Fő tartalom

Tantárgy/kurzus: Trigonometria > 3. témakör

3. lecke: Általános háromszögekkel kapcsolatos feladatok

A szinusztétel és a koszinusztétel: ismétlés

Ismételd át a szinusztételt és a koszinusztételt, és használd őket tetszőleges háromszöges feladatok megoldásában!

Szinusztétel

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Koszinusztétel

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Szeretnél többet megtudni a szinusztételről? Nézd meg ezt a videót!
Szeretnél többet megtudni a koszinusztételről? Nézd meg ezt a videót!

1. Gyakorló feladatsor: A szinusztétel alkalmazása

Ez a tétel segít kiszámolni a háromszög egy ismeretlen szögét, ha ismerjük egy másik szögét és két oldalát; vagy kiszámolhatjuk a háromszög egy ismeretlen oldalát, ha ismerjük két szögét és egy másik oldalát.

1. példa: Ismeretlen oldal kiszámolása

Számoljuk ki az alábbi háromszög

A C

oldalát:

A szinusztétel szerint

\frac{A B}{\sin (C ∠)} = \frac{A C}{\sin (B ∠)}

. Írjuk be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (C ∠)} & = \frac{A C}{\sin (B ∠)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

2. példa: Ismeretlen szög kiszámítása

Mekkora az

A ∠

szög az alábbi háromszögben?

A szinusztétel szerint

\frac{B C}{\sin (A ∠)} = \frac{A B}{\sin (C ∠)}

. Írjuk be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (A ∠)} & = \frac{A B}{\sin (C ∠)} \\ \frac{11}{\sin (A ∠)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (A ∠) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (A ∠) \end{aligned}

Számológéppel elvégezve a műveleteket, majd kerekítve:

A ∠ = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Ha az ismeretlen szög tompaszög, akkor ne mulasszuk el kivonni a számológéppel kapott értéket

180^{\circ}

-ból!

1.1. feladat

B C =

Kerekíts tizedre!

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

2. Gyakorló feladatsor: A koszinusztétel alkalmazása

Ez a tétel jól használható egy háromszög ismeretlen szögeinek kiszámításához, ha ismerjük az oldalait és az egyik szögét. Akkor is hasznos, ha keressük egy háromszög egyik oldalát, és ismerjük a többi oldalt, valamint egy szöget.

1. példa: Egy ismeretlen szög kiszámítása

Számítsuk ki, mekkora a

B ∠

az alábbi háromszögben:

A koszinusztétel szerint:

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (B ∠)

Helyettesítsük be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (B ∠) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (B ∠) \\ 120 \cos (B ∠) & = 111 \\ \cos (B ∠) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Számológéppel elvégezve a műveleteket, majd kerekítve:

B ∠ = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

2. példa: Ismeretlen oldal kiszámítása

Számoljuk ki az

A B

oldal hosszát az alábbi háromszögben:

A koszinusztétel szerint:

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (C ∠)

Helyettesítsük be az ismert értékeket, és oldjuk meg az egyenletet!

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

2.1. feladat

A ∠ =

^{\circ}

Egész fokra kerekíts!

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

3. Gyakorló feladatsor: Általános háromszögre vonatkozó szöveges feladatok

3.1. feladat

„Már csak egy van." – jelzi rejtekhelyéről Ryan a testvérének.

Matt helyeslően biccent, miután kiszúrta az utolsó gonosz robotot.

„

34

fok." – közli Matt Ryan és a robot által bezárt szöget.

Ryan beírja az értéket az alább látható vázlatba, majd számol. Lézerágyúján beállítja a pontos távolságot, céloz és lő.

Milyen távolságot állított be Ryan a lézerágyúján?
Ne kerekíts számolás közben! A végeredményt kerekítsd egészre!

m

Szeretnél még hasonló feladatokat megoldani? Nézd meg ezt a feladatot!

Szeretnél részt venni a beszélgetésben?

Jelentkezz be

Rendezés:

Még nincs hozzászólás.

Tudsz angolul? Kattints ide, ha meg szeretnéd nézni, milyen beszélgetések folynak a Khan Academy angol nyelvű oldalán.