)120cos⁡(B∠)=111cos⁡(B∠)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(B\angle) \\\\ 25&=100+36-120\cos(B\angle) \\\\ 120\cos(B\angle)&=111 \\\\ \cos(B\angle)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Számológéppel elvégezve a műveleteket, majd kerekítve:
B, angle, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

2. példa: Ismeretlen oldal kiszámítása

Számoljuk ki az A, B oldal hosszát az alábbi háromszögben:
A koszinusztétel szerint:
left parenthesis, A, B, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, A, C, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, B, C, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, A, C, right parenthesis, left parenthesis, B, C, right parenthesis, cosine, left parenthesis, C, angle, right parenthesis
Helyettesítsük be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3\begin{aligned} (AB)^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (AB)^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
2.1. feladat
  • Aktuális
A, angle, equals
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Egész fokra kerekíts!

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

3. Gyakorló feladatsor: Általános háromszögre vonatkozó szöveges feladatok

3.1. feladat
  • Aktuális
„Már csak egy van." – jelzi rejtekhelyéről Ryan a testvérének.
Matt helyeslően biccent, miután kiszúrta az utolsó gonosz robotot.
„34 fok." – közli Matt Ryan és a robot által bezárt szöget.
Ryan beírja az értéket az alább látható vázlatba, majd számol. Lézerágyúján beállítja a pontos távolságot, céloz és lő.
Milyen távolságot állított be Ryan a lézerágyúján?
Ne kerekíts számolás közben! A végeredményt kerekítsd egészre!
  • A helyes megoldás:
  • egész szám, például 6
  • egyszerűsített valódi tört, például 3, slash, 5
  • egyszerűsített áltört, például 7, slash, 4
  • vegyes szám, például 1, space, 3, slash, 4
  • véges tizedes tört, például 0, comma, 75
  • A pí többszöröse, például 12, space, start text, p, i, end text vagy 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be
Még nincs hozzászólás.
Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.