Egyenletmegoldás két lépésben, szemléltetve

Nézzünk meg most néhány kicsivel bonyolultabb egyenletet! Tegyük fel például, hogy 3-szor x plusz 5 az egyenlő 17-tel. Annyiban különbözik ez az egyenlet az előző videókban látottakhoz képest, hogy megjelenik ez a plusz 5. Ha csak az lenne, hogy 3x = 17, akkor simán mindkét oldalt eloszthatnád 3-mal, és megkapnád az eredményt. Ez az 5-ös viszont kicsit megnehezíti a dolgunkat. Mielőtt nekifognánk, hogy megoldjuk az egyenletet, gondoljuk végig, hogy mit is jelent ez. Először nézzük meg, hogy tudjuk-e ezt ábrázolni egy kicsit kézzelfoghatóbb alakban, utána pedig majd megoldjuk műveletekkel is. A 3-szor x gyakorlatilag azt jelenti – fel is írom ide –, tehát van 3-szor x, ami gyakorlatilag x + x + x. Itt van a 3x, és ehhez hozzá kell adunk még ezt az 5-öt, amit most kis körökkel fogok ábrázolni, tehát plusz 1, 2, 3, 4, 5. Ez itt az eredeti egyenletünknek a bal oldala, ugye a 3x + 5, és ez lesz egyenlő 17-tel. Le is írom az egyenlőségjelet. Tehát ez egyenlő 17-tel. Úgyhogy lerajzolok 17 kis kört ide! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 és 17. Tehát tudjuk, hogy ez a két oldal egyenlő, úgyhogy bármit csinálunk az egyik oldalon, azt a másikon ugyanúgy meg kell csinálnunk. Azaz, ha elveszünk valamit innen, azt el kell vennünk innen is, hogy az egyenlőség igaz maradjon. És mi az, amit tehetnénk az egyenlet mindkét oldalán, hogy csak ez a 3x maradjon a bal oldalon enélkül a plusz 5 nélkül? Hát, ugye legjobb az lenne, ha elvennénk ezt az 5 dolgot. Elvennénk ezt az 5 dolgot. 1, 2, 3, 4, 5. De ahogy mondtam, ha a bal oldal egyenlő volt a jobb oldallal, akkor ha elveszünk 5 dolgot a bal oldalról, akkor el kell vennünk 5 dolgot a jobb oldalról is. Csak így marad igaz az egyenlőség. Tehát itt is meg kell ugyanezt csinálnunk: 1, 2, 3, 4, 5. És itt az eredeti egyenletben milyen művelettel jelölnénk azt, hogy elvettünk 5 dolgot? Ugye azzal, hogy kivonunk 5-öt az egyenlet mindkét oldalából. A kivonás pont ezt jelenti. Amikor elvettük az öt karikát a bal és a jobb oldalról is, akkor gyakorlatilag kivontunk 5-öt a bal és a jobb oldalból. Kivontunk 5-öt mindkét oldalból. Nézzük is! A bal oldalon van ez a plusz 5 és a mínusz 5, ezek kiesnek, úgyhogy itt csak a 3x maradt. Ugye az 5 és a mínusz 5 kiejtették egymást. És ezt itt is láthatod: amikor elvettük ezt az 5 dolgot, akkor csak a 3 darab x maradt. És itt van a 3x. Azért is vontuk ki az 5-öt, hogy csak az x-es tag maradjon itt. És mi lesz az egyenlet jobb oldalán? Ideírom az egyenlőségjelet. Tehát itt 17 mínusz 5 van, és 17 - 5 = 12. Ha szeretnénk, akár megszámolhatjuk itt is. Volt 17 valamim, amiből elvettem 5-öt, így maradt 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ezt nevezzük kivonásnak, hogy elveszünk 5 valamit. És így szerintem elég egyértelműen látható is: 3x = 12-vel. Ilyen fajta egyenlettel pedig már találkoztunk, úgyhogy már tudjuk, hogy ezután csak annyi a dolgunk, hogy az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 3-mal, és így csak egy x fog maradni a bal oldalon. Úgyhogy osszuk el a bal oldalt 3-mal! és osszuk el a jobb oldalt is 3-mal. És nézzük meg most, hogy hogy nézne ki ez a másik egyenleten! A bal oldalon ez az 5 dolog már nincs itt, ne is figyeljünk rá. Le is törlöm inkább, hogy ne zavarjon össze. Ezek sincsenek itt. Kivontuk ezeket, úgyhogy letörlöm őket. És most ott vagyunk, hogy mindkét oldalt elosztjuk 3-mal. Osszuk el a bal oldalt 3-mal! Azaz 1, 2, 3. Három azonos csoportra osztottuk őket, ugye mindegyik csoportban egy x van. Ha pedig elosztjuk a jobb oldalt 3-mal, akkor lesz 1, 2, 3. Három azonos csoportunk lesz itt is, és mindegyik csoportban 4 kis kör van. Matematikailag úgy nézne ez ki, hogy itt a bal oldalon a hármasok kiesnek. Ugye mikor megszorzunk valamit 3-mal, majd elosztjuk 3-mal, akkor az eredeti szám marad meg. Tehát itt marad az x, ami egyenlő 12 osztva 3-mal, ami 4. Azt kapjuk így, hogy x egyenlő 4-gyel. És gyakorlatilag ugyanezt kaptuk itt is: a 3x-et 3 csoportra osztottuk, és mindegyik csoportban van egy x. És ha a 12-t 3 csoportra osztjuk, akkor mindegyik csoportban 4 lesz. Tehát egy ilyen csoport a bal oldalon, egyenlő kell, hogy legyen egy csoporttal a jobb oldalon, azaz x egyenlő kell hogy legyen 4-gyel. És most, hogy ezzel megvagyunk, oldjunk meg mégegy egyenletet, de nem fogom most így felrajzolni. És remélhetőleg látni fogod, hogy ugyanazokat a műveleteket fogjuk majd használni. Tegyük fel, hogy van 7x, 7x mínusz 2 egyenlő – és most a megoldás nem lesz szép kerek szám –, legyen mondjuk egyenlő -10-zel. Most hirtelen ez sokkal bonyolultabbnak tűnhet, mert itt van ez a mínusz jelünk, de pontosan ugyanazt fogjuk csinálni, mint az előbb. Először is, ha azt akarjuk, hogy a bal oldalon csak a 7x maradjon önmagában, akkor meg kell szabadulnunk a mínusz 2-től. És mit kell kivonnunk vagy mit kell hozzáadnunk az egyenlet mindkét oldalához, hogy eltüntessük ezt a mínusz 2-t? Ha hozzáadunk 2-t a bal oldalhoz, akkor ez a két tag kiejti egymást, de ne felejtsd el, hogy a két oldal egyenlő maradjon, ha hozzáadunk 2-t a bal oldalhoz, akkor a jobb oldalhol is hozzá kell adnunk kettőt. És mi lesz így a bal oldalból? Van ugye a 7x, a mínusz 2 és a plusz 2 összege pedig 0. Odaírhatnám a plusz 0-t, de egyeszerűbb inkább, ha nem írok oda semmit. Tehát így az marad, hogy a 7x egyenlő... és mi a -10 + 2 összege? Lehet jó lenne, ha átismételnénk ezt gyorsan. Húzok is ide egy számegyenest. Itt a 0, ez itt az 1, és aztán erre vannak a pozitív számok. A mínusz 10 pedig valahol itt található. -10. Ez -9, -8, -7 és utána jön a többi, de nincs elég helyem, hogy felírjam az összeset, de a lényeg az, hogy a mínusz 10-től indulunk, és ha hozzáadunk 2-t, akkor a pozitív irányba indulunk el a számegyenesen. Tehát lépünk 1-et, 2-t, és ez a -8. Ne zavarodj össze! Attól, hogy 10 + 2 az 12, attól még a -10 + 2 az nem -12. Mínusz 10 mínusz 2 lenne mínusz 12, mert ugye akkor a negatív irányba mozdulnánk el. A -10 valóban egy negatív szám, de itt hozzáadunk 2-t, úgyhogy a pozitív irányba haladunk, ugye jobbra. Ez tehát -8 lesz. Azaz 7x = -8. És lehet nem egyértelmű még, hogy hogyan oldhatjuk meg az ilyen típusú feladatot, mert itt a jobb oldalon egy negatív szám van, de ugyanúgy kell csinálnunk, mint ahogy eddig. Ha csak egy x-et szeretnénk látni a bal oldalon, akkor el kell osztanunk a bal oldalt 7-tel, azaz 7x osztva 7-tel. És ugye itt a hetesek kiejtik egymást, úgyhogy marad az x. De ismételten: bármit csinálunk a bal oldalon, ugyanazt el kell végeznünk a jobb oldalon is, hogy az egyenlőség igaz maradjon. Tehát osszuk el a jobb oldalt is 7-tel! Ezek után, a bal oldalon maradt az x, és ez egyenlő mínusz 8 osztva 7-tel, amit ki is számolhatnánk, és az eredmény egy tizedes törtre jönne ki, de akár hagyhatnánk tört alakban is. A mínusz 8 osztva 7-tel az mínusz 8/7. Mínusz 8/7 vagy ha vegyes tört alakban szeretnéd felírni, akkor az lesz belőle, hogy x egyenlő– 8-ban a 7 megvan 1-szer és maradt az 1 – mínusz 1 egész 1/7. De mindkét megoldás helyes. És kész is vagyunk.