Egyenletmegoldás osztással

Mondjuk, hogy adott itt ez a 7x = 14 egyenlet, és mielőtt megpróbáljuk megoldani, gondolkozzunk el azon, hogy mit is jelent ez. 7x = 14 az ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy 7-szer x –vagy inkább írjuk is le, ide fogom jobbra írni –, 7-szer x = 14. És ezt talán fejben is meg tudnád oldani vagy ki tudnád keresni a 7-es szorzótáblában a 14-et, vagy akár végig is mondhatnád, hogy 7・1 = 7, ez ugye nem jó, 7・2 viszont 14, tehát a 2 lesz a jó megoldás. Úgyhogy viszonylag gyorsan meg tudnád találni a helyes választ, hogyha bepróbálgatnál az x helyére különböző számokat. Ebben a videóban viszont azon fogunk elgondolkozni, hogy hogyan lehet ezt az egyenletet valami rendszer szerint megoldani, mert ahogy hamarosan látni fogod, ahogy ezek az egyenletek egyre bonyolultabbá válnak, egyre kevésbé fogod tudni őket fejben megoldani. Úgyhogy nagyon fontos, hogy megértsd, hogyan kell kezelni ezeket az egyenleteket, de talán még fontosabb megértened azt, hogy valójában mit is jelentenek. Ez itt szó szerint azt jelenti, hogy 7-szer x egyenlő 14-gyel. Az algebrában nem szoktuk kiírni a szorzás jelét ilyenkor, amikor egy változót szorzunk egy számmal vagy egy változót szorzunk egy másik változóval. Ha egy számot írunk a változó mellé, ahogy itt is tettük, az egyértelműen a szorzást jelöli. Ez csak egy rövidített jelölése a szorzásnak. Tehát az egyenleteknél, ha betűt szorzunk valamivel, akkor nem használjuk a szorzásjelet. Az sem lenne hiba, ha kiírnánk a szorzásjelet, és akkor úgy nézne ki, hogy 7・x = 14, de elég ha annyit írunk, hogy 7x, és ez ugyanazt jelenti. A legjobb módja annak hogy megértsd, hogy hogyan dolgozhatunk ezzel az egyenlettel, az az, hogyha ábrázoljuk és megnézzük, hogy mit is jelent ez. Mit jelent a 7-szer x? És most újra fel fogom írni ezt az egyenletet, csak most jobban átlátható alakban. A 7x ugye azt jelenti, hogy az x-et 7-szer összeadom önmagával. Ez ugye a szorzás definíciója. Úgyhogy ebből az lesz, hogy x + x + x + x + x – ez eddig 5 x volt, úgyhogy kell még 2– + x + x. Itt van tehát 7 darab x, és ez maga a 7x. Ez tehát itt, ez ugyanaz, mint 7x. Az egyenlet szerint a 7x = 14, tehát ez a hét darab x itt, ez egyenlő 14-gyel, úgyhogy most iderajzolok 14 valamit. Legyen ez 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 és 14. Tehát azt mondjuk, hogy a 7x az egyenlő ezzel a 14 valamivel. Ez az ábra ugyanazt jelenti, mint ez az egyenlet itt fent. Azért rajzoltam ezt így le, mert így könnyebb lesz megérteni, hogy mi is történik akkor, ha mindkét oldalt elosztjuk 7-tel. Ezt gyorsan kiradírozom itt. És ha meg akarjuk oldani az egyenletet, ilyenkor az lenne a szokásos lépés, hogy megnézzük az x együtthatóját. Az együttható egyszerűen egy szám, amivel a változót megszorozzuk. Úgy is mondhatjuk, hogy az együtthatószor a változó az egyenlő valamivel, és ugye itt az együttható a 7, úgyhogy ebben az esetben mindkét oldalt elosztjuk 7-tel, ugye elosztjuk az együtthatóval. És mit kapunk, ha elosztjuk mindkét oldalt 7-tel? A 7-szer valami osztva 7-tel az ugye csak maga az eredeti valami lesz, úgyhogy ez csak x lesz. Ugye a 7-esek kiejtik egymást. 14 osztva 7-tel pedig 2 lesz. A megoldás tehát x = 2. De most nézzük meg az ábránkon is, hogy mi is történik olyankor, amikor mindkét oldalt elosztjuk 7-tel. Ez az egyenlőség azt mondja, hogy ez hét darab x itt a bal oldalon egyenlő ezzel a 14 valamivel itt a jobb oldalon. Azt pedig már tudjuk, hogy bármit csinálunk a bal oldalon, azt ugyanúgy meg kell csinálnunk a jobb oldalon is. Ha ezek egyenlőek kezdetben, akkor ahhoz, hogy fennmaradjon az egyenlőség bármilyen műveletet végzek, azt mindkét oldallal pont ugyanúgy kell megcsinálnom. Ezek most egyenlőek, tehát, hogyha a bal oldalt elosztom 7-tel, osszuk is fel 7 azonos csoportra: ugye 7 x van itt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Azaz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 azonos csoportom lesz. Ha pedig felosztottam ezt az oldalt 7 azonos csoportra, akkor a jobb oldalt is fel kell osztanom 7 azonos csoportra: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. És hogyha kezdetben ez az egész megegyezik ezzel az egésszel, akkor egy ilyen kis darab a bal oldalon, – egy ilyen darab–, meg fog egyezni egy ugyanilyen kis darabbal a jobb oldalon. Tehát mondhatjuk, hogy ez a rész megegyezik ezzel a résszel, ez a rész pedig itt megegyezik ezzel. Ezek mind azonos részek. Itt is 7 azonos rész van, és itt is 7 azonos rész van, úgyhogy mindegyik x megegyezik két ilyennel karikával. Azt kapjuk, hogy x egyenlő – és ebben az esetben le is rajzoljuk ezeket a karikákat méghozzá kettőt belőlük –, tehát egy x egyenlő két karikával, azaz, ez ugyanaz, mint x = 2-vel. És remélem, hogy ez érthető volt, de azért csináljunk meg még néhány példát. Remélem, hogy még jobban a fejünkbe tudjuk vésni, hogy amikor egyenletekkel van dolgunk, akkor bármilyen műveletet végzünk az egyenlet egyik oldalán, azt a másik oldalon is el kell végeznünk, hogy az egyenlőség fennmaradjon. Le is törlöm a tábláról ezeket, És legyen mondjuk az új egyenletünk az, hogy 3x = 15. Ezt is biztosan ki tudnád fejben számolni. 3-szor valamilyen szám az egyenlő 15-tel. Itt is végigmehetnél a 3-as szorzótáblán, és hamar rájöhetsz, hogy ez 5 lesz, de ha a logikát is szeretnéd megérteni mögötte, – márpedig ez jó ötlet lenne–, akkor mondhatod, hogy „Jó, ez itt a bal oldal megegyezik ezzel a jobb oldallal, és a kérdés az, hogy mit kell tennünk ezzel a bal oldallal, hogy csak az x maradjon itt?” Ugye meg kell szabadulnom valahogy ettől a 3-as szorzótól, és hogy ezt a 3-mal való szorzást eltüntessem, ehhez 3-mal kell osztanom. Az egésznek itt az az értelme, hogy ha 3-mal szorzok, akkor azt úgymond visszafordíthatom úgy, hogy 3-mal osztok. De ugye a 3x volt a 15-tel egyenlő, úgyhogy ha bal oldalt elosztjuk 3-mal, akkor az egyenlőség fenntartásához a jobb oldalt ugyanúgy el kell osztanunk 3-mal. És mit kaptunk így? Hát, a bal oldalon ugye kiesnek a 3-asok, úgyhogy ebből annyi marad, hogy x A jobb oldalon pedig, mennyi a 15 osztva 3-mal? 15 osztva 3-mal az 5. x = 5. És ez egy teljesen jó módszer volt arra, hogy megoldjuk ezt az egyenletet, De van egy másik módszer is a megoldásra, habár gyakorlatilag ugyanaz a kettő. Szóval, ha kiindulnánk megint a 3x = 15-ből, akkor mondhatnánk azt is, hogy a 3-mal való osztás helyett úgy is megszabadulhatnánk ettől a hármastól, az x előtt, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 1/3-dal. És nézzük ebből mi lesz! Ugye a 3 egyharmada az 1, úgyhogy ha ezt a szorzást itt elvégezzük, akkor az 1/3-szor 3-ból 1 lesz, azaz 1x. És az 1x pedig egyenlő 15-ször 1/3-dal, ami 5. 1-szer x pedig ugyanaz, mint simán x, vagyis x = 5. Ez a két módszer gyakorlatilag azonos volt, ugye mindkét oldalt elosztani 3-mal, az ugyanaz, mintha mindkét oldalt megszoroznánk 1/3-dal. Most pedig csináljunk meg még egy utolsót, és ez egy kicsit nehezebb lesz. Egy kicsit módosítom a változót. Legyen mondjuk az, hogy 2y + 4y = 18. Ez most ezt egy kicsit nehezebb lenne fejben elvégezni. Azt mondjuk itt, hogy 2-szer valami meg 4-szer ugyanaz a valami az 18-cal egyenlő. Ugye nehezebb végiggondolni, hogy mi is lesz ez a szám, de persze megpróbálhatod. Például, ha y = 1 lenne, akkor 2・1 + 4・1, az 6 lenne, ugye ez nem lesz jó. És próbálgathatnánk tovább, és előbb-utóbb persze eljutnánk a megoldáshoz, de megintcsak, jobb lenne, hogyha tudnánk, hogy van-e valami logika, ami szerint ezt megoldhatnánk. Nézzük is meg! Mit is jelent az, hogy van 2 y-om? Ez ugye valójában azt jelenti, hogy 2 darab y van összeadva, vagyis y + y. És aztán hozzáadunk ugye még 4 y-t, + y + y + y + y. És ez lesz egyenlő 18-cal. Hány y-om lesz itt a bal oldalon? 1, 2, 3, 4, 5, 6 y. Ezt tehát átírhatom úgy, hogy 6y = 18. És ha belegondolsz, ez teljesen logikus. Ez a rész itt ugye 2y + 4y, ez ugye 6y. És itt is ez a 2y + 4y ugye egyenlő összesen 6y-nal. Úgyhogy ez teljesen ésszerű. Ha van 2 almám, meg 4 almám, akkor összesen 6 almám van. Ha van 2y-om meg 4y-om, akkor összesen 6y-om van. És ez a 6y lesz egyenlő 18-cal. És most már szerintem tudod, hogy mit kellene csinálnunk. Ha 6-szor valami az 18, akkor ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 6-tal, akkor megkapjuk ezt a valamit. Elosztom a bal oldalt 6-tal, és elosztom a jobb oldalt is 6-tal. És így azt kapjuk, hogy y = 3. És ezt ki is próbálhatod. Ez is egy jó dolog az egyenletekben, hogy mindig le tudod ellenőrizni, hogy jó eredményre jutottál-e. Nézzük meg, hogy működik-e! A bal oldalon az lenne, hogy 2・3 + 4・3, ami mennyi lenne? 2・3 az 6, 4・3 az 12, úgyhogy 6 + 12 = 18, Aztán a jobb oldalon mi is volt? A jobb oldal egyenlő volt 18-cal. Tehát mindkét oldalon 18-at kapunk, így tudjuk, hogy az y tényleg egyenlő 3-mal.